Jestli si myslíte, že v nadpisu je chyba, tak můžete při čtení přeskakovat, protože o tématu něco víte (pokud si ovšem nepletete Pascalovy trojúhelníky s Rubikovou kostkou). Pro jistotu začneme od počátku.

Když se umocňuje dvojčlen (binom) (a + b), dostávají se postupně výsledky:

a + b

aa + (ab + ba) + bb

aaa + (aab + aba + baa) + (abb+ bab + bba) + bbb.

Před prvý řádek předřadíme jednotku jako mocninu binomu na nultou (nultá mocnina jakéhokoliv čísla je jedna) a členy v závorkách sečteme, protože jejich prvky se liší jen pořadím, v jakém se provádělo násobení. Pro poslední řádek tak dostaneme čísla: 1 3 3 1.

Teď si vypíšeme počty prvků a doplníme chybějící prvky do tabulky nulami:

1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1 3 3 1 0
1 4 6 4 1

Když si všimneme, že každý prvek v tabulce je součtem dvou prvků z předchozího řádku (samozřejmě s výjimkou prvého řádku, který musí být daný, což jsme dosáhli tou nultou mocninou) potom dostaneme další řádky v tabulce bez násobení. Takovému rozšiřování odvozováním prvků z předcházejících se říká rekurentní vzorec. Prvky v tabulce se nazývají binomické koeficienty.

Samotné tabulce se říká Pascalův trojúhelník. Pascalův trojúhelník se obvykle vypisuje ve formě rovnoramenného trojúhelníka. My jsme zvolili formu tabulky (matematikové říkají takovým tabulkám matice), protože to umožňuje psát Pascalův trojúhelník v jiném tvaru:

1 1 1 1 1
0 1 2 3 4
0 0 1 3 6
0 0 0 1 4
0 0 0 0 1

Druhý Pascalův trojúhelník dostaneme z prvého maticovou operací, které se říká transpozice. Každý sloupec matice přepíšeme jako řádek transponované matice, případně každý řádek jako sloupec transponované matice. Podle konvence by matice měla být v závorkách nebo ohraničena dvojitou čarou.

Prvky obou tabulek můžeme dostat i bez rekurentního vzorce přímo. V minulé stati [1] jsme se zabývali permutacemi n prvků. Jejich počet určuje faktoriál n!.

Binomické koeficienty počítají podobné permutace, pouze místo n různých prvků máme jen dva různé prvky a každý se opakuje a nebo b krát. Permutace jednotlivých a nebo b mezi sebou neumíme rozlišit, proto musíme faktoriál n! podělit faktoriály a! a b!. Součet a + b = n. Binomický koeficient, který se obvykle označuje závorkami se dvěma čísly napsanými nad sebou (to na Internetu nevyjde). Je to vlastně podíl n!/a!b!, třeba 5!/3!2! = 120/6x2 = 10.

Pole matice se označují podobně jako adresy domů. U nás není zvykem číslovat ulice jako třeba v USA, ale i název ulice se promění v pořadové číslo v nějakém, třeba abecedním seznamu ulic. Takže adresa pole matice je pořadové číslo řádku i a pořadové číslo sloupce j. Matice má m řádků a n sloupců (někdy se setkáte s transponovanou konvencí, je to podobné jako desetinné čárky nebo tečky, lidé se nedokážou shodnout na nejjednodušších věcech).

Indexy i a j začínají zpravidla od 1. Tato konvence je někdy nevýhodná, jak nám dokazují trampoty s rokem 2000. V případě Pascalových trojúhelníků je výhodné počítat indexy od nuly, nebo musíme od normálních indexů i a j odečítat 1.

Matice je vlastně seznam vektorů, buď vektorů řádek, nebo vektorů sloupců. Vektory se píšou v závorkách a jejich prvky se oddělují čárkami. Třeba (4,1) nebo (1,4) znamenají souřadnice na nějaké dvojrozměrné ploše.

Vektory a matice se dají násobit. Existuje několik možností. Nejjednodušším násobkem dvou matic je přímý součin. V tom případě se vynásobí jednoduše vždy pouze prvky ve stejném poli.

Při násobení vektorů se musí násobit vektor řádek vektorem sloupcem, nebo vektor sloupec vektorem řádkem. V prvém případě dostaneme jako výsledek jediné číslo, kterému se říká skalární součin. V druhém případě dostaneme jako výsledek celou matici. Součet prvků na diagonále matice se rovná onomu jedinému číslu. Součiny se nazývají vnitřní a vnější. Například:

4
1
4 1 =17
4x4 + 1x1 = 17
4 1
4 16 4
1 4 1

Při běžném součinu matic se násobí jednotlivé řádky levé matice se sloupci pravé matice tak, že odpovídající prvky v řádcích se násobí odpovídajícími prvky v sloupci, výsledek se sečte a tvoří prvek součinu. Vzniknou tedy všechny možné vnitřní součiny vektorů matice.

