Redakce časopisu Natura Plus nabízí zdarma zájemcům o matematiku, fyziku, astrofyziku a kosmologii matematické a fyzikální texty napsané v textovém editoru ESO (verze 3.00) firmy AutoCont, který je k dispozici zdarma na požádání.
 

Texty v textovém procesu LaTeX, převedené do formátu Adobe Acrobat PDF (nebo ve formátu DVI) nejsou zatím k dispozici. Podmínky jejich poskytování budou stanoveny po dokončení jejich podstatné části zřejmě koncem roku 2005.

Texty jsou zasílány výlučně elektronickou poštou po zaslání Vaší zprávy s předmětem uvedeným pod nadpisem každého souboru (stačí kliknout na příslušný odkaz). Text zprávy můžete ponechat prázdný. Všechny soubory jsou kompresovány kompresním programem ARJ nebo PKZIP a jejich délka nepřesahuje 1 MB. Texty jsou zasílány obvykle do dvou pracovních dnů.

Texty jsou zasílány pouze na e-mailové adresy, z nichž je zřejmé  jméno a příjmení odesilatele. Anonymním nebo pseudonymním odesilatelům texty zásadně neposíláme.

V některých případech texty na Vaši e-mailovou adresu nelze zaslat. Jde o následující případy:

• Server elektronické pošty, na němž se nachází Vaše poštovní schránka, vyžaduje existenci reverzního DNS záznamu pro poštovní server odesilatele.
• Server elektronické pošty, na němž se nachází Vaše poštovní schránka, znemožňuje příjem zpráv s připojenými soubory z důvodu ochrany před počítačovými viry
• Server elektronické pošty, na němž se nachází Vaše poštovní schránka, klade omezení na fyzickou velikost přijatých zpráv s připojenými přílohami.

Všechny texty jsou autorským dílem ve smyslu autorského zákona a žádná jejich část nesmí být publikována za účelem majektového prospěchu a bez souhlasu autora. Texty slouží pouze ke studijním a výukovým účelům. Všechna nejasná místa nebo případné nedostatky a chyby, prosím, konzultujte s autorem, aby mohly být odstraněny.

Pouze editor ESO (verze 3.00) firmy AutoCont umožňuje zobrazit všechny následující texty ve formátu ESO. Program nemá standardní grafickou podobu programů Microsoft Windows, neboť byl vyvinut ještě v době systémů MS-DOS.

Základy matematické analýzy v reálném oboru podle přednášek matematické analýzy konané na MFF UK v Praze a podle přednášek na Ekonomické fakultě v Chebu Západočeské Univerzity.

I. Poznámky ze středoškolské matematiky
1. Polynomy a racionálně lomená funkce.
1.1. Polynomy. Kořen polynomu, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů, Hornerovo schéma.
1.2. Racionální lomená funkce.  Racionální lomená funkce a její rozklad na součet parciálních zlomků. Příklady.
2. Goniometrické funkce.
2.1. Vztahy goniometrických funkcí.  Funkce záporných úhlů, funkce téhož úhlu, funkce dvou úhlů, funkce násobku a poloviny úhlu, mocniny funkce, goniometrické řady.
2.2. Řešení některých typů goniometrických rovnic.  Základní goniometrická rovnice, princip řešení, odvozené typy goniometrických rovnic.
3. Exponenciální rovnice.  Řešení speciálních typů exponenciálních rovnic.
4. Logaritmické rovnice.  Řešení speciálních typů logaritmických rovnic.

II. Základy matematické analýzy v reálném oboru.
1. Princip matematické indukce.  Matematická indukce a její aplikace v důkazech.
2. Limita posloupnosti.  Posloupnost reálných čísel. Limita posloupnosti. Vlastnosti limity posloupnosti. Limita součtu, součinu, rozdílu a podílu. Limita převrácené hodnoty, limita "sevřené" posloupnosti, Bolzano-Cauchyho kritérium existence limity.
3. Limita funkce.  Kruhové a prstencové okolí bodu. Limita funkce v bodě (vlastní a nevlastní limita ve vlastním a nevlastním bodě). Definice limity pomocí okolí bodu. Limita součtu, součinu, rozdílu a podílu, limita převrácené hodnoty, limita superpozice, limitní přechod v nerovnostech, limita monotónních funkcí. Některé limitní vztahy.
4. Spojitost funkce.  Spojitost v bodě, spojitost v intervalu, spojitost superpozice, Darbouxova vlastnost.
5. Derivace a diferenciál funkce.
5.1. Derivace funkce jedné proměnné.  Derivace funkce v bodě. Derivace součtu, součinu, rozdílu, podílu, derivace superpozice, derivace inverzní funkce.
5.2. Derivace funkce dané parametricky.  Parametrické vyjádření funkce a její derivace.
5.3. Diferenciál funkce.  Diferenciál funkce, souvislost s derivací.
5.4. Věty o střední hodnotě.  Lokální extrém a nutná podmínka jeho existence. Rolleova věta, Lagrangeova věta o střední hodnotě, Cauchyho zobecněná věta.
5.5. L'Hospitalovo pravidlo.  L'Hospitalovo pravidlo a jeho aplikace.
5.6. Derivace vyšších řádů.  Derivace funkce na intervalu, derivace vyššího řádu, Leibnizův vzorec.
6. Vyšetřování průběhu funkcí.  Monotónnie funkce, lokální extrém funkce, konvexní a konkávní funkce, asymptota funkce. Určení průběhu funkce.
7. Taylorův rozvoj funkce.  Taylorův polynom funkce, Cauchyův a Lagrangeův tvar zbytku Taylorova polynomu. Pehled Taylorových rozvojů funkcí. Příklady na výpočet limit Taylorovým polynomem.
8. Nekonečné řady.
8.1. Definice řady a základní vlastnosti. Nekonečná řada a její součet. Geometrická řada. Linearita součtu řad.
8.2. Konvergence řad s nezápornými členy. Srovnávací kritérium, konvergentní majoranta. Limes superior, limes inferior. d'Alembertovo kritérium. Cauchyho kritérium. Integrální kritérium. Abelovo a Dirichletovo kritérium. Leibnizovo kritérium.
8.3. Absolutně konvergentní a neabsolutně konvergentní řady.  Trojúhelníková nerorovnost, konvergence absolutní, neabsolutní. Leibnizovo kritérium.
8.4. Přerovnávání řad. Přerovnaná řada a její konvergence.

III. Příklady.
2. Limity posloupností.
3. Limity funkcí.  Příklady na limity funkcí řešené substitucemi.

Základy Riemannova a Newtonova integrálu, popis metod jeho výpočtu ilustrovaný mnoha příklady, základy křivkového integrálu a plošného integrálu.

1. Riemannův integrál. Riemannův integrál na intervalu. Základní věta o existenci Riemannova integrálu. Vlastnosti Riemannova integrálu.
2. Zásadní vady Riemannova integrálu.  Zásadní vady Riemannova integrálu: integrace omezených funkcí na intervalech, integrace pouze na omezených intervalech, neexistence integrálu posloupnosti integrovatelných funkcí.
3. Newtonův integrál.  Zobecněná primitivní funkce. Newtonův integrál přes interval. Nutné a postačující podmínky pro existenci Newtonova integrálu. Vztah mezi Riemannovým a Newtonovým integrálem. Vlastnosti Newtonova integrálu. Věta o integraci per partes, věta o substituci, věty o střední hodnotě.
4. Existence Newtonova integrálu. Existenční věty: věta o srovnávacím kritériu, věta o Abelově a Dirichletově kritériu. Věta o derivaci Newtonova integrálu (primitivní funkce jako Newtonovův integrál s proměnnou horní mezí).
5. Rozklad racionální funkce na součet parciálních zlomků.  Racionální funkce, rozklad na součet parciálních zlomků.
6. Integrace jednotlivých členů rozkladu na parciální zlomky. Integrace jednotlivých členů rozkladu na součet parciálních zlomků a odvození této integrace.
7. Substituce pro některé speciální integrály.  Seznam substitucí speciálních typů integrálů.
8. Funkce Gamma.  Výpočet Laplaceova integrálu, funkce gamma, funkce beta. Vlastnosti funkcí gamma a beta.
9. Příklady na aplikace substitucí.  Integrace s běžnými substitucemi. Příklady na integraci rozkladem racionální funkce na součet parciálních zlomků. Příklady integraci speciálních integrálů podle odst.7.
10. Křivkový integrál.  Křivkový integrál 1.druhu, křivkový integrál 2.druhu, úplný křivkový integrál 2.druhu. Výpočet křivkového integrálu. Greenova věta.
11. Plošný integrál. Plocha, vnější vektor normály plochy, diskriminant plochy, metrické koeficienty plochy, plošný obsah plochy.  Plošný integrál 1.druhu, plošný integrál 2.druhu, úplný plošný integrál 2.druhu. Výpočet plošného integrálu. Věta Gaussova- Ostrogradského. Věta Stokesova. Geometrický a fyzikální význam plošného integrálu.
Příklady.

