Pro inteligentní veřejnost klasického Řecka to byl asi kulturní šok, když jim Zenon z Eley [1,2] kolem roku 460 před Kristem logicky dokázal, že rychlonohý Achilles není schopen dohonit ani želvu, pokud želva dostane nějaký náskok, protože než Achilles doběhne na místo, kde byla původně želva, ta se posune o kus dále a než Achilles doběhne o ten kus dále, želva se posune o kousek dále a než Achilles doběhne o kousek dále, želva se opět posune o kousíček dále a než Achilles doběhne o ten kousíček dále, želva se opět posune o kousičínek dále a než Achilles doběhne o kousičínek dále, želva se posune o kousičičínek dále a než Achilles doběhne o kousičičínek dále bude želva opět jinde a tak dále ad infinitum, s těmi čiči přestaneme, aby se neseběhly kočky.

Studenti filozofie a matematiky jsou poučováni, že my dnes tento paradox za nic podivného nepovažujeme, protože víme, že i součet nekonečné řady může být konečné číslo.

Není však na škodu se zamyslit, co vlastně chybělo starověkým učencům, aby dokázali paradox vyřešit technikou, kterou mistrně ovládali, to znamená geometricky.

Jednoduché řešení, které se nám dnes zdá tak primitivní, že si ani neuvědomujeme, že na něj lidstvo muselo dospívat dva tisíce let představují dvě křížící se čáry různé šikmosti, ke kterým si přikreslíme dvě osy. Na svislé ose si vyneseme polohu obou borců, na vodorovné ose čas, ve kterém se v dané poloze ocitnou.

Představa času jako vzdálenosti srovnatelné se vzdáleností v prostoru je něco, co chybělo k odhalení chyby úsudku, který je základem paradoxu.

Nyní si zopakujeme Zenonovo tvrzení. Vyznačíme si vodorovnou čárou původní polohu želvy. Kde se tato přímka protne s dráhou Achilla, spustíme kolmici a najdeme si polohu želvy ve stejném čase. Znovu si nakreslíme vodorovnou čáru k další poloze Achilla. Tak se nám objeví mezi čárami představujícími dráhy obou běžců schodiště, jehož stupně se rychle zmenšují, až blízko průsečíku splynou s oběma čárami.

To schodiště, představující nám časové intervaly, se zmenšuje geometrickou řadou. Na rozdíl od aritmetické řady, jejíž členy se liší o konstantu, členy geometrické řady se zmenšují v stálých násobcích, jako trojúhelníky v našem příkladě.

Dnes víme, že součet nekonečné geometrické řady je konečné číslo. To ostatně plyne ze zkušenosti, Achilles tu želvu snadno dohoní. Ostatně Achilles na své dráze prochází nespočitatelným počtem bodů.

Součet nekonečné geometrické řady byl jistě významný matematický objev. Na rozdíl od tohoto součtu se nám zdá graf s časovou osou být triviální, jedná se však jen o nedocenění významu objevu.

I když příklad s Achillem a želvou ztratil svou tajemnost, Zenonova aporie stále platí. Jenom dostala nový význam ve fyzice a chemii. Vezměme n radioaktivních atomů a stanovme časový interval delta t, kdy se rozpadne polovina z těchto atomů. Ve stejném časovém intervalu delta t se rozpadne zbylá polovina atomů a tak dále. Nebo se může jednat o reakce molekul s jinými molekulami, které jsou přítomny v reakční směsi ve velkém přebytku, takže se koncentrace druhých molekul prakticky nemění. Takové reakce se nazývají monomolekulární. Jejich řešením je diferenciální rovnice dx/dt = kx, změna počtu částic je úměrná počtu částic (viz přílohu ESO [E1]).

Moderní verzi Zenonovy aporie zní takto: Když se v čase delta t rozpadne polovina radioaktivních atomů, kdy se rozpadne poslední atom? S pravděpodobností hraničících s jistotou, abychom se vyjadřovali exaktně, by těch intervalů mělo být podle Zenona nekonečně mnoho a na rozdíl od jeho důmyslných hříček jsou stejně dlouhé. Při ukládání radioaktivních odpadů se jeví tato aporie dost bezvýchodná.

Jednoduchý příklad: s poločasy

Počet nezměněných částic (a) 128 64 32 16 8 4 2 1

Počet změněných částic (b) 0 64 96 112 120 124 126 127

Pokud známe počet nezměněných částic, potom můžeme tento počet logaritmovat a v semilogaritmické stupnici dostaneme přímku. Když známe počet původních částic a počty změněných částic, potom můžeme vypočítat počet nezměněných částic z rozdílů (a - b).

Jinou možností výpočtu je Guggenheimova metoda. Ta byla publikována v u nás nedostupném časopise [3]. Teprve relativně nedávno [4-15] se objevil jiný přístup, který ukáže analogii se Zenonovou aporií. Z koncentrací produktu měřených v konstantních časových intervalech se vytvoří dvojicí počtů změněných částic (0, 64), (64, 96), 96, 112), atd. nebo třeba (0, 96), (64, 112), atd.

Ověřte si sami jejich vynesením na milimetrovém papíře, co se dostane. Je to přímka. Její směrnice umožňuje výpočet konstanty (viz přílohu ESO [E1]). Podobně lze korelovat i počty nezměněných částic, jen korelace se objevuje zprava doleva. Vynášení následujících hodnot linearizuje výsledek podobně jako semilogaritmická stupnice.

