Pokud máte editor ESO, přejděte na [E1].

V minulé stati [N1] jsme se zabývali vícerozměrnými prostory a potížemi, když se snažíme představit si vícerozměrná tělesa či plochy. Pokud se je pokusíme vměstnat do našeho trojrozměrného prostoru, musíme je deformovat.

Tento nedostatek nemusí vůbec znamenat, že by naše smysly byly nerozvinuté a že jednou se nám rozvinou nějaké nové orgány pro tyto rozměry, nebo že se vyvine nějaký "enhled" (jako dalekohled nebo drobnohled), který umožní pohled do n-rozměrných prostorů mikrokosmu nebo makrokosmu.

S mnohorozměrným Euklidovým prostorem je isomorfní (shodný) prostor s daleko měkčí podmínkou pro vztahy mezi jednotlivými vektory. Všechny vektory nemusí být vzájemně kolmé, zcela postačuje, aby každý vektor byl kolmý k součtu všech ostatních vektorů. Tak se nám každý vícerozměrný vektor vejde dokonce na dvojrozměrnou plochu. Tento prostor se v učebnicích označuje jako Hilbertův prostor.

Vektor je na rozdíl od čísla charakterizován dvěma údaji, svou velikostí a směrem. Pokud si určíme jednotku délky vektoru (příklad 1 metr, 1 milimetr, 1 palec, 1 litr, 1 kilogram), pak velikost vektoru je číslo, kterým musíme jednotkovou délku násobit. Nu a směr vektoru je prostě směr úsečky, která vektor představuje.

Vektory sečítáme tak, že ke konci prvého vektoru (obvykle se označuje šipkou udávající současně směr vektoru) přiložíme počátek druhého vektoru, ke konci druhého vektoru přiložíme počátek třetího vektoru a tak dále.

Pokud si představíme číselnou osu (pravítko) potom i obyčejné sečítání čísel je vlastně vektorovým sečítáním, v tomto případě vektorů stejného směru.

V Hilbertově prostoru potřebujeme k sečítání čísel pravoúhlý trojúhelník. Vezměte si jej k ruce a zkuste sečíst dvě odvěsny (strany trojúhelníku svírající pravý uhel) jednotkové délky. Přepona se shoduje s úhlopříčkou jednotkového čtverce a její délka je druhá odmocnina ze dvou. Přiložte trojúhelník k přeponě a vztyčte na jednom jejím konci další odvěsnu jednotkové délky. Tato přepona má délku druhé odmocniny ze 3, což je délka úhlopříčky krychle. Úhel mezi prvými dvěma odvěsnami a třetí odvěsnou není pravý. Ovšem pokyn doslova zněl "vztyčte na jednom jejím konci další odvěsnu jednotkové délky"! To jste si měli tu krychli představit a vést třetí odvěsnu kolmo k rovině prvých dvou.

Nyní tento výsledný vektor opět otočíte do roviny a získáte místo pro čtvrtý vektor kolmý k součtu prvých tří vektorů. Je zřejmé, že s Pythagorovými trojúhelníky lze pokračovat do nekonečna a že délka výsledné odvěsny bude vždy druhou odmocninou součtu čtverců všech vektorů. V řadě případů lze operovat přímo se součtem čtverců.

Zmínili jsme nekonečno. Toto číslo je důležité. Pokud to nebude nekonečno, mělo by to být hodně velké číslo, asi takové, jako je Avogadrovo číslo (počty molekul). Pokud máme tolik trojrozměrných vektorů různého směru, pak si můžeme být skoro jisti, že mezi nimi najdeme dva na sebe kolmé. Ani třetí vektor kolmý k rovině prvých dvou, čtvrtý vektor kolmý k rovině prvých tří atd..

Jestli si myslíte, že je to sice hezké, ale že Hilbertův prostor v denním životě k ničemu nepotřebujete, tak si ukážeme něco jiného.

V každém bodu kružnice opsané kolem průměru lze vytvořit pravoúhlý trojúhelník, v němž průměr je přeponou. Mezi všemi páry odvěsen určitě existuje zvláštní dvojice, která má tyto vlastnosti:

Pokud čtverec přepony je součtem čtverců n čísel, potom čtverec jedné z odvěsen má plochu nm^2 a čtverec druhé odvěsny je součet rozdílu čtverců. Tomu tučnému m (bývá označeno většinou jinak, často jako m s čárou nad písmenem) se říká aritmetický průměr a najde se sečtením všech velikostí vektorů a podělením jejich počtem n.

Druhá odvěsna dá aritmetický průměr m násobený druhou odmocninou čísla n. O tomto číslu jsme si řekli, že je to délka úhlopříčky n-rozměrné krychle. Abychom mohli porovnávat délku druhé odvěsny s aritmetickým průměrem, musíme také tuto délku normalizovat na jednotkovou délku dělením číslem n, respektive po odmocnění druhou odmocninou čísla n. Tento výraz je znám jako rozptyl.

Tak jsme se dostali k výpočtům, které jako prvý provedl Gauss dávno před Hilbertem, když hledal nejlepší způsob, jak vyhodnotit trigonometrická měření. Položil tak základ teorie pravděpodobnosti, která si s geometrickými vztahy mezi svými daty starosti obvykle nedělá.

Teď ponechejme stranou matematiku a ponořme se do Hilbertova prostoru neviditelných částic vzduchu, které nás obklopují. Součet rychlostí molekul plynu se rozpadá na dvě složky, které můžeme přímo vnímat bez jakýchkoliv přístrojů. Aritmetický průměr jejich rychlostí vnímáme jako vítr, a veličinu odpovídající rozptylu rychlostí molekul pociťujeme jako teplotu vzduchu.

Literatura:

[N1] M. Kunz, Hyperprostor, Natura, 1999, číslo 3.

časopis o přírodě, vědě a civilizaci