\1cw Verze 2.10 \pTM 2 \pBM 4 \pPL 116 \pLM 1 \pRM 60 \HD \+ \+ \, \-\, \= \HE \+ \+ \, \- \= \FD \+ \+ \, \-\, \= \FE \+ \+ \, \- \= \+ \+ \4Hilbert–v prostor\, \-\1 \+ \+ \, \- \+ \+ Milan Kunz\, \- \+ \+ \, \- \+ \+ V minul‚ stati (1) jsme \ se zab˜vali v¡cerozmˆrn˜mi pros-\A \- \+ \+ tory a pot¡‘emi, kdy‘ se \ sna‘¡me p©edstavit si v¡cerozmˆrn  \- \+ \+ tˆlesa ‡i \ plochy. Pokud se \ je pokus¡me vmˆstnat \ do na¨eho \- \+ \+ trojrozmˆrn‚ho prostoru, mus¡me je deformovat.\, \- \+ \+ Tento nedostatek nemus¡ v–bec znamenat, ‘e by na¨e smy-\A \- \+ \+ sly byly nerozvinut‚ a ‘e jednou se n m rozvinou nˆjak‚ nov‚ \- \+ \+ org ny \ pro tyto \ rozmˆry, nebo \ ‘e se \ vyvine nˆjak˜ enhled \- \+ \+ (jako \ dalekohled nebo \ drobnohled), kter˜ \ umo‘n¡ pohled do \- \+ \+ n-rozmˆrn˜ch prostor– mikrokosmu nebo makrokosmu.\, \- \+ \+ S mnoharozmˆrn˜m \ Euklidov˜m \ \ prostorem \ je \ isomorfn¡ \- \+ \+ (shodn˜) \ prostor s daleko \ mˆk‡¡ podm¡nkou \ pro vztahy mezi \- \+ \+ jednotliv˜mi \ vektory. V¨echny \ vektory nemus¡ \ b˜t vz jemnˆ \- \+ \+ kolm‚, zcela posta‡uje, aby \ ka‘d˜ vektor byl kolm˜ k sou‡tu \- \+ \+ v¨ech ostatn¡ch vektor–. Tak \ se n m ka‘d˜ v¡cerozmˆrn˜ vek-\A \- \+ \+ tor \ vejde dokonce \ na dvojrozmˆrnou \ plochu pap¡ru. \ Takov˜ \- \+ \+ prostor se v u‡ebnic¡ch ozna‡uje jako Hilbert–v prostor.\, \- \+ \+ Vektor je na rozd¡l \ od ‡¡sla charakterizov n dvˆma £da-\A \- \+ \+ ji, svou velikost¡ a smˆrem. \ Pokud si ur‡¡me jednotku d‚lky \- \+ \+ vektoru \ \ (p©¡klad \ 1 metr, \ \ 1 milimetr, \ 1 palec, \ 1 litr, \- \+ \+ 1 kilogram), \ pak velikost \ vektoru je \ ‡¡slo, kter˜m mus¡me \- \+ \+ jednotkovou d‚lku n sobit. Nu \ a smˆr vektoru je prostˆ smˆr \- \+ \+ £se‡ky, kter  n m vektor p©edstavuje.\, \- \+ \+ Vektory se‡¡t me tak, ‘e ke konci prv‚ho vektoru (obvy-\A \- \+ \+ kle je \ tento konec ozna‡en \ ¨ipkou ud vaj¡c¡ sou‡asnˆ \ smˆr \- \+ \+ vektoru) p©ilo‘¡me po‡ tek druh‚ho vektoru, ke konci druh‚ho \- \+ \+ vektoru p©ilo‘¡me po‡ tek t©et¡ho vektoru a tak d le.\, \- \+ \+ Pokud si p©edstav¡me ‡¡selnou osu (prav¡tko) potom i o-\A \- \+ \+ by‡ejn‚ \ se‡¡t n¡ \ ‡¡sel \ je \ vlastnˆ \ vektorov˜m se‡¡t n¡m, \- \+ \+ v tomto p©¡padˆ vektor– stejn‚ho smˆru.\, \- \+ \+ V Hilbertovˆ prostoru pot©ebujeme \ k se‡¡t n¡ ‡¡sel pra-\A \- \+ \+ vouhl˜ \ trojuheln¡k. Vezmˆte \ si jej \ k ruce a zkuste se‡¡st \- \+ \+ dvˆ odvˆsny (strany trojuheln¡ku \ sv¡raj¡c¡ prav˜ uhel) jed-\A \- \+ \+ notkov‚ d‚lky. P©epona se shoduje s uhlop©¡‡kou jednotkov‚ho \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1/2 \1‡tverce a jej¡ d‚lka je 2\ \ \ , \ druh  odmocnina ze dvou. P©i-\A \- \+ \+ lo‘te trojuheln¡k k p©eponˆ a vzty‡te \ na jednom jej¡m konci \- \+ \+ dal¨¡ \ odvˆsnu jednotkov‚ \ d‚lky. Tato \ p©epona m  \ d‚lku je \- \+ \+\2\ 1/2 \13 \ \ , co‘ je d‚lka uhlop©¡‡ky krychle. —hel mezi prv˜mi dvˆ-\A \- \+ \+ ma odvˆsnami a t©et¡ odvˆsnou nen¡ prav˜. Ov¨em pokyn doslo-\A \- \+ \+ va znˆl "vzty‡te na jednom jej¡m konci dal¨¡ odvˆsnu jednot-\A \- \+ \+ kov‚ d‚lky"! \ To jste si \ mˆli tu krychli \ p©edstavit a v‚st \- \+ \+ t©et¡ odvˆsnu kolmo k rovinˆ prv˜ch dvou. Nyn¡ tento v˜sled-\A \- \+ \+ n˜ vektor opˆt oto‡¡te do \ roviny a z¡sk te m¡sto pro ‡tvrt˜ \- \+ \+ vektor kolm˜ k plo¨e prv˜ch \ t©¡. Je z©ejm‚, ‘e s Pythagoro-\A \- \+ \+ v˜mi \ troj£heln¡ky lze \ pokra‡ovat do \ nekone‡na a ‘e \ d‚lka \- \+ \+ v˜sledn‚ odvˆsny bude v‘dy \ druhou odmocninou sou‡tu ‡tverc– \- \+ \+ v¨ech vektor–. V ©adˆ p©¡pad– \ lze operovat p©¡mo se sou‡tem \- \+ \+ ‡tverc–.\, \- \+ \+ Zm¡nili jsme \ nekone‡no. Toto ‡¡slo \ je d–le‘it‚. Pokud \- \+ \+ to nebude nekone‡no, \ mˆlo by to b˜t hodnˆ \ velk‚ ‡¡slo, asi \- \+ \+ takov‚, jako je Avogadrovo ‡¡slo (po‡ty molekul). Pokud m me \- \+ \+ tolik \ trojrozmˆrn˜ch vektor– \ r–zn‚ho smˆru, \ pak si m–‘eme \- \+ \+ b˜t skoro jisti, ‘e mezi nimi najdeme dva na sebe kolm‚. Ani \- \+ \+ t©et¡ vektor kolm˜ k rovinˆ prv˜ch dvou, ‡tvrt˜ vektor kolm˜ \- \+ \+ k rovinˆ prv˜ch t©¡ atd..\, \- \+ \+ Jestli si mysl¡te, ‘e je \ to sice hezk‚, ale ‘e Hilber-\A \- \+ \+ t–v prostor \ v denn¡m ‘ivotˆ k ni‡emu \ nepot©ebujete, tak si \- \+ \+ uk ‘eme nˆco jin‚ho.\, \- \+ \+ V ka‘d‚m bodu kru‘nice opsan‚ \ kolem pr–mˆru lze vytvo-\A \- \+ \+ ©it pravouhl˜ \ trojuheln¡k, v nˆm‘ pr–mˆr \ je p©eponou. Mezi \- \+ \+ v¨emi p ry \ odvˆsen ur‡itˆ existuje \ zvl ¨tn¡ dvojice, kter  \- \+ \+ m  tyto vlastnosti:\, \-\2 \+\1 \+ Pokud \ ‡tverec p©epony \ je sou‡tem \ ‡tverc– n ‡¡sel \ m , \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ index j jde od 1 do n, potom ‡tverec jedn‚ z odvˆsen m  plo-\A \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ 2 \1chu n\4m \ \1a ‡tverec druh‚ odvˆsny je \ sou‡et (m \ - \4m \1). Tomu \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ tu‡n‚mu \4m \1(b˜v  ozna‡eno vˆt¨inou \ jinak, ‡asto jako m s ‡ -\A \- \+ \+ rou nad p¡smenem) se ©¡k  \ aritmetick˜ pr–mˆr a najde se se-\A \- \+ \+ ‡ten¡m v¨ech velikost¡ vektor–, ‡¡sel m , a podˆlen¡m jejich \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ po‡tem \4m \ \1= m /n.\, \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ 2 \1 Druh  odvˆsna, sou‡et (m \ - \4m \1) \ m–‘e se t‚‘ psat jako \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \1sou‡et (m - \4m\1) . Tedy jako sou‡et ‡tverc– rozd¡l– mezi pr–-\A \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ mˆrem \4m \1a jednotliv˜mi hodnotami m .