Základy teorie grup a jejich aplikace ve fyzice podle vybraných kapitol knihy Otty Litzmana a Milana Sekaniny "Užití grup ve fyzice", podle knihy Luboše Motla a Miloše Zahradníka "Pěstujeme lineární algebru" a podle "Introduction to Groups, Invariants and Particles" Franka W.K.Firka, emeritního profesora fyziky v Yale University.

1. Základy teorie grup
1.1. Základní pojmy teorie množin. Odkaz na text "Vybrané partie z matematické analýzy".
1.2. Základní pojmy z teorie grup. Binární  operace,  grupa,  Abelova  grupa.  Permutace. Základní vlastnosti grup. Multiplikační tabulka konečné grupy. Podgrupy. Podgrupa  generovaná  množinou,  cyklická  grupa, mocnina prvku grupy. Term, vazba mezi  prvky množiny. Homomorfismus, normální (invariantní)  podgrupa, faktorová  grupa. Levá  a pravá třída,  levý  a pravý rozklad grupy, Lagrangeova  věta, index podgrupy v grupě. Faktorové grupy. Rozklad na třídy ekvivalence, vnitřní automorfismus  grupy.  Množina   generujících  vazeb.  Direktní součet grup.
1.3. Euklidovská grupa. Přemístění a jeho rotační a translační část. Grupy symetrie: Grupa symetrie, operace symetrie.
1.4. Bodové grupy. Bodová grupa a její vlastnosti.
1.5. Eulerovy úhly. Eulerovy úhly otočení v prostoru. Rotace kolem osy. Matice transformace.

2. Reprezentace grup
2.1. Lineární operátory. Lineární  zobrazení,  lineární   operátor.  Regulární  lineární operátor. Reprezentace grupy  regulárními lineárními operátory. Ekvivalentní reprezentace. Invariantní podprostor. Ireducibilní systém  lineárních operátorů. Matice  lineárního  zobrazení. Matice přechodu od báze  k bázi. Reprezentace grupy regulárními čtvercovými maticemi. Ekvivalentní a ireducibilní reprezentace. Direktní součet podprostorů. Úplně reducibilní reprezentace.
2.2. Schurovy věty. 1. Schurova věta. 2. Schurova věta. Wignerova věta.
2.3. Hilbertův prostor. Prostor  se  skalárním  součinem.  Norma  vektoru.  Ortogonální vektory.  Ortonormální báze.  Konvergentní posloupnost vektorů. Cauchyovská  posloupnost  vektorů.   Úplný  vektorový  prostor. Separabilní  vektorový prostor.  Abstraktní Hilbertův  prostor.Unitární  prostor.  Hermiteovsky  sdružený  operátor.  Unitární operátor. Úplně reducibilní reprezentace. Unitární reprezentace v Hilbertových prostorech.
2.4. Charaktery. Operace  s  maticemi  a   vlastnosti  matic:  Unitární  matice. Ortogonální  matice.  Hermiteovská   matice.  Normální  matice. Elementární operace s maticemi. Vlastní čísla matice. Kanonická redukce  matic.  Reducibilní  matice. Stopa matice. Schwarzova  nerovnost.
Charakter grupy: Charakter grupy. Funkce tříd.
Prostor všech komplexních funkcí na grupě.
Cayleyova   regulární  reprezentace:  Permutace  a  permutační matice.
Integrace na nekonečných grupách. Haarova míra.
2.5. Reprezentace přímého součinu grup. Kroneckerův (direktní) součin matic: Kroneckerův součin matic.

5. Grupy a kvantová mechanika.
5.1. Transformace souřadnic, vlnových funkcí a vektorů. Pasivní a aktivní pojetí transformace souřadnic.
Přehled   základních  postulátů   kvantové  mechaniky:  Stavové vektory a funkce. Měřitelné  veličiny a střední hodnoty. Časový vývoj stavového  vektoru. Diracova delta-funkce,  Diracova míra soustředěná  v bodě.  Diracova symbolika  vektorů a  operátorů. Operátor  polohy,  hybnosti  a  momentu  hybnosti. Transformace operátorů.  Vlastní funkce  a hodnoty  operátorů. Spin částice. Harmonický   oscilátor.  Hermiteovy   polynomy.  Pohyb  částice v centrálním poli.
Transformace  v  kvantové  mechanice:  Transformace  souřadnic. Polární   vektory,  axiální   vektory,  spinory.  Symetrizované reprezentace. Antisymetrizované reprezentace.
5.2. Reprezentace grupy třírozměrných rotací, řešení Laplaceovy rovnice. Laplaceova rovnice.  Legendrova diferenciální rovnice  a kulové funkce.
5.3. Symetrie hamiltoniánu a degenerace jeho vlastních hodnot. Řešení Schrodingerovy rovnice pro  elektron v poli iontů. Grupa symetrie  Schrodingerovy   rovnice.  Podobnostní  transformace. Náhodná degenerace vlastních hodnot.

7. Grupa O(3).
7.1. Lieovy grupy.
Topologické prostory a variety: Topologický prostor, topologie. Otevřené  a  uzavřené  množiny,  okolí  množiny  a  okolí bodu. Vnitřek, vnějšek  a hranice množiny. Spojité  zobrazení v bodě, na množině. Homeomorfní zobrazení. Lokální soustava souřadnic.Vyjádření  funkce  v  soustavě  souřadnic. Topologická varieta. Diferencovatelná varieta. Kompaktní množina. Křivka na varietě. Nesouvislý  a souvislý topologický  prostor. Oblast.  Jednoduše a vícenásobně  souvislá množina. p-rozměrná  plocha na varietě. Vzájemně homologické plochy. Plocha homologická nule.
Lieovy  grupy a  Lieovy algebry:  Topologická grupa.  Příklady. r-parametrická Lieova grupa. Parametrizace Lieovy grupy. Křivka a  tečný  vektor  ke  křivce  na  Lieově grupě. Lieova algebra. Jacobiho identita. Strukturní konstanty Lieovy algebry. Lokální jednoparametrická   podgrupa   Lieovy   grupy.  Infinitezimální matice. Parametrizace Lieovy grupy prvního druhu. Parametrizace Lieovy grupy druhého druhu.
Reprezentace   Lieových  grup:   Reprezentace  Lieovy   algebry maticemi.  Reprezentace  Lieovy  algebry  lineárními operátory. Casimirovy matice.
X.1. Poznámky k Lieovým algebrám a Lieovým grupám.
Příklady fyzikálně  významných Lieových grup:  Grupy GL(n,C/R), SL(n,C/R),  U(n),  SU(n),  O(n,C/R),  SO(n,C/R), Spin(n), SP(2n,C/R).
Souvislost  Lieových  grup  a  Lieových  algeber: Lieova grupa. Tečný  vektor variety  (Lieovy grupy).  Tečný prostor  variety. Lieovy grupy translací  v n-rozměrném prostoru. Infinitezimální generátor,  infinitezimální matice.  Komutátor, Lieova algebra. Diferenciál  zobrazení  na  varietě  (Lieově grupě). Maurerovy-Cartanovy  1-formy. Levoinvariantní  vektorové pole.  Jacobiova identita. Asociátor,   alternativní  algebra. Kvaternionová algebra. Oktonionová algebra (Cayleyho čísla).
Lieova grupa  SO(3) a Lieova algebra so(3):  Grupa všech rotací v prostoru. Infinitezimální matice. Levi-Civitův tenzor. Lieova algebra so(3).
Lieova  grupa  SU(2)  a  Lieova  algebra  su(2):  Grupa všech unitárních matic s jednotkovým determinantem. Pauliho matice.
Homeomorfismy Lieových algeber.
Reprezentace  Lieových  grup  a  Lieových algeber: Reprezentace Lieovy  grupy, dimenze reprezentace.  Unitární  reprezentace. Reprezentace Lieovy algebry.
Izomorfismy mezi některými Lieovými algebrami: Izomorfismus.
Spinorová  algebra:  Tenzorový   součin  vektorových  prostorů. Tenzorový součin matic. Spinorová algebra. Kreační a anihilační operátory. Operátor chirality.
Kompaktní  Lieovy  grupy:  Kompaktní  Lieova grupa. Klasifikace prostých  kompaktních  spojitých  grup  a algeber (cartaniáda). Invariantní integrál na grupě (Haarova míra).
Maximální tory: Maximální torus.
Superalgebry a supersymetrie:  Poincarého algebra. Superalgebra (graduovaná  algebra).  Grassmanské  operátory.  Antikomutátor.Superkomutátor (graduovaný komutátor). Supersymetrie.
Obří vyňatá grupa: Obří grupy.
7.2. Reprezentace grupy SO(3). Lokální jednoparametrické grupy. Infinitezimální matice.
Infinitezimální operátory grupy  SO(3): Parametrizace 1. druhu. Strukturní konstanty.
Vlastnosti operátorů: Zvyšovací a snižovací operátor.
Reprezentace grupy SO(3): Pauliho matice.
7.3. Grupa SU(2). Speciální  unitární  grupa  SU(2).  Homomorfismus  grupy  SO(3) a SU(2). Shrnutí. Ireducibilní reprezentace grupy SU(2). Infinitezimální matice grupy SU(2).
7.4. Zákony zachování v kvantové mechanice.