Výsledek násobení u obyčejných čísel (skalárů) nezávisí na pořadí v jakém se čísla násobí. Například 5x4 = 4x5. U matic výsledek závisí na pořadí v jakém se matice násobí.

Podmínkou pro násobení matic je, aby levá matice měla tolik řádků, kolik má pravá matice sloupců.

Při násobení matice stejnou maticí se dostane její kvadratická forma. Pokud matice není symetrická (což znamená, že se při transponování nezmění), dostanou se dvě kvadratické formy.

Teď se můžeme přesvědčit, že součin dvou Pascalových trojúhelníků shora dá opět Pascalův trojúhelník, pokud si matici na trojúhelník doplníme:

1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70

Řádky (sloupce) jsou teď na vedlejší diagonále matice. Tato forma ukazuje, že prvky tabulky jsou součty nejen dvou předcházejících prvků, ale celého předcházejícího řádku (sloupce).

Pokud začínají indexy od nuly, pak výsledek, což je horní hodnota binomického koeficientu, je součet indexů minus jedna, dolní hodnoty binomického koeficientu jsou index i a (j -1).

Tuto formu Pascalova trojúhelníka dostaneme také složitěji, jako součet polynomických koeficientů pro n permutace.

Ve shora uvedeném binomu se jednalo o změnu pořadí prvků. Tomu budeme říkat m permutace, protože se mění pořadí v posloupnosti, což je první implicitní index, jako pořadí vektorů řádků v matici.

Polynomický koeficient je podobně jako binomický koeficient výsledek násobení polynomu, třeba (a + b + c + d). V součinech se objevují posloupnosti jako aaab, aaac, bbbc, ccca. Tyto n permutace jsou dosažitelné jako substituce. V případě binomu byly triviální, jednalo se vždy jen o dvě možnosti, odpovídající n permutacím vektorů, třeba (3,1) na (1,3), nebo jediné možnosti, jako (2,2).

Polynomický koeficient pro n permutace však neodpovídá binomickému koeficientu, ale výsledku, který má u binomu triviální formu 2!/1!1! = 2, třeba prvku aab odpovídá prvek bba. Pro tři prvky uľ je to zajímavější, třeba 3!/1!1!1! = 6 dá šest členů (3aab + 3abb + 3aac + 3acc + 3bbc + 3bcc).

Polynomický koeficient se dostane jako postupný součin binomických koeficientů, například 6!/4!2!x4!/3!2! = 6!/3!2!1! = 60.

Polynomický koeficient pro n permutace počítá počty lineárních vektorů s n prvky s konstantními součty m. Například pro rozklady čísla 4 na 5 prvků jsou to tato čísla:

(4, 0, 0, 0, 0) = 5!/4!1! = 5
(3, 1, 0, 0, 0) = 5!/3!1!1! = 20
(2, 2, 0, 0, 0) = 5!/3!2! = 10
(2, 1, 1, 0, 0) = 5!/2!2!1! = 30
(1, 1, 1, 1, 1) = 5!/4!1! = 5
----------------------------------
Celkem 70

Pokud se polynomické koeficienty uspořádají do tabulek rozkladu čísla m na n sčítanců, třeba shora uvedený součet se rozepíše do čtyř sloupců jako

5
20
10 30
5
------------
5 30 30 5

Tak dostaneme kombinatorické identity. Součty ve sloupcích se dají vypočítat přímo bez výpočtu jednotlivých polynomických koeficientů, viz přílohy.

Hodnoty třetí formy Pascalova trojúhelníku jsou známy v literatuře jako počty rozdělení m nerozlišitelných prvků do n buněk. Všimněte si, prosím jedné důležité okolnosti. Z vektorového zápisu plyne, že známe pouze součty a o prvcích nevíme nic bližšího.

Existuje ještě další formy Pascalova trojúhelníku, které se dostanou inverzí matic Pascalova trojúhelníku, ale to uľ patří do jiné kapitoly.
 