\, \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ Tato interpretace p©edpokl d  rovnost\, \- \+ \+ \, \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \1 (m \ - \4m \1) = (m \ - \4m\1)\, \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ \, \- \+ \+ Po \ rozn soben¡ prav‚ \ strany a rozepsa n¡ \ symbol– pro \- \+ \+ s‡¡t n¡ dostaneme\, \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \7 S\1(m \ - \4m\1) \ = m \ - 2m \4m \1+ \ \4m\, \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j\ \ \ \ \ \ \ \ \ j\ \ \ \ \ j \+\1 \+ \, \- \+ \+ Po £pravˆ dostaneme\, \- \+ \+ \, \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \1 m \4m \1= \ \4m\, \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ \, \- \+ \+ co‘ je vzhledem k definici \ \4m \1splnˆno.\, \- \+ \+ Kdy‘ odmocn¡me ‡tverec prv‚ odvˆsny n\4m \1, dostaneme arit-\A \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1/2 \1metick˜ \ pr–mˆr \ \4m \1n soben˜ \ ‡¡slem \ n \ \ , druhou odmocninou \- \+ \+ z n. O tomto ‡¡slu jsme si \ ©ekli, ‘e je to d‚lka uhlop©¡‡ky \- \+ \+ n-rozmˆrn‚ \ krychle. \ Abychom \ mohli \ porovn vat d‚lku druh‚ \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ 2 \1odvˆsny, jej¡‘ ‡tverec je \ sou‡et (m \ - \4m \1), s aritmetick˜m \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ pr–mˆrem, mus¡me tak‚ tuto d‚lku normalizovat na jednotkovou \- \+ \+ d‚lku dˆlen¡m ‡¡slem n, respektive po odmocnˆn¡ ‡¡slem n \ \ . \- \+ \+\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ 2\ \ \ \ 1/2 \1V˜raz [(m \ - \4m \1)/n] \ \ \ je zn m jako rozptyl.\, \-\2\ \ \ \ \ \ \ \ \ j \+\1 \+ Tak jsme se dostali k v˜po‡t–m, kter‚ jako prv˜ provedl \- \+ \+ Gauss d vno p©ed Hilbertem, \ kdy‘ hledal nejlep¨¡ zp–sob jak \- \+ \+ vyhodnotit trigonometrick  mˆ©en¡. Polo‘il tak z klad teorie \- \+ \+ pravdˆpodobnosti, kter  si s geometrick˜mi vztahy mezi sv˜mi \- \+ \+ daty starosti obvykle nedˆl .\, \- \+ \+ Teƒ ponechme stranou matematiku a pono©me se do Hilber-\A \- \+ \+ tova prostoru neviditeln˜ch ‡ stic vzduchu, kter‚ n s obklo-\A \- \+ \+ puj¡. Sou‡et rychlost¡ molekul plynu se rozpad  na dvˆ slo‘-\A \- \+ \+ ky, \ kter‚ m–‘eme \ p©¡mo vn¡mat \ bez jak˜chkoliv \ p©¡stroj–. \- \+ \+ Aritmetick˜ pr–mˆr jejich rychlost¡ vn¡m me jako v¡tr, a ve-\A \- \+ \+ li‡inu \ odpov¡daj¡c¡ rozptylu \ rychlost¡ molekul \ pociŸujeme \- \+ \+ jako teplotu vzduchu.\, \- \+ \+ Literatura\, \- \+ \+ 1. M. Kunz, Natura, 1999, ‡¡slo 3.\, \- \=