Přílohy. Kulové  funkce,  Legendrova  diferenciální  rovnice: Legendrovy polynomy. Hypergeometrická řada. Rodriguesův vzorec. Přidružené Legendrovy  funkce prvního  a druhého  druhu. Kulové (sférické) funkce.

Některé vybrané partie z matematické analýzy v reálném oboru podle přednášek matematické analýzy konaných na MFF UK v Praze.

1. Relace množin.  Binární relace, zobrazení, obor relace, obraz množiny v relaci, vzor množiny v relaci, zúžení relace, inverzní relace, identická relace, kompozice relací. Relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní. Relace ekvivalence, třída ekvivalence, rozklad na třídy ekvivalence. Relace uspořádání, uspořádaná množina, srovnatelné prvky, úplně uspořádaná množina (lineárně uspořádaná), maximální, minimální prvek, množina omezená shora, zdola, omezená množina. Supremum, infimum množiny v množině. Princip indukce. Dobře uspořádaná množina.
2. Zobrazení.  Zobrazení množiny do množiny, definiční obor, obor hodnot. Konstantní, identické, injektivní, surjektivní, bijektivní zobrazení.
3. Soubory množin a operace s nimi.  Soubor prvků množiny. Sjednocení, průnik souboru. Pokrytí množiny, podpokrytí množiny.
4. Spočetné množiny.  Ekvivalentní množiny, mohutnost množiny. Spočetné, nejvýše spočetné a nespočetné množiny. Spočetný, nejvýše spočetný soubor.
5. Axióm výběru.  Hnízdo. Konečný charakter systému množin. Axióm výběru, princip maximálního prvku. Tukeyho lemma, Kuratowského lemma, Zornovo lemma, Hausdorffův princip maximálního hnízda, Zermelův postulát, princip dobrého uspořádání.
6. Metrické prostory.  Metrický prostor a metrika, podprostor metrického prostoru. Lineární (vektorový) prostor, skalární součin a norma. Vztahy mezi normou a skalárním součinem a mezi metrikou a normou. Prstencové a kruhové okolí bodu a jsou uvedeny "axiomy" okolí. Otevřená množina v metrickém prostoru. Topologický prostor, topologie, otevřené a uzavřené množiny, okolí množiny, okolí bodu, vlastnosti okolí. Vnitřek množiny, vnějšek množiny, hranice, uzávěr množiny. Bodová konvergence v topologickém prostoru, spojitost zobrazení v bodě.
7. Kompaktní prostory.  Kompaktní prostor. Cantorova věta pro kompaktní prostory, speciálně pro intervaly Euklidovského prostoru. Totálně omezená (relativně kompaktní) množina a pokrytí množiny. Borelova věta. Průměr množiny (diametr), zobecněná definice omezené množiny. Hromadný bod množiny metrického prostoru, hromadný bod posloupnosti reálných čísel. Bolzano-Weierstrassova věta. Stejnoměrně spojité zobrazení.
8. Úplné prostory.  Úplný prostor, Bolzano-Cauchyova podmínka. Cantorova věty pro úplné prostory. Banachův prostor. Hilbertův prostor, některé jeho vlastnosti. Hustá a řídká množina,jejich vlastnosti. Dvě verze Baireovy věty. Množiny 1. a 2.kategorie a reziduel, množiny typu F-sigma a G-delta. Spojitá konvergence. Izometrické zobrazení. Úplný obal metrického prostoru věta o existenci úplného obalu.
9. Doplňky k teorii kompaktních prostorů.  Hromadný bod množiny v topologickém prostoru, derivace množiny, hustě rozložená množina. Kompaktní prostor v topologickém prostoru, spočetně kompaktní prostor, báze topologického prostoru. Separabilní prostor. Lindelofova věta. Weierstrassova věta o aproximaci libovolné funkce polynomem. Normální prostor. Urysonovy metrizační věty. Vlastnosti Cantorova diskontinua. Bod kondenzace množiny a bod totální kondenzace. Vlastnosti Cantorovy stupňovité funkce. Hustě rozložená množina, dokonalá množina, diskontinuum.
10. Prostory Lebesgueovsky integrovatelných funkcí.  Holderova nerovnost, Minkowského nerovnost. Prostor L^p, pseudonorma, přechod k normě na faktorovém prostoru, metrika v prostorech L^p. Konvergence v průměru p-tého stupně, konvergence podle míry. Jegorovova věta. Věta Luzinova.
11. Abstraktní Hilbertův prostor.Ortogonální, ortonormální a lineárně nezávislý systém. Hilbertova-Schmidtova ortogonalizační metoda. Abstraktní Hilbertův prostor, Fourierova řada, vlastnosti prvků Hilbertova prostoru, Besselova identita, Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost. Úplný ortogonální systém. Izometrie abstraktního Hilbertova prostoru s Hilbertovým prostorem. Legendrovy polynomy, Čebyševovy polynomy, Laguerovy polynomy a Hermitovy polynomy.
12. Souvislé prostory. Darbouxova vlastnost, dvě verze věty o střední hodnotě. Nesouvislý topologický prostor a souvislý topologický prostor. Oddělené množiny. Vlastnosti souvislých prostorů. Kontinuum, oblast. Komponenty prostoru. Lokálně souvislý prostor.
Poznámky:
1. Stejnoměrná a absolutní spojitost.
2. Velikost číselných množin (Netuka, Ivan: O velikosti číselných množin, VTM, 1987).

Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic a jejich řešení klasickými metodami, metodou integrace řad a metodou Laplaceovy transformace. Obsahuje řešené příklady diferenciálních rovnic jednotlivými metodami. Obecné řešení Besselovy rovnice, Legendreovy rovnice, Gaussovy rovnice, Laguerrovy rovnice, Hermitovy rovnice.

