Ve Vesmíru [X1] vyšel zajímavý článek o racionálních a iracionálních čísel a o jejich počítání [1].

Pokud jste jej nečetli, nebo jste měli potíže s jeho pochopením (většina populace má s matematikou potíže, tak se nestyďte si to přiznat), tak se pokusím o trochu jiné vysvětlení.

Vezměte si k ruce čtverečkovaný papír, pravítko a tužku. Vyznačte si dvě osy a na nich si vyneste číselné osy. Doporučuji měřítko aspoň jeden palec, raději dva, aby se Vám lépe kreslilo. Nyní vzájemně spojte body přirozených čísel. Dostanete šikmé přímky (plochy v dvojrozměrném prostoru, viz [2]). Na těchto plochách je součet obou koordinát vždy konstantní (v n-rozměrném prostoru všech n koordinát).

Nyní si najděte na třetí přímce body s koordinátami (2, 1) a (1, 2) a spojte je přímkami s počátkem koordinát (0, 0). Přímky vytknou na prvé přímce dva body, jejichž koordinátami na vodorovné ose budou čísla 1/3 a 2/3. Těmto číslům se říká racionální. Neznamená to, že by tato čísla byla rozumná, ale jsou nazvána podle svého odvození, protože se získají jako poměr (racio) dvou čísel.

Nyní využijeme vlastnosti Euklidova prostoru a povedeme rovnoběžky se svislou osou opět k třetí přímce a opakovaně spojíme nové body s počátkem koordinát (0, 0). Přímky vytknou na prvé přímce dva body, jejichž koordinátami na vodorovné ose budou čísla 1/9 a 2/9. Je zřejmé, že bychom postup mohli opakovat. Tak bychom dostávali stále menší a menší čísla.

Kdybychom mohli vést přímky od plochy v nekonečné vzdálenosti, dostali bychom rozdělení intervalu mezi nulou a jednou na nekonečný (spočetný) počet čísel racionálních čísel. Před prvým racionálním číslem bychom dostali nekonečný počet čísel druhého druhu, před prvým číslem druhého druhu nekonečný počet čísel třetího druhu a tak dále.

Protože čísla můžeme sečítat, lze kombinací různých čísel zaplnit rovnoměrně celou číselnou osu.

Mohlo by se říci, že se iracionální čísla nedají spočítat. Tak se pokusíme problém vyřešit jiným způsobem.

Zlomek jedna třetina má v desítkové číselné soustavě nekonečný počet číslic 1/3 = 0,333333.... V trojkové číselné soustavě však platí, že 1/3 = 0,1. Musíme tedy psát čísla stejně dlouhá.

Iracionální čísla, jako je druhá odmocnina ze dvou, Ludolfovo číslo nebo číslo e, mají nekonečný počet platných míst.

Až do tohoto místa je vše normální. Ukázali jsme si, že čísel v intervalu mezi 0 a 1 je nespočetně mnoho. Teď se mi však problém trochu vymkl z kontroly a dostal jsem se k něčemu, co je v rozporu s tím, co si přečtete v [1] a tím, jak předpokládám, ve většině učebnic. Berte to tedy s rezervou.

V desítkové soustavě každou polohu můžeme zaplnit 10 číslicemi od 0 do 9. Tyto možnosti jsou vzájemně nezávislé a proto se podle pravidel kombinatoriky vzájemně násobí.

Čísel typu 0,X je 10, čísel typu 0,XX je 100, čísel typu 0,XXX je 1000. Takže celkový počet všech čísel v intervalu mezi nulou a jednou, pokud uvažujeme, že tato čísla jsou nekonečně dlouhá (podle konvence nemusíme prázdná (nulová místa vyplňovat) je deset na nekonečno. Pokud bychom počítali v šestnáctkové soustavě, tak by to bylo víc, ve dvojkové soustavě méně.

Počet všech čísel v intervalu mezi nulou a jednou je však stejný jako počet nekonečně dlouhých přirozených čísel.

Pro toto tvrzení lze dát hned tři důkazy:

1. V zápisu čísla vynecháme desetinnou čárku. Například pro 0,000121000 potom budeme číst jako 000121000 tedy

0 x miliardy
0 x stovky milionů
0 x desítky milionů
0 x miliony
1 x stovky tisíc
2 x desítky tisíc
1 x tisíce
0 x stovky
0 x desítky
0 x jednotky (zde bychom mohli psát nuly).

