Čtete scifi časopis a v těch se to jenom hemží samými hyperprostory čtvrté a vyšší dimenze, singularitami, v nichž zmizí hladce celé vesmírné koráby včetně osádky a palubních koček, a podobnými termíny, které jste ve škole vůbec neslyšeli a pokud jste je slyšeli, tak jste jim nerozuměli, a když se vám zdálo, že jste jim porozuměli, tak jste si je nedovedli představit. Jasný obraz o nich nemají ani sami matematici, kteří si je vymysleli. Když se pokusíte namalovat třeba jen čtyřrozměrnou krychli, pak vypadá, jako kdyby jste se dívali na obyčejnou trojrozměrnou krychli opilí. Uvidíte všechno rozmazaně dvakrát a mimo normálních čar ještě další hrany a plochy takže, dá dost přemýšlení, abyste se v té změti čar sami vyznali.

Existuje však ještě jiný způsob, jak do vyšších prostorů proniknout. Předem si však musíme připravit žebřík, který nám to umožní. Tím žebříkem budou definice plochy a tělesa.

Definice zní: n rozměrné těleso je plocha v (n + 1) rozměrném prostoru.

Začneme bodem, což je bezrozměrné těleso, čímž se míní těleso v prostoru o rozměru nula. Toto těleso dělí jednorozměrné těleso na dvě části. Co je jednorozměrné těleso? To si můžeme nejjednodušeji představit jako přímku (kdybychom toto těleso zakřivili, tak bychom si vše hned od počátku zkomplikovali). Bod dělí přímku na dvě části. Dva různé body přímku omezí a tak vznikne omezené jednorozměrné těleso.

Dvojrozměrné těleso je plocha, opět nejjednodušeji budeme uvažovat o rovině. Přímka je v dvojrozměrném prostoru jenom plochou a dělí dvojrozměrné těleso na dvě části. Tři přímky omezují dvojrozměrné těleso, vytvoří se trojúhelník. Dvojrozměrné těleso je plocha v trojrozměrném prostoru a dělí tento prostor na dvě části. Abychom vymezili trojrozměrné těleso, potřebujeme o jednu plochu více než má těleso rozměrů, tedy čtyři. Čtyři trojúhelníky vytvoří čtyřstěn, což je nejjednodušší trojrozměrné těleso.

Zatím je vše docela jednoduché, ale teď nás indukce vede k závěru že trojrozměrné těleso by mělo být plochou v čtyřrozměrném prostoru!

Ten vykřičník by v odborném textu být neměl, ale tvrzení je překvapující. Je třeba jej dokázat.

Označíme vrcholy pravidelného čtyřstěnu koordinátami

(4, 0, 0, 0)

(0, 4, 0, 0)

(0, 0, 4, 0)

(0, 0, 0, 4).

Pak už snadno budeme hledat body (3, 1, 0, 0), ten leží na jedné ze šesti dvojrozměrných hran, (2, 1, 1, 0), ten leží uvnitř čtyřstěnu asi v polovině jeho výšky a bod (1, 1, 1, 1), ten leží ve středu čtyřstěnu. Všimněte si, že součet koordinát je vždy čtyři. I kdybychom hledali body s neceločíselnými koordinátami, bude jejich součet opět vždy čtyři. Zavedli jsme také čtyři čísla určující polohy bodů, a vidíme tedy plochu z čtyřrozměrného prostoru. Jestli nevěříte, pokuste se nalézt bod s koordinátami (0, 0, 0, 0). Měl by být ve stejné vzdálenosti od všech vrcholů čtyřstěnu. Takový bod uvnitř čtyřstěnu sice existuje, ale má koordináty (1, 1, 1, 1). Bod (0, 0, 0, 0) musí existovat mimo čtyřstěn a my jej prostě v našich třech rozměrech nevidíme, leda bychom do hry zapojili čas a čtyřstěn odsunuli z jeho místa.

Než postoupíme dále, měli bychom si všimnout, co se stane, když čtyřstěn sklopíme do dvojrozměrného prostoru, tedy když jej promítneme na rovinu. Buď jej můžeme stlačit a pak se zkrátí tři hrany a deformují se tři stěny.

Nebo se dvě hrany prodlouží a čtyřstěn uvidíme jako čtverec s oběma úhlopříčkami. Takový čtverec je znám jako úplný graf K4, trojúhelník je úplný graf K3. Při sklopení čtyřstěnu do dvojrozměrného prostoru se nám jeho stěny překryly, buď v poměru 3:1 (3 trojúhelníky a trojúhelníková základna) nebo v poměru 2:2 (vždy dva pravoúhlé trojúhelníky nad oběma úhlopříčkami).

Podobný úkaz se projeví, když se pokusíme nahlédnout do pátého rozměru. Použijeme konstrukci vyššího rozměru, která nám přikazuje najít bod ležící mimo daný prostor a spustit z něj spojnice k základnímu prostoru.

Začneme čtyřstěnem rovnoměrně stlačený na trojúhelník. Spustíme spojnice k jeho všem čtyřem vrcholům. Čtyřstěn tvoří jednu stěnu nového tělesa. Čtyřrozměrné těleso bude mít tvar trojboké pyramidy.Bude to opět čtyřstěn, který může být pravidelný. Bude nám překrývat další tři čtyřstěny, které objevíme uvnitř tohoto čtyřstěnu kolem přímky spuštěné na prostřední vrchol základního čtyřstěnu.

V případě čtyřstěnu deformovaného na čtverec, vznikne čtyřboká pyramida. Základ pyramidy tvoří jednu stěnu čtyřrozměrného tělesa, další čtyři objevíme po dvojicích nad oběma úhlopříčkami čtverce.