1. Obecný úvod.  Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním a explicitním tvaru a jejich partikulární a obecné řešení. Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici. Věty o existenci a jednoznačnosti řešení.
2. Obyčejné diferenciální rovnice 1.řádu.
2.1. Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými. Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými a její řešení.
2.2. Lineární diferenciální rovnice 1.řádu. Lineární diferenciální rovnice 1.řádu v normovaném tvaru. Homogenní lineární diferenciální rovnice 1.řádu a její řešení. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice 1.řádu, řešení substitucí, řešení variací konstant.
2.3. Homogenní diferenciální rovnice 1.řádu. Homogenní diferenciální rovnice 1.řádu a její řešení
2.4. Exaktní diferenciální rovnice 1.řádu. Exaktní diferenciální rovnice 1.řádu a její řešení.
2.5. Integrující faktor (Eulerův multiplikátor). Integrující faktor lineární diferenciální rovnice. Speciální tvary integrujícího faktoru.
2.6. Bernoulliova rovnice. Bernoulliova diferenciální rovnice a její řešení.
2.7. Riccatiova rovnice.  Riccatiova diferenciální rovnice a její řešení.
2.8. Clairautova rovnice. Clairautova diferenciální rovnice a její řešení.
3. Obyčejné diferenciální rovnice 2.řádu.
3.1. Některé zvláštní pojmy.  Některé speciální případy diferenciální rovnice 2.řádu a jejich řešení.
3.2. Homogenní lineární dif. rovnice 2.řádu s konstantními koef.  Homogenní lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty a její řešení pomocí charakteristické rovnice.
3.3. Homogenní lineární dif. rovnice 2.řádu s proměnnými koef. Homogenní lineární diferenciální rovnice 2.řádu s proměnnými koeficienty a její řešení substitucí.
3.4. Eulerova dif. rovnice 2.řádu bez pravé strany.  Eulerova diferenciální rovnice 2.řádu bez pravé strany a její řešení pomocí charakteristické rovnice.
3.5. Nehomogenní lineární dif. rovnice 2.řádu.  Nehomogenní lineární diferenciální rovnice 2.řádu, normovaný tvar rovnice, partikulární řešení homogenní rovnice, obecné řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant.
3.6. Nehomogenní lin. difer. rovnice 2.řádu s konst. koeficienty. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstant- ními koeficienty, řešení homogenní rovnice, řešení nehomogenní rovnice variací konstant.
3.7. Eulerova difer. rovnice 2.řádu s pravou stranou.  Eulerova diferenciální rovnice 2.řádu s pravou stranou, řešení homogenní rovnice, řešení nehomogenní rovnice variací konstant. Speciální případy partikulárních řešení.
4. Obyčejné diferenciální rovnice 3.řádu.
4.1. Homogenní lineární dif. rovnice 3.řádu s konst. koeficienty.  Homogenní lineární diferenciální rovnice 3.řádu s konstantními koeficienty, řešení charakteristické rovnice.
4.2. Nehomogenní lineární dif. rovnice 4.řádu s konst. koef.
Nehomogenní lineární diferenciální rovnice 4.řádu s konstantními koeficienty a její řešení variací konstant.
5. Integrování diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad.  Analytické řešení diferenciální rovnice ve tvaru mocninné řady. Získání koeficientů rozvoje řešení.
5.1. Besselova diferenciální rovnice.  Besselova diferenciální rovnice, index Besselovy rovnice. Besselovy funkce 1.druhu, Besselovy funkce 2.druhu, vztahy mezi Besselovými funkcemi různého indexu, Besselova a Poissonova integrální reprezentace Besselových polynomů.
5.2. Legendreova diferenciální rovnice. Legendreova diferenciální rovnice, její goniometrický tvar. Legendreovy kulové funkce 1.druhu, Legendreovy polynomy. Rodriguesův vzorec. Hypergeometrická řada, Eulerova integrální reprezentace hypergeometrické řady. Vyjádření Legendreových polynomů ve tvaru mocninné řady. Laplaceova reprezentace Legendreových polynomů. Legendreova kulová funkce 2.druhu, její vyjádření pomocí funkce 1.druhu.
5.3. Gaussova (hypergeometrická) diferenciální rovnice.  Gaussova (hypergeometrická) diferenciální rovnice, její obecné řešení pomocí hypergeometrických funkcí. Jacobiovy polynomy, Legendreovy polynomy, Čebyševovy polynomy.
5.4. Laguerrova diferenciální rovnice.  Laguerrova diferenciální rovnice. Laguerrovy polynomy. Obecné Laguerrovy polynomy, Kummerova diferenciální rovnice, vyjádření Laguerrových polynomů pomocí Besselových funkcí 1.druhu.
5.5. Hermitova diferenciální rovnice.  Hermitova diferenciální rovnice, Hermitovy polynomy ve tvaru Rodriguesova vzorce, vyjádření ve tvaru řady, vyjádření ve tvaru Leguerrových polynomů. Integrální vyjádření Hermitových polynomů. Rekurentní vztahy pro Hermitovy polynomy. Vytvořující funkce Hermitových polynomů.
6. Diferenciální rovnice n-tého řádu.  Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu. Soustava obyčejných diferenciálních rovnic n-tého řádu, vektorový zápis soustavy, řešení soustavy
6.1. Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a její vektorový tvar.
6.2. Homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, její vektorový tvar. Fundamentální systém řešení. Homogenní funkce.
6.3. Řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic. Soustava lineárních diferenciálních rovnic. Determinant řešení a jeho souvislost s řešením soustavy. Fundamentální systém homogenní soustavy a řešení nehomogenní soustavy. Wronského determinant.
6.4. Variace konstant pro soustavu rovnic. Řešení nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic variací konstant.
6.5. Variace konstant pro rovnici n-tého řádu. Metoda variace konstant pro diferenciální rovnici n-tého řádu.
6.6. Lineární difer. rovnice s konstantními koeficienty. Řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficien- ty pomocí charakteristického polynomu. Diferenciální operátor.
7. Fyzikální význam některých vybraných difer. rovnic. Rovnice volných harmonických kmitů a její řešení, frekvence, perioda a amplituda kmitavého pohybu, počáteční fáze. Rovnice elastických kmitů bez odporu v případě rušivé periodické síly. Rezonance kmitů.
8. Laplaceova transformace.  Laplaceova transformace, obraz a vzor funkce při transformaci. Kritéria existence Laplaceovy transformace. Inverzní Laplaceova transformace. Linearita Laplaceovy transformace. Věta o posunu obrazu. Věta o změně měřítka. Věta o translaci předmětu. Věta o obrazu derivace. Věta o derivaci obrazu. Věta o obrazu integrálu. Věta o integrálu obrazu. Věta o konvoluci. Věta o obrazu konvoluce. Věta o limitách.
8.1. Řešení diferenciálních rovnic Laplaceovou transformací. Obecná metoda řešení diferenciálních rovnic Laplaceovou transformací. Příklady.
8.2. Tabulka některých Laplaceových transformací.  Tabulka některých Laplaceových transformací.
9. Netypický případ - Heuristické odvození jednorozměrné Schrödingerovy rovnice.

Ucelený výklad matematické analýzy v komplexním oboru podle přednášek konaných na matematicko-fyzikální fakultě University Karlovy v Praze v letech 1983-1984 doplněný příklady na výpočet integrálů zejména pomocí reziduové věty.

