Každý má svou představu o symetrii. Toto slovo se často zaměňuje s pojmem krásy. Symetrie nabývá stále většího významu v přírodních vědách. Fyzika elementárních částic je spojena téměř úplně s hledáním jejich symetrie, symetrie má velký význam i v chemii.

Obvykle se symetrie vysvětluje na geometrických tělesech.

Představte si rovnostranný trojúhelník. Každou jeho stranu můžete rozpůlit a střed strany spojit s protilehlým vrcholem. Dostaneme tak tři roviny (to jsou v ploše pouhé čáry) symetrie, pravá strana odpovídá levé, podobně jako u lidského těla, pokud nezkoumáme vnitřnosti. Mimo to existuje osa (to je v ploše pouhý bod) ve středu trojúhelníku, podle které lze trojúhelník otáčet. Vždy po otočení o 1,047 radiánů (120 stupňů) se trojúhelník dostane do stejné polohy jako měl dříve, pouze se změní poloha označení vrcholů.

U čtverce existují dvě dvojice rovin symetrie, jedna půlí strany a druhou tvoří úhlopříčky, a čtyřčetná osa otáčení.

Kruh má nekonečně mnoho rovin symetrie a osu otáčení, která umožňuje nekonečně mnoho poloh.

Obecně se dá říci, že čím více prvků symetrie a čím vyšší je jejich řád, tím je symetrie obrazce vyšší. Takže symetrii můžeme měřit a porovnávat.

Vedle geometrické symetrie existují i jiné druhy symetrie. Tak třeba věta "kobyla má malý bok" se dá číst stejně od předu tak od zadu. Zdá se, že tento příklad nemá s geometrií nic společného. Spojitost se však najde. Spojovací můstek tvoří teorie grup cyklických permutací, kdy přesmykům číslic (nebo ekvivalentně písmen) lze přiřadit operace s geometrickými tělesy.

Označíme si vrcholy pravidelného čtyřstěnu (a,b,c,d) a umístíme si čtyřstěn tak, aby vrchol a směřoval k nám. Potom permutace (b,c,d,a) je příkaz k otočení čtyřstěnu tak, aby k nám směřoval vrchol b, vrchol d se otočil na místo původního vrcholu c a vrchol a se přesunul na místo původně zaujímané vrcholem d. Permutace (a,c,d,b) bude otáčet čtyřstěn kolem osy procházející vrcholem a, který při operaci zůstane na svém místě.

Všechny permutace n prvků dostaneme tak, že najdeme n-tou mocninu součtu n prvků. V našem příkladě čtvrtou mocninu součtu (a+b+c+d). V 256 členech součinu je 24 členů, které obsahují všechny čtyři prvky. Permutace odpovídají těmto členům součinu, pořadí násobení prvků.

Cyklické permutace se zapisují různými způsoby. Úplný zápis uvádí důvodní stav a cílový stav, zkrácený zápis uvádí pouze cílový stav, protože důvodní stav se předpokládá v přirozeném pořadí. Při tom se rozumí, že operace se může opakovat tolikrát, až se soustava dostane do původního stavu. Tak například:

0. = 1 2 3 4 5 6
1. = 2 3 1 4 6 5
2. = 3 1 2 4 5 6
3. = 1 2 3 4 6 5
4. = 2 3 1 4 5 6
5. = 3 1 2 4 6 5
6. = 1 2 3 4 5 6

Prvé tři prvky tvoří cyklus délky tři, čtvrtý prvek, který stále zůstává na svém místě, je cyklus délky jedna a pátý a šestý prvek tvoří cyklus délky dva. Soustava se dostane do původního stavu až po nejmenším společném násobku délky všech cyklů, tedy 3x1x2 = 6.

Technicky výhodné je spojení permutací s permutačními maticemi. Tyto matice není nic jiného než tabulka, jejíž řádky tvoří prvky permutace v přirozeném pořádku (index i) a indexy sloupců odpovídají původnímu číslu prvku j. Druhá možná konvence je přehození významu řádků a sloupců. Obě konvence se liší v tom, zda působí při násobení vektoru na vektor řádek zprava, nebo na vektor sloupec zleva. Konvence jsou vzájemně transponované.

Shodu prvků označíme jednotkou v příslušném poli, ostatní pole mají hodnotu nula.

Tedy pro případ shora máme:

0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0

Zápis matice se zpravidla ohraničuje uvozovkami nebo dvojitými čarami. V případě permutačních matic zápis obsahuje mnoho zdánlivě nadbytečné informace, protože čtvercová matice obsahuje jen n stejných prvků, v každém řádku i sloupci jediný.

Zdánlivá nevýhoda se však promění ve výhodu, když se pokusíme spočítat, kolik existuje permutačních matic. V prvém řádku máme n možností, jak umístit nenulový prvek, v druhém řádku o jednu méně, v třetím řádku o dvě méně. V předposledním řádku nám zbudou jen dvě možnosti a v posledním řádku jediná. Možnosti se vzájemně násobí, takže dostaneme součin po sobě následujících čísel 1 x 2 x 3 x...x n = n!. Zkráceně se zapisuje číslicí s vykřičníkem a říká se mu faktoriál. Matematikové definovali i faktoriál 0!. Není to nula, ale 0! = 1.

Nejjednodušší permutace jsou ty, ve kterých si vymění místo vždy jen dva prvky. Můžeme si je představit jako jednoduchá telefonní spojení, kdy spolu mluví vždy dva účastníci. Takovým permutacím se říká konvoluce. Jejich počet se dá určit různým číslováním buněk Ferrerových grafů (viz příloha [E1], [T1]). Tak se dostanou Youngovy tabulky. Ostatní typy permutací získáme násobením Youngových tabulek stejného typu.

Permutace se dají spočítat i podle jednotlivých typů cyklů. Takové počítání je složitější, nejdříve bylo nutné určit tak zvaný index grupy. Pak se jednotlivé typy cyklů setřídí podle počtu nenulových cyklů. Sloupcové součty dávají Stirlingova čísla prvého druhu.

Stirlingova čísla druhého druhu se dostanou při počítání jednotkových matic v dolním trojúhelníkovém tvaru, které mají v každém řádku jediný nenulový prvek, ale ve sloupcích počet prvků není omezen. Matice v dolním trojúhelníkovém tvaru mohou mít nenulové prvky jen po hlavní diagonálu (index řádku i se rovná indexu sloupce j). Počet těchto matic je stejný jako počet permutačních matic. Důkaz je podobný. V prvém řádku máme pouze 1 možnost, jak umístit nenulový prvek, v druhém řádku o jednu více, v třetím řádku o dvě více. V předposledním řádku je (n -1) možností a v posledním řádku n možností.

Posloupnosti odpovídající těmto maticím dostaneme jako prvky součinu a(a + b)(a + b + c)...(a + b + .. + n).

Z těchto matic lze vyloučit takové, které nemají obsazeny souvisle všechny sloupce, třeba odpovídající posloupnosti aabd, kde je nulový třetí sloupec tabulky. Potom součty matic, které dávají Stirlingova čísla druhého druhu neodpovídají faktoriálu, ale jsou menší.

Tabulky, které se dostanou při počítání obou typů Stirlingových čísel, tvoří opět matice, které jsou, pokud se vynásobí alternativně znaménky plus/minus, vzájemně inversní, což znamená, že jejich součin se rovná incidenční matici I, kde jednotkové prvky jsou pouze na diagonále.

Literatura:

[N1] Kunz, Milan: Hyperprostor. Natura 3/1999.

časopis o přírodě, vědě a civilizaci