Konečně můžeme spustit spojnice k čtyřem vrcholům neformovaného čtyřstěnu. Dostaneme šestistěn, trojstrannou bipyramidu, dva čtyřstěny k sobě přilehnou jednou dvojrozměrnou stěnou. V tomto případě leží uvnitř tělesa jen jedna přímková spojnice vrcholů.

Ve všech třech případech vidíme jen stěny tělesa. Ty nám překrývají vnitřek tělesa.

Posledně ukázané čtyřrozměrné těleso doslova sevřete do obou dlaní. Aby jste jej mohli lépe prostudovat, připravte si tužku a list tužšího papíru. Postavte ruku na rovnou plochu stolu tak, aby se desky dotýkaly palec, ukazováček a prostředníček, které by měly vytvořit vrcholy trojúhelníku. Jeho hrany si musíte jen představit, pokud to nedovedete, tak si je nakreslete na papír. A teď si všimněte, že vaše tři prsty tvoří, vždy po dvou, hrany dalších tří trojúhelníků. Ke třem bodům tvořenými konečky prstů si představte čtvrtý někde v dlani mezi prsty. Prostor mezi deskou a vaší dlaní je dost nepravidelný čtyřstěn. Jestli se vám nelíbí, můžete si udělat lepší ze špejlí.

Teď se na ten prázdný prostor mezi svými prsty znovu podívejte. S trochou fantazie vidíte čtyřrozměrnou rovinu, i když trochu hrbolatou. Teď sepněte obě dlaně, aby se opět dotýkaly jen tři prsty. Spolu s pomyslnými dvěma body v dlaních máte pět vrcholů, které se obyčejným smrtelníkům, odsouzeným žít v trojrozměrném prostoru jeví jako trojstranný dvojitý jehlan omezený 6 trojúhelníky. My se však přesvědčíme, že je to pětirozměrná plocha, tedy čtyřrozměrné těleso. Napřed vezměte mezi prsty list papíru a snadno uvidíte dva čtyřstěny, spojené jednou dvojrozměrnou stěnou představovanou listem papíru. Jsou tvořené oběma dlaněmi. Pak stiskněte mezi dlaně tužku, aby se její konce opíraly o pomyslné vrcholy čtyřstěnů. Teď to chce trochu představivosti, uvědomit si, že tužka je společná hrana tří čtyřstěnů, jejichž další čtyři hrany tvoří vždy dvojice spojených prstů a šestou hranou je pomyslná spojnice špiček prstů.

Abyste si ty imaginární hrany lépe představili, propíchněte papír uprostřed tužkou a sevřete jej znovu mezi prsty. Teď tu máte pohromadě pět čtyřstěnů, dva oddělené papírem a tři tužkou.Jenom je nemůžete vidět najednou, protože na to v našem prostoru nemáme dost místa. Musíte si je představovat střídavě, protože se vám v dlaních překrývají. Ale to střídavé představování si jednotlivých ploch čtyřrozměrného tělesa, které se děje v čase, nám doplňuje tři geometrické rozměry čtvrtým. Ten má však docela jiné vlastnosti než 3 geometrické rozměry. Naše tělo v něm existuje jako ohnisko unášené jeho proudem, ale naše mysl se v něm může pohybovat docela snadno a vnikat do libovolné dimenze.

Ostatně, ani ostatní osy našeho trojrozměrného prostoru nejsou vzájemně zcela rovnocenné. Jen to zkuste, běžet do strany nebo pozpátku. Stoupat po žebříku je mnohem namáhavější než chůze po rovině.

Jestli se vám chce, můžete pokračovat ve studiu vícerozměrných těles stejným způsobem do omrzení. Tužku a papír máte po ruce, nakreslete si 6 bodů, spojte všechny body hranami a najděte všech 6 čtyřrozměrných ploch, které vymezují pětirozměrné těleso.

V teorii grafů jsou vícerozměrná tělesa známá jako úplné grafy.

Teorie grafů se obvykle obejde bez určení rozměru grafu, jen se zabývá možností kreslit grafy, aniž by se jejich dvojrozměrné hrany protínaly. Úplný graf K5 je jedním ze dvou základních nerovinných grafů.

Vícerozměrná tělesa se promítnou do našeho prostoru vždy deformovaně. Pokud by mikročástice byly vícerozměrná tělesa, potom by měla v trojrozměrném prostoru kmitat, aby si udržela svůj tvar. Nebo úvahu můžeme obrátit: pokud se nám něco jeví jako vlna, potom se může jednat o vícerozměrný objekt, který se snaží promítnout do našeho prostoru. To předpokládá i teorie strun.

Chtělo by se poznamenat: "It is elementary, dear Watson." Avšak není to tak jednoduché. K analogickým výsledkům se dostaneme i pomocí pravoúhlých trojúhelníků na dvojrozměrné ploše. To je však jiná kapitola.

V matematice se pro vícerozměrné prostory používají předpony hyper- nebo nad-, tedy třeba nadrovina. Jiné termíny používané pro vztah plochy a tělesa jsou simplex a komplex.

Teď si uděláme přehled:
 

Rozměr	Rovina	Pravidelné těleso
0	není	bod
1	bod	přímka
2	přímka	trojúhelník
3	trojúhelník	čtyřstěn
4	čtyřstěn	K(5)
n	K(n)	K(n+1)

 

Pokud máte ve zvyku sepnout k meditaci všechny prsty, tak si občas uvědomte co vše vlastně máte v těch chvílích ve svých dlaních. Jestli se vám dostane osvícení jako zasvěcencům zen budhismu, pak se vám snad podaří nahlédnout dovnitř prostoru, který se jen zdá být prázdný.

časopis o přírodě, vědě a civilizaci