I. Komplexní analýza.
0. Úvodní poznámky. Uzávěr množiny. Vlastnosti komplexních čísel
1. Exponenciální funkce.  Exponenciální funkce a její vlastnosti. Reálná a imaginární část komplexního čísla. Eulerův vzorec. Funkce sinus, cosinus.
2. Křivky. Křivka v komplexní rovině. Regulární křivka. Délka křivky, Uzavřená křivka. Opačná křivka ke křivce. Geometrický obraz křivky. Křivkový integrál v komplexní rovině.
3. Holomorfní funkce.  Diferenciál lineárního zobrazení. Holomorfní funkce, celá funkce. Cauchyho-Riemannova rovnice, Cauchyho-Riemannovy podmínky v klasickém tvaru. Harmonická funkce. Laplaceův operátor.
4. Jednoznačná větev logaritmu. - ednoznačná větev logaritmu. Hlavní hodnota logaritmu, hlavní hodnota čísla mocniny.
5. Přírůstek logaritmu podél křivky.  Přírůstek logaritmu podél křivky. Přírůstek argumentu funkce podél křivky, geometrický význam.
6. Homografická transformace.  Lineární funkce, posunutí, otočení, stejnolehlost (homotetie), středová symetrie. Homografická transformace. Inverze.
7. Primitivní funkce.  Primitivní funkce ke komplexní funkci. Věta o existenci primitivní funkce pro holomorfní funkci. Souvislost primitivní funkce s křivkovým integrálem podél uzavřené křivky. Příklad: Fresnelovy integrály. Věta o existenci primitivní funce a nezávislosti křivkového integrálu na dráze.
8. Cauchyova věta a její důsledky. Cauchyova věta pro trojúhelník. Cauchyův vzorec. Liouvilleova věta. Základní věta algebry. Důkaz věty o Cauchyově vzorci pro p-tou derivaci. Weierstassova věta pro holomorfní funkce. Věta o jednoznačnosti holomorfní funkce funkce. Princip maximálního modulu.
9. Funkce holomorfní v prstencovém okolí bodu.  p-násobný nulový bod funkce. Věta o odstranitelné singularitě. Věta Casorati-Weierstrassova. Odstranitelná singularita. Pól násobnosti. Podstatná singularita. Existence limity funkce holomorfní v prstencovém okolí bodu.
10. Laurentova řada.  Laurentova řada o středu v bodě, regulární a hlavní část. Konvergence Laurentovy řady.
11. Reziduová věta Reziduum funkce na základě Laurentovy řady. Index křivky. Reziduová věta. Pravidla pro výpočet rezidua a indexu. Příklady. Jordanova křivka. Věta Jordanova.
12. Příklady.  Příklady na výpočet integrálů podle Cauchyovy a podle reziduové věty.

II. Doplňky k teorii pravděpodobnosti.
1. Definice základních pojmů teorie pravděpodobnosti.  Potenční množina, prostor elementárních jevů, náhodný jev, pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina. Zákon rozdělení náhodné veličiny, indukovaná pravděp. míra. Distribuční funkce. Hustota rozdělení. Diskrétní, spojité rozdělení. Věta o přenosu integrace. Střední hodnota. Nezávislé náhodné veličiny.
2. Charakteristická funkce.  Charakteristická funkce míry (Fourierův obraz míry). Příklady: Diracova míra soustředěná v bodě, diskrétní rozdělení, binomické rozdělení, Poissonovo rozdělení, rovnoměrné rozdělení, normální rozdělení, Cauchyho rozdělení. Věta o inverzi a její důkaz. Bochnerova věta.

Ucelený výklad teorie míry a Lebesgueova integrálu podle přednášek na Matematicko-fyzikální fakultě University Karlovy v Praze konaných v letech 1982-1983, doplněný rozsáhlým popisem metod výpočtu Lebesgueova integrálu s řadou řešených příkladů podle skript "Lebesgueova míra a integrál" autorů Nagyho J., Novákové E. a Vacka M.

I. Teorie míry a Lebesgueova integrálu.
1. Množinové systémy.  Potenční množina. Topologie. Sigma algebra, měřitelný prostor, sigma algebra generovaná množinovým systémem, okruh, algebra, Dynkinův systém. Vlastnosti jednotlivých množinových systémů.
2. Množinové funkce.  Numerická funkce. Pramíra na okruhu, objem. Vlastnosti pramíry a objemu. Monotónní systém. Spojitost zdola, spojitost shora.
3. Lebesgueova pramíra.  Buňky, figury na p-rozměrném reálném prostoru, množinové funkce na systému figur: objem, Lebesgueova pramíra. Míra na sigma algebře, prostor s mírou, pravděpodobnostní míra, pravděpodob- nostní prostor. Diracova míra soustředěná v bodě a čítací míra.
4. Vnější míra odvozená z pramíry.  Vnější míra odvozená z pramíry, subaditivita vnější míry. Caratheodoryova podmínka. Vnější míra, měřitelná množina. Sigma konečný objem. Rozšíření pramíry na míru.
5. Úplná míra.  Úplná míra. Věta o zúplnění míry. Zúplnění míry vzhledem k míře.
6. Lebesgueova míra.  Ekvivalence sigma algeber množinových systémů otevřených, uzavřených a kompaktních množin. Sigma algebra Borelovských množin. Lebesgue-Borelova míra, Lebesgueva míra. Cantorovo diskontinuum a jeho Lebesgueova míra. Množiny typu F-sigma a G- delta, jejich vlastnosti. Invariance Lebesgueovy míry vzhledem k posunutí.
7. Distribuční funkce, Lebesgue-Stieltjesova míra.  Distribuční funkce, vztah k pravděpodobnostní míře. Lebesgue- Stieltjesova míra indukovaná distribuční funkcí. m-rozměrná Hausdorffova míra.
8. Měřitelné funkce.  Spojité zobrazení topologických prostorů. Měřitelné zobrazení. Borelovské zobrazení. Měřitelnost superpozice zobrazení. Vzor topologického prostoru při měřitelném zobrazení. Limes superior a limes infrerior. Kladná a záporná část funkce. Jednoduchá funkce. Věta o aproximaci měřitelné funkce posloupností jednoduchých funkcí.
9. Abstraktní Lebesgueův integrál. Abstraktní Lebesgueův integrál nezáporné funkce, vlastnosti: např. Čebyševova nerovnost, věty o Lebesgueově integrálu nezáporné funce: věta o součtu jednoduchých měřitelných funkcí, Levi-Lebesgueovu věta o monotónní konvergenci pro nezáporné funkce, Leviha větu pro řady, věta o sigma aditivitě Lebesgueova integrálu pro nezáporné funkce, věta o limitě integrálů posloupnosti množin, Fatouovo lemma, věta o linearitě Lebesgueova integrálu, Lebesgueova věta o majorantě (Lebesgueova věta o dominantní konvergenci), věta o spojitosti podle parametru a větu o derivaci podle parametru. Hustota vzhledem k míře, vlastnost platná skoro všude. Borel-Cantelliho lemma, Jegorovova věta.
10. Lebesgueův integrál nezáporné funkce.  Lebesgueův integrál nezáporné funkce. Vztah Lebesugeova a Riemannova integrálu. Luzinova věta.
11. Vyšetřování konvergence Lebesgueova integrálu pro nezápornou měřitelnou funkci.  Kritéria konvergence Lebesgueova integrálu pro nezápornou měřitelnou funkci v jednorozměrném reálném intervalu. Příklady.
12. Vyšetřování konvergence v závislosti na parametru pro nezápornou měřitelnou funkci.  Kritéria konvergence Lebesqueova integrálu pro nezáporné měřitelné funkce v závislosti na parametru.
13. Integrace posloupností nezáporných měřitelných funkcí.  Metody integrace posloupností nezáporných měřitelných funkcí. Příklady.
14. Integrace řad nezáporných funkcí.  Metody integrace řad posloupnosti nezáporných měřitelných, aplikace Leviho věty, metoda per partes.
15. Lebesgueův integrál libovolné měřitelné funkce.  Abstraktní Lebesgueův integrál libovolné měřitelné funkce. Věta o linearitě integrálu, věta o vlastnostech integrálu, věta monotónii Lebesgueova integrálu a její důsledky, věta o sigma aditivitě integrálu a její důsledky.
16. Vyšetřování konvergence Lebesgueova integrálu.  Metody a příklady vyšetřování konvergence Lebesgueova integrálu libovolné měřitelné funkce na reálné přímce.
17. Levi-Lebesgueova větu o monotónní konvergenci.  Levi-Lebesgueova větu o monotónní konvergenci. Leviho věta pro řady pro libovolné funkce.
18. Lebesgueova věta o majorantě.  Lebesgueova věta o majorantě. Integrovatelná majoranta. Lebesgueova věta pro řady pro libovolné funkce.
19. Integrace posloupnosti funkcí.  Metody integrace posloupnosti libovolných měřitelných funkcí. Užití Lebesgueovy věty o majorantě.
20. Integrace řad funkcí.  Metody integrace řad libovolných měřitelných funkcí. Užití Leviho věty a Lebesgueovy věty pro řady. Věta o substituci. Příklady na výpočet integrálu substitucí.
21. Absolutní spojitost integrálu.  Absolutní spojitost Lebesgueova integrálu.
22. Integrace funkcí závislých na parametru. Metody integrace libovolných měřitelných funkcí závislých na parametru. Příklady. Spojitost integrálu funkce závislé na parametru.
23. Derivace integrálu podle parametru.  Derivace Lebesgueova integrálu funkce závislé na parametru podle parametru. Příklady výpočtu integrálu pomocí derivace.
24. Fubiniova věta.  Fubiniova věta pro nezáporné měřitelné funkce na celém prostoru, na intervalu. Dvojný a trojný Lebesgueův integrál.
25. Fubiniova věta pro nezáporné funkce na měřitelných podmnožinách dvojrozměrného prostoru.  Fubiniova věta pro nezáporné měřitelné funkce na měřitelných podmnožinách dvojrozměrného reálného prostoru. Příklady.
26. Fubiniova věta pro nezáporné funkce na měřitelných podmnožinách trojrozměrného prostoru.  Fubiniova věta pro nezáporné měřitelné funkce na měřitelných podmnožinách trojrozměrného reálného prostoru. Příklady.
27. Fubiniova věta pro měřitelné funkce v n-rozměrném reálném prostoru.  Fubiniova věta pro měřitelné funkce v n-rozměrném reálném prostoru.
28. Věta o substituci. Prosté zobrazení, spojitě diferencovatelné zobrazení. Jacobiova matice, jacobián. Regulární zobrazení. Polární, sférické souřadnice. Věta o substituci v Lebesgueově integrálu. Příklady.
29. Příklady na výpočet Lebesgueova integrálu.  Další příklady na výpočet Lebesgueova integrálu s využitím Fubiniovy věty, věty o substituci a věty o derivaci podle parametru, příklady na integraci podle parametru. Vlastnosti funkcí Gama a Beta a uvedeny příklady na aplikace těchto funkcí. Příklady na integraci v prostoru.
30. Obraz míry. Měřitelné zobrazení mezi dvěma měřitelnými prostory. Obraz míry při zobrazení. Věta o integraci podle obrazu míry. Příklad: náhodná veličina, střední hodnota náhodné veličiny.