Porovnáme-li obrázek grafického řešení diferenciální rovnice s obrázkem pohybu závodníků, zdají se obrázky shodné. Rozdílný je ovšem význam obou os, když jsou vynášeny proti sobě koncentrace v následujících časových intervalech, čas se objevuje jen nepřímo a zkresleně jako vzdálenost bodů tvořících přímku. Mezi přímkou a úhlopříčkou se opět může nakreslit schodiště. Na rozdíl od původní aporie, jsou doby potřebné k průchodu jednotlivými stupni schodiště konstantní a tak doba průchodu celým schodištěm je opravdu nekonečná. Geometrické řešení problému je ortogonální transformace, která převedla exponenciální pohyb na rovnoměrný a zlogaritmovala místo koncentrací časovou osu. Časově ekvidistantní body se objevily na korelační přímce jako geometrická posloupnost.

Okamžik, kdy se radioaktivní atom rozpadne, nezávisí na tom, kolik má sousedů, ale na jeho vnitřním stavu, na energetických bariérách a podobných představách. Zásadně není vyloučeno, že rozpad není zvratná reakce, že z produktů by mohl za určitých podmínek vznikat opět původní radioaktivní atom. V tom případě se ustaví rovnováha mezi produktem a eduktem. Průběh takové reakce závisí do jisté míry na velikosti reakční soustavy. Otázka, kdy se rozpadne poslední atom je otázka o pravděpodobnosti takové události. Tím se podrobně zabýval Šolc [16-18].
 

Zenonovy aporie vyřešila téměř najednou různými technikami, součtem nekonečné geometrické řady, analytickou geometrií, diferenciálním a integrálním počtem celá řada matematiků.

Na objevení grafické logaritmické diferenciace se jaksi zapomnělo (pokud ovšem tato technika nebyla dávno někde popsaná a nezapadla ve stozích nečtených archiválií, takže byla znovu objevována). Jinak je to jen speciální případ symetrie Lieových grup.

V tomto století se objevila třetí verze Zenonovy aporie. Brněnský rodák Kurt Gödel poukázal na to, že podobně jako existují prvočísla, tak může existovat nekonečně mnoho axiomů nutných pro všeobecnou teorii [19]. Prvočísla mají stejnou mohutnost jako řada přirozených čísel, to znamená, že je jich nekonečně mnoho. Z toho podle Gödela plyne, že k vytvoření všeobecné teorie bude potřeba nekonečně mnoho času. Toto tvrzení působilo na moderní filozofy jako kdysi Zenonovy aporie.

My však už víme, že to nemusí být pravda. Gödel nevzal v úvahu, že součet nekonečné řady může být konečné číslo. Stačí jediná podmínka. Je jenom nutné objevovat další axiomy geometrickou řadou. Jestli se podaří vytvářet teorie stále rychleji, potom ani nekonečný počet axiomů nemusí být kritický.

Věda v posledních stoletích procházela obdobím exponenciálního růstu tedy dostatečně rychle, aby součet nekonečné řady byl konečný. Nasazení počítačů neuvěřitelně znásobilo výzkumné kapacity. Takovým způsobem, že sledovat nové informace přesahuje lidské schopnosti. Pokud se kdy podaří vytvořit univerzální teorii s nekonečným počtem axiomů, pak téměř určitě jejími tvůrci budou počítače, které mohou tento úkol zvládnout, asi ve formě paralelních počítačů.

Únava z nadbytku vede k moudrosti. Člověk nemůže tu želvu, na jejíž nohách spočívají dle čínského mýty čtyři sloupy držící nebeskou klenbu [20] dohonit a tak poznat tajemství vesmíru. Proto je lépe oddat se meditacím zenonového buddhismu.

Literatura:

[1] A. Kolman: Dějiny matematiky ve starověku, Academia, Praha, 1968. Str. 96.

[2] Š. Znám, L. Bukovský, M. Hejný, J. Hvorecký, B. Riečan: Pohlad do dejín matematiky, ALFA, Bratislava, 1986. Str. 60.

[3] E. A. Guggenheim: Phil. Mag. 1, 538 (1926).

[4] C. D. Prater, A. J. Silvester, J. Wei: Chem. Eng. Sci. 22, 1587 (1967).

[5] R. Aris: Ind. Eng. Chem. 61, 17 (1969)

[6] R.L. Cleland: Anal. Chem. 42, 675 (1970).

[7] J. C. H. Chen, W. D. Huntsman: J. Phys. Chem. 75, 430 (1971).

[8] F. W. Chen, T. J. Fitzgerald: Ind. Eng. Chem. Process Res. Dev. 16, 59 (1977).

[9] A. Ciurlizza Guizar, P. R. M. Jimenez: Acta Mex. Cienc. Tecnol. 1975-1976 (Pub. 1978, 9-10, 3. (CA 92, 128184).

[10] A. Ciurlizza Guizar, T. V. M. Miranda, C. H. Hernandez: Acta Mex. Cienc.Tecnol. 1975-1976 (Pub. 1978, 9-10, 13. (CA 92, 58026).

[11] K. A. Connors: Anal. Chem. 49,1650 (1977).

[12] O. Pytela, M. Večera, P. Vetešník: Chem. Listy 73, 754 (1979).

[13] D. J. Leggett: Talanta 27, 286 (1980).

[14] J.R. Bacon, J.N. Demas: Anal. Chem. 55, 653 (1983).

[15] M. Kunz: Chem. Listy 75, 432 (1981).

[16] M. Šolc: Chem. Listy 80, 561 (1986).

[17] M. Šolc: Collect. Czech. Chem. Commun. 52, 1 (1987).

[18] M. Šolc: Chem. Listy 85, 878 (1991).

[19] Thiele R.: Matematické důkazy. Str. 80, SNTL Praha, 1985.

[20] Bodde D. v knize: Mytologie starověku (Kramer S., N., Ed.). Str. 324, Orbis, Praha, 1977.

časopis o přírodě, vědě a civilizaci