2. Číslo budeme číst v obráceném pořádku, tedy zprava doleva. Připomínám, že směr zápisu a jeho čtení je věcí konvence a že Semité preferují nám způsob nezvyklé čtení. Tedy

0,000121000 = 000121000,0
0 x stovky milionů
0 x desítky milionů
0 x miliony
1 x stovky tisíc
2 x desítky tisíc
1 x tisíce
0 x stovky
0 x desítky
0 x jednotky
0 x desetiny.

3. Použijeme kombinatorický přístup. V desítkové soustavě je jednomístných čísel typu X 10, dvojmístných čísel typu XX je 100, trojmístných čísel typu XXX je 1000. Takže celkový počet všech nekonečně dlouhých čísel přirozených čísel je deset na nekonečno.

Toto číslo je spolehlivě nespočetné a tím jsme dospěli k paradoxu, kterého si zřejmě matematici nevšimli.

Paradox vznikl tím, že se zaměnilo číslo s číslovkou. Používáme příliš dokonalý zápis čísel a pak ztotožňujeme zápis s vlastním číslem

Jak svědčí archeologické nálezy, v době kamenné si lidé poznamenávali čísla vyrytím vrubů na kosti nebo dřevěné hůlky. U primitivních lidí se tento zvyk prý zachoval dodnes, když si na své zbraně vyrývají počet mrtvých. Zápis dlouhých čísel tímto způsobem je nepohodlný a proto Latinové jej zdokonalili používáním zkratek V, X, L, C, D, M.

V zásadě bychom mohli tento způsob zápisu nazvat jednotkový. Tedy to zkusíme třeba podle vzoru římských číslic.

Zápis 111 znamená v jednotkové soustavě číslo 3

v dvojkové soustavě číslo 4+2+1 = 7 a desítkové soustavě číslo 100+10+1 = 111. To nám ukazuje, že tento způsob zápisu jednotkové soustavy neodpovídá zásadám polohového zápisu. Musíme tedy psát

0001 = 1
0010 = 2
0100 = 3
1000 = 4

V tomto případě se jedná vlastně o pořadovou číslovku. Jednotková soustava umožňuje logaritmování (logaritmus o základu 1 by byl shodný s logaritmovaným číslem), má však dvě zásadní nevýhody:

1. Umožňuje zapsat jedno číslo několika způsoby, třeba

10000 = 1001 = 110. Počet těchto zápisů je starý kombinatorický problém počtu rozdělení čísla n na nestejné části [3].

2. Opakem je zápis zlomků. V tomto případě by 0,1 znamenalo 1/2, 2/3, 3/4, tedy (n-1)/n, a 0,01 by bylo 1/3, 2/4, 3/5, tedy (n-2)/n, jak se snadno přesvědčíme, třeba vyřešením zápisu 100/10000 = 0,01. Tím by vznikaly chyby, protože by stejná čísla, třeba 1/3 = 2/6 by se objevila na dvou různých místech jako 0,01 a 0,0001.

Spočetné nekonečno jsou pořadová čísla, kterých je, pokud počítáme jen základní zápis, právě nekonečno. Tato úvaha selhává pro zlomky, tedy čísla v intervalu mezi nulou a jednou.

Nekonečno v jednotkové soustavě se nám mění v nespočetné číslo, když se jej pokusíme považovat za zápis čísla v dvojkové nebo v desítkové soustavě. Z toho plyne závěr, že spočetné nekonečno nemůže být v dvojkové nebo v desítkové soustavě číslo s nekonečným počtem míst. Vzhledem k tomu, že čísla v intervalu mezi nulou a jednou mají nekonečný počet míst, která lze nezávisle zaplnit řadou prvků, musí jich být nespočetně mnoho.

Literatura:

[1] T. Jech, D. Storch, Teorie nekonečna, Vesmír, 76,(2) 67-70 (1999). [X1]

[2] M. Kunz, Natura, 1999, číslo 3. [N1]

[3] G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Addison-Wesley Publ. Comp., Reading, MA, 1976, rusky Teoria razbijenij, Nauka, Moskva, 1982.

časopis o přírodě, vědě a civilizaci