II. Náboje, komplexní míry.
1. Náboje a komplexní míry. Náboj. komplexní míra. Nezáporná a nekladná množina. Hahnův rozklad, věta o Hahnově rozkladu. Kladná a záporná variace náboje, Jordanův rozklad náboje. Absolutní spojitost náboje a je uvedena Radonova Nikodimova věta.
2. Vnější míra.  Vnější míra. Měřitelnost. Regulární míra. Měřitelný obal množiny. Věta o maximalitě systému. Náboj soustředěný na množině. Singulární náboje. Věta o Lebesgueově rozkladu.
3. Derivování měr.  Lemma o pokrytí. Posloupnost množin vhodně se smršťující k bodu. Derivace náboje v bodě. Vlastnosti derivace měr.
4. Funkce s konečnou variací.  Funkce s konečnou variací. Normalizovaná funkce s konečnou variací.
5. Absolutně spojitá funkce.  Absolutně spojitá funkce. Věta o absolutní spojitosti integrálu. Věta o integraci per partes.
6. Poznámky k větě o substituci.  Poznámky k větě o substituci (spojitý obraz míry, Lipschitzův obraz míry). Regulární zobrazení, difeomorfní zobrazení.
7. Součin měr a Fubiniova věta.  Měřitelný obdélník. Součinová sigma algebra. Součin měr. Zobecněná Fubiniova věta.

Přílohy:
1. Determinanty.  Permutace množiny, identická permutace, inverzní permutace, inverze permutace, znaménko permutace. Determinant. Minor příslušný prvku matice, algebraický doplněk prvku matice. Rozvoj determinantu podle prvků řádku, sloupce.

Vybrané partie a příklady z matematické statistiky a teorie pravděpodobnosti s orientací na statistické metody.

I. Náhodné veličiny.
1. Definice základních pojmů teorie pravděpodobnosti.  Potenční množina, prostor elementárních jevů, náhodný jev. Pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, zákon rozdělení náhodné veličiny, distribuční funkce, diskrétní a spojité rozdělení, hustota rozdělení. Věta o přenosu integrace.
Charakteristiky náhodných veličin: střední hodnota, rozptyl, centrální moment k-tého řádu, medián, modus, kvantilová funkce, kovariance náhodných veličin. Nezávislé náhodné veličiny.
Náhodný výběr a výběrové charakteristiky: výběrový průměr, výběrový rozptyl, výběrový obecný moment k-tého řádu, výběrový centrální moment k-tého řádu.
Příklady spojitých rozdělení: gama funkce, beta funkce, neúplná beta funkce, normální (Gaussovo) rozdělení, rozdělení chí-kvadrát, Studentovo t-rozdělení.
Příklady diskrétních rozdělení: binomické rozdělení, rovnoměrné rozdělení.
2. Multinomické rozdělení.  Multinomické rozdělení jako zobecnění binomického rozdělení, simultánní a marginální rozdělení. Význam multinomického rozdělení a příklady.
3. Podstata statistického testování hypotéz.  Příklad objasňující podstatu statistického testování hypotéz. Nulová hypotéza, alternativní hypotéza, chyba prvního a druhého druhu, hladina testu, kritický obor pro test hypotézy. Ověření výběru z normálního rozdělení.
4. Kontingenční tabulky.  Definice kontingenčních tabulek, test nezávislosti. Čtyřpolní tabulky Fisherův faktoriálový test.
5. Přehled vybraných neparametrických metod.  Principy neparametrických metod. Kruskalův-Wallisův test, Fiedmanův test, Spearmanův korelační koeficient.

Sbírka řešených příkladů z teorie pravděpodobnosti, matematické statistiky a teorie náhodných funkcí podle knihy A.A. Svěšnikova "Sbírka úloh z teorie pravděpodobnosti, matematické statistiky a teorie náhodných funkcí". Každá část obsahuje stručný výklad teorie a přehled používaných vztahů.

I. Náhodné jevy.
1. Přímý výpočet pravděpodobnosti.  Příklady na přímý výpočet pravděpodobnosti, podmíněnou pravděpodobnost, větu o sčítání pravděpodobnosti, úplnou pravděpodobnost, výpočet aposteriorních pravděpodobností pomocí Bayesova vztahu, pravděpodobnost jevu v opakovaných nezávislých pokusech. - Příklady na multinomické rozdělení, vytvořující funkce.

II. Náhodné veličiny.
1. Rozdělení pravděpodobnosti a distribuční funkce diskrétních náhodných veličin.  Rozdělení pravděpodobnosti, distribuční funkce.
2. Distribuční funkce a hustota pravděpodobnosti spojitých náhodných veličin. Spojitá náhodná veličina. Hustota pravděpodobnosti, distribuční funkce. Charakteristiky rozdělení: p-kvantil, medián, modus. Delta-funkce (Diracova míra).
3. Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin.  Obecný moment k-tého řádu, centrální moment k-tého řádu, střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, podmíněná střední hodnota.

III. Náhodné vektory.
1. Zákony rozdělení a číselné charakteristiky náhodných vektorů.  Distribuční funkce, hustota pravděpodobnosti náhodního vektoru. Diskrétní náhodný vektor, střední hodnota, rozptyl, kovariance, kovarianční matice, korelační koeficient, korelační matice.
2. Mnohorozměrné normální rozdělení.  Hustota mnohorozměrného normálního rozdělení. Elipsa koncentrace, jednotková elipsa koncentrace.
3. Marginální rozdělení vektorů spojitých náhodných veličin, podmíněná rozdělení.  Marginální hustota rozdělení náhodných vektorů, marginální distribuční funkce náhodných vektorů. Příklady. Regresní rovnice. Rayleighovo rozdělení.

IV. Číselné charakteristiky a zákony rozdělení funkcí náhodných veličin.
1. Číselné charakteristiky funkcí náhodných veličin.  Střední hodnota a rozptyl funkcí náhodných veličin, obecné a centrální momenty k-tého řádu, šikmost a špičatost funkcí náhodných veličin, hustota pravděpodobnosti funkcí náhodných veličin.
2. Zákony rozdělení funkcí náhodných veličin.  Výpočet hustoty funkcí náhodných veličin.
3. Charakteristické funkce náhodných vektorů a funkcí náhodných veličin. Charakteristická funkce vektoru.
4. Konvoluce zákonů rozdělení.  Rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin: konvoluce.
5. Linearizace funkcí náhodných veličin.  Aproximace funkcí náhodných veličin lineární funkcí. Střední hodnota a rozptyl linearizace.