Vezměte třetí formu Pascalova trojúhelníku, kterou jsme dostali jako součin dvou Pascalových trojúhelníků. Opište prvý řádek. Pak opisujte další řádky, ale před první číslo napište vědy (n - k) nul. Těmto tabulkám budeme říkat k-tá diference Pascalova trojúhelníku. Prvá diference odpovídá transponované formě Pascalova trojúhelníku. Druhá diference transponované formy Pascalova trojúhelníku má tvar

1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 1 3 6
0 0 0 0 0 0 1
-------------------------
Součet 1 1 2 3 5 8 13

Součty sloupců jsou známy jako Fibbonacciova čísla. Každé takové číslo je součtem dvou předcházejících čísel. Ve středověku to byla odpověď na zajímavou otázku o rozmnožovacích schopnostech králíků, dnes je známo mnoho dalších aplikací těchto čísel.

Vedle tohoto typů diference všech rozkladů vektoru můžeme vektory rozlišovat podle velikosti jediného vektoru, bez ztráty obecnosti třeba a. Pro shora uvedený příklad:

Hodnota vektoru a: 4 3 2 1 0 Celkem

Počet vektorů: 1 4 10 20 30 70

Tato diference je shora uvedená identita součtu předchozího řádku. Další identity najdete v připojené speciální části ([E1] nebo [T1]).
 

Matematika se zdá být čistě abstraktní záležitost, avšak shora uvedené problémy vedly k životní tragedii, která skončila sebevraždou.

Maxwell a Boltzmann v minulém století ukázali, že rozdělení energie tepelného pohybu molekul plynu je exponenciální (tomu odpovídá vzhledem k závislosti energie na rychlosti normální rozdělení rychlostí).

Boltzmann spojil rozdělení energie s polynomickým koeficientem pro n permutace. Za předpokladu, že energie je kvantována, pak se dá rozdělení energie popsat vektorem. Vzhledem k velkým počtům molekul postačí k popisu stavu soustavy plynu jen počty molekul, které mají určitou energii. Při srážkách si molekuly vyměňují energii. Pokud výměna energie je symetrická, třeba 10 + 5 = 5 + 10, soustava se přemístí ve fázovém prostoru na stejné orbitě.

Když je výměna energie asymetrická, třeba 10 + 5 = 8 + 7, soustava se přemístí ve fázovém prostoru na jinou orbitu. Vzhledem k velkým počtům molekul (vzpomeňte si, že Avogadrovo číslo má přes dvacet nul) dochází k simultánním srážkám, kdy se asymetrické výměny energie vzájemně vyrovnávají, takže se soustava plynu v rovnovážném stavu udržuje na stejné orbitě (nebo pásu orbit).

Boltzmann měl se svým vysvětlením velké potíže. Jeho kolegové si vymýšleli paradoxy, které měly jeho ideu diskreditovat. Ačkoliv byl Boltzmann bodrý Vídeňák (po návratu z cesty do Ameriky si s gustem zašel na pivo), nevydržel pochybnosti a spáchal sebevraždu, paradoxně ve stejné době, kdy Planck potvrdil kvantovou hypotézu její aplikací na vysvětlení rozdělení energie záření černého tělesa.

Černé těleso je černá dutina s malým otvorem, kterým lze pozorovat vnitřek dutiny. Z tělesa vychází při různých teplotách fotony, jejichľ energii změřili Lummer a Pringsheim a vztah mezi zářivostí a teplotou odvodili Stefan a Boltzmann. Rovnici pro spektrální zářivost našel Wien, radiační zákon pak Raleygh a Jeans. Oba vztahy vyhovují pro různé teploty. Sloučil je Planck za předpokladu, že energie je kvantovaná.

Rozdělení energie je trochu odlišné od rozdělení energie molekul plynu. Fotony vyletující z dutiny černého tělesa odpovídají diferenci plošného podle velikosti jediného vektoru. To by se mohlo interpretovat tak, že v dutině černého tělesa soustava probíhá v širším pásu orbit vzhledem k rozdílné rychlosti obou procesů. Bose a Einstein vysvětlili rozdíl tím, že fotony jsou nerozlišitelné. Jak jsme už ukázali, známe jen počet věcí uvnitř buněk, v tomto případě počet fotonů s daným kmitočtem. Zda jsou nerozlišitelné, to není vůbec důležité [2]. Tomu nerozlišitelnému odpovídá rychlost molekuly nebo kmitočet fotonu.

Rozdělení rozlišitelných věcí vedlo také k určitému nedorozumění. Ale to už je zase jiná kapitola.

Literatura:

[1] Kunz, Milan: Hyperprostor. Natura 3/1999.

[2] Kunz, Milan: How to distinguish distinguishability: Physical and combinatorial definitions, Physics Letters A 135 (1989) 421-424.

časopis o přírodě, vědě a civilizaci