V. Entropie a informace.
1. Entropie náhodných jevů a náhodných veličin.
Entropie jako střední množství informace a míra neurčitosti. Diferenciální entropie. Podmíněná entropie, střední podmíněná entropie. Jednotka míry entropie.
2. Množství informace.  Množství informace o náhodné veličině.

VI. Limitní věty.
1. Zákon velkých čísel.  Čebyševova nerovnost. Čebyševova věta. Chinčinova věta. Markovova věta. Zákon velkých čísel.
2. Moivreova-Laplaceova a Ljapunovova věta.  Moivreova-Laplaceova věta. Ljapunovova věta.

VII. Korelační teorie náhodných funkcí.
1. Základní vlastnosti korelačních funkcí a rozdělení náhodných funkcí.  Náhodná funkce reálného argumentu, náhodný proces, náhodná posloupnost. Korelační (autokorelační) funkce. Stacionární náhodná funkce. Stacionární procesy.
2. Lineární operace s náhodnými funkcemi.  Operátory, lineární a homogenní, lineární a nehomogenní.
3. Úlohy o překročení úrovně. Překročení úrovně. Pravděpodobnost a hustota překročení úrovně. Průměrný počet překročení úrovně, průměrná délka překročení úrovně. Besselovy funkce.
4. Spektrální rozklad stacionárních náhodných funkcí.  Spektrální hustota stacionární náhodné funkce. Spektrální rozklad stacionární náhodné funkce. Vztah mezi korelační funkcí a spektrální hustotou. Spektrální hustota derivace stacionární náhodné funkce. Spektrální hustota součinu stacionárních funkcí.
5. Výpočet pravděpodobnosti charakteristik náhodných funkcí na výstupu dynamických soustav. Obecné řešení lineární diferenciální rovnice náhodných funkcí (dynamické soustavy). Řešení homogenní a nehomogenní rovnice. Váhová funkce soustavy (impulsní přechodová funkce). Řešení rovnice s konstantními koeficienty. Normální náhodné funkce.
6. Optimální dynamické soustavy.  Optimální dynamická soustava, filtrace signálu a šumu. Nalezení optimální dynamické soustavy. Soustava bez zpoždění. Soustava se zpožděním.
7. Metoda obalových křivek.  Jednorozměrné hustoty rozdělení, dvojrozměrné hustoty rozdělení rozkladu stacionární funkce na dvě náhodné funkce. Čtyřrozměrný zákon a dvojrozměrné zákony rozdělení amplitudy a fáze obalové křivky.

VIII. Markovské procesy.
1. Markovské řetězce. Markovské řetězce, stavy markovského řetězce, jejich vlastnosti (konečné, nerozložitelné, periodické, homogenní řetězce). Absorpční a nepodstatné stavy. Příklady na výpočet pravděp. přechodu a pravděp. stavů. Příklady na markovské procesy s diskrétními stavy a příklady na spojité markovské procesy (řešení Kolmogorových rovnic).
2. Markovské procesy s diskrétními stavy.  Markovské procesy s diskrétními stavy, pravděp. přechodu mezi stavy. Homogenní a regulární markovské procesy. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic pro výpočet pravděpodobností přechodu. Tranzitivní markovské procesy. Elementární proud stavů.
3. Spojité markovské procesy.  Spojité markovské procesy. Kolmogorovova soustava rovnic, Fokkerova-Planckova rovnice. Proud pravděpodobnosti. Řešení Kolmogorovových rovnic pomocí teorie parciálních difer. rovnic parabolického typu.

IX. Metody pro zpracování dat.
1. Určení momentů náhodných veličin na základě výsledků pokusů.  Odhady momentů náhodných veličin, výběr z rozdělení, nestranný odhad střední hodnoty, rozptylu a směrodatné odchylky, odhad korelačního koeficientu.

Přílohy:
1. Besselovy funkce.  Besselova diferenciální rovnice, Besselovy funkce 1.druhu.
2. Determinanty.  Permutace množiny, identická permutace, inverzní permutace, inverze permutace, znaménko permutace. Determinant matice. Minor příslušný prvku matice, algebraický doplněk, rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce.
3. Carsonova-Laplaceova transformace.Carsonova Laplaceova integrální transformace.

Stacionární procesy podle přednášek teorie stacionárních procesů konaných na MFF UK v letech 1984-1985.

1. Základní pojmy.  Náhodný proces, trajektorie (realizace) procesu. Danielova- Kolmogorova věta. Striktně stacionární proces. Komplexní náhodná veličina, komplexní střední hodnota. Střední hodnota, kovariance a kovarianční funkce náhodného procesu. Stacionární proces, kovariančně stacionární proces. Pozitivně semidefinitní funkce. Vlastnosti kovarianční funkce. Gaussovský (normální) proces.
2. Spojitost procesu.  Konvergence funkcí podle středu p-tého stupně. Konvergence procesů k procesu podle středu. Spojitost procesu podle středu. Vlastnosti spojitých procesů. Kritérium spojitosti procesu.
3. Derivace procesu. Kritérium konvergence procesů podle středu. Derivace procesu.
4. Riemannův integrál procesu. Riemannův integrál procesu. Kritérium existence integrálu procesu. Vlastnosti konečných měr na borelovském měřitelném prostoru. Konvergence posloupnosti měřitelných funkcí.
5. Náhodná míra a náhodný integrál.  Náhodná míra. Náhodný integrál. Vlastnosti náhodného integrálu. Karhunenova věta o vyjádření náhodného procesu pomocí náhodného integrálu.
6. Spektrální rozklad kovarianční funkce. Věta o spektrálním rozkladu kovarianční funkce stacionární posloupnosti. Věta o spektrálním rozkladu kovarianční funkce spojitého stacionárního procesu. Spektrální distribuční funkce, spektrální hustota. Vztah spektrální hustoty a kovarianční funkce náhodného procesu.
7. Reálné stacionární procesy.  Kovarianční funkce reálných stacionárních procesů, vyjádření reálného procesu náhodným integrálem. Vlastnosti reálných stacionárních procesů. Existence derivace reálného procesu. Příklady reálných stacionárních procesů.
8. Lineární filtry.  Lineární filtr stacionární posloupnosti, přenosová funkce filtru. Filtr fyzikálně uskutečnitelný, filtr konečné délky, symetrický filtr konečné délky, nízkofrekvenční filtr. Klouzavé průměry. Příklady stacionárních procesů: bílý šum.
9. Proces klouzavých součtů.  Proces klouzavých součtů. Charakteristický polynom náhodného procesu. Invertibilní proces klouzavých součtů.
10. Autoregresní procesy. Lineární proces, zobecnění lineárního procesu. Autoregresní posloupnost. Formulace základních úloh teorie stacionárních procesů. Autoregresní proces, jeho spektrální hustota. Yule- Walkerovy rovnice a jejich řešení. Příklady autoregresních procesů.
11. Smíšené procesy.  Smíšený proces, jeho spektrální hustota. Box-Jenkinsův proces. Autoregresní modely s náhodnými parametry, prahové autoregresní modely, exponenciální autoregresní modely, asymetrické modely, bilineární modely, modely s dlouhou pamětí. Mnohorozměrný autoregresní proces. Příklady spojitých stacionárních procesů: Elementární proces.
12. Ergodické věty. Konvergence podle pravděpodobnosti, konvergence podle středu. Ergodická posloupnost. Věta Birkhoffova-Chinčinova.
13. Predikce. Lineární obal procesu. Predikce veličiny a její nejlepší odhad, reziduální rozptyl při predikci, spektrální charakteristika predikce. Věta Jaglomova pro určení spektrální charakteristiky predikce a reziduálního rozptylu. Příklady výpočtu predikce.
14. Rekurentní metoda predikce. Rekurentní metoda predikce autoregresního modelu a modelu klouzavých součtů.
15. Filtrování signálu a šumu.  Signál a šum, jejich spektrální hustoty. Filtrace konečných posloupností. Filtrace nekonečných posloupností, filtrace spojená s predikcí, filtrace spojená se zpožděním. Věta o spektrální charakteristice filtrace.

Základy diferenciální geometrie v Euklidovském prostoru. Diferenciální geometrie křivek a ploch s použitím matematického aparátu vektorové a tenzorové algebry a analýzy.

I. Klasická diferenciální geometrie.
1. Diferenciální geometrie křivek ve vektorovém tvaru.  Prostorová křivka ve vektorovém tvaru, tečný vektor křivky, oblouk křivky, diferenciál. Křivka s parametrem, kterým je oblouk, tečný a normálový vektor křivky s parametrem, kterým je oblouk. Vnější součin. První křivost (flexe) druhá křivost (torze) prostorové křivky, poloměr první a druhé křivosti.
2. Křivkový integrál.  Křivkový integrálu 1. druhu, křivkový integrálu 2. druhu, úplný křivkový integrál 2. druhu a jeho vektorový zápis. Vztah mezi křivkovým integrálem 1. druhu a 2.druhu. Výpočet křivkového integrálu.
3. Plocha v Euklidovském prostoru. Plocha ve vektorovém tvaru, křivočaré souřadníce. Křivka na ploše. Tečný vektor plochy. První tenzor plochy (metrický tenzor), kovariantní souřadnice metrického tenzoru. Diskriminant plochy. Kontravariantní souřadnice metrického tenzoru. Plošný element plochy. Normála plochy, směrové kosiny normálového vektoru. Weingartenovy rovnice. Druhý tenzor plochy, kovariantní souřadnice, smíšené souřadnice. Délka křivky na ploše. Úhel dvou křivek na ploše.
4. Kvadratické formy plochy. Základní kvadratické formy plochy: první kvadratická diferenciální forma plochy, druhá kvadratická diferenciální forma plochy, třetí kvadratická diferenciální forma plochy.
5. Křivost plochy.  Normálová křivost plochy, hlavní normálová křivost plochy. Gaussova křivost plochy. Střední křivost plochy. Gaussovy rovnice. Christoffelovy symboly Riemannovy afinní konexe na ploše.
6. Riemannova afinní konexe.  Christoffelovy symboly Riemannovy afinní konexe, vyjádření souřadnic Christoffelových symbolů pomocí metrického tenzoru. Vztahy mezi metrickým tenzorem a Christoffelovými symboly. Riemannova afinní konexe a kovariantní derivace. Gaussovo theorema egregium.
7. Geodetické křivky.  Geodetická křivost křivky. Geodetická křivka.
8. Riemannův tenzor křivosti.  Riemannův tenzor křivosti, souřadnice tenzoru křivosti, některé vlastnosti souřadnic tenzoru křivosti.
9. Plošný integrál.  Plošný integrál 1.druhu, plošný integrál 2.druhu, úplný plošný integrál 2.druhu a jeho vektorový zápis. Výpočet plošného integrálu.

II. Diferenciální geometrie na varietách.
1. Topologické prostory. Topologický prostor, body, otevřené a uzavřené množiny. Okolí množiny, okolí bodu. Vnitřek, vnějšek a hranice množiny. Spojité zobrazení v bodě topologického prostoru. Spojitost na množině. Homeomorfní zobrazení. Hausdorffův prostor. Báze topologického prostoru.
2. Lokální soustava souřadnic.  Lokální soustava souřadnic, souřadnicové funkce, souřadnicové okolí. Vyjádření funkce v soustavě souřadnic. Diferencovatelné funkce na množině.
3. Diferencovatelná varieta. Topologická varieta. Diferencovatelná varieta. Hausdorffův topologický prostor. Pokrytí množiny, otevřené pokrytí.
4. Tečné vektory variety. Tečný vektor variety, souřadnice. Transformace souřadnic tečného vektoru. Tečný prostor variety. Souřadnice vektoru v bázi prostoru vázaných vektorů. Skalární součin vázaných vektorů. Vektorové pole.

III. Moderní diferenciální geometrie pro fyziky.
Podle knihy Chrise J. Ishama "Modern Differential Geometry for Physicists. World Scientific Lecture Notes in Physics - Vol. 61.
1. Úvod do topologie.
1.1. Poznámky k teorii topologických prostorů. Zdůvodnění autorova přístupu k výkladu topologie.
1.2. Metrické prostory. Konvergence: Konvergence posloupnosti. Metrika: Metrika na množině, metrický prostor, pseudometrika na množině, pseudometrický prostor, silnější a slabší metrika, příklady metrických prostorů Operace s metrikami: sjednocení metrik, průnik metrik. Topologie na metrických prostorech: doplněk množiny, kruhové okolí, vnitřní bod množiny, vnější bod množiny, hraniční bod množiny, hromadný bod množiny, vnitřek množiny, vnějšek množiny, hranice množiny, otevřená množina, uzavřená množina..
1.3. Částečně uspořádané množiny a svazy. Částečně uspořádané množiny: binární relace, obor relace, obraz relace, vzor relace, zúžení relace, inverzní relace, identická relace, kompozice, částečně uspořádaná množina, relace uspořádání, kvaziuspořádání, úplně uspořádaná množina (řetězec), pokrytí prvku prvkem, relace ekvivalence, třídy ekvivalence. Svazy: průsek, spojení, svaz, kompletní svaz, distributivní svaz, orthokomplementarita, Booleova algebra.
1.4. Obecná topologie. Konvergence v topologii: bodová konvergence, rodina okolí, zbytek posloupnosti, Myšlenka prostoru okolí: jemnější a hrubší podmnožiny, maximální množina, filtr, struktura okolí, báze filtru, filtr generovaný bází filtru. Topologické prostory: topologický prostor, topologie - různé definice, body topologického prostoru, otevřená množina, uzavřená množina, okolí bodu, okolí množiny, báze topologie, vnitřní bod a vnitřek množiny, vnější bod a vnějšek množiny, hraniční bod, uzávěr množiny. Některé příklady topologií na konečných množinách. Topologie jako svaz: částečné uspořádání otevřených množin, průsek a spojení otevřených množin, jednotkový a nulový prvek, pseudodoplněk. Svaz topologií na množině: slabší (hrubší) a silnější (jemnější) topologie, diskrétní a indiskrétní topologie. Některé vlastnosti konvergence v obecném topologickém prostoru: usměrněná množina, síť. Kompaktní prostory: omezený podprostor metrického prostoru, hromadný bod, kompaktní topologický prostor, pokrytí množiny, Borelova věta o pokrytí. Zobrazení mezi topologiemi: indukované zobrazení, inverzní množinové zobrazení, spojité zobrazení, spojité zobrazení v bodě, indukovaná topologie, identifikační topologie. Homomorfismus v topologickém prostoru: homorfismus (isomorfismus). Axiomy separability: Prostor typu T_0, T_1, T_2 (Hausdorffův prostor). Další algebraické struktury na množinách.
2. Diferencovatelné variety.
2.1. Úvodní poznámky. Filozofické a fyzikální pochybnosti o použití reálných čísel jako souřadnic.
2.2. Základní definice. Soustava souřadnic: nesouvislý topologický prostor, souvislý topologický prostor, n-rozměrná soustava souřadnic, souřadnicové okolí, lokální soustava souřadnic, překryvná funkce, atlas, úplný atlas, diferencovatelná varieta, souřadnice bodu, souřadnicové funkce. Některé příklady diferencovatelných variet: euklidovský prostor, kružnice, prstenec, n-rozměrná koule. Diferencovatelné zobrazení: lokální reprezentace funkce, diferencovatelná funkce, hladká funkce, diffeomorfismus.
2.3. Tečné prostory. Intuitivní představa: algebraický a geometrický pojem tečného prostoru. Tečný vektor jako třída ekvivalence křivek: křivka na varietě, tečný styk křivek, tečný vektor, tečný prostor. Struktura vektorového prostoru na tečním prostoru: tečný prostor jako vektorový prostor. Přenos třídy ekvivalence křivek: přenosové zobrazení. Tečné vektory jako derivace: derivace funkce ve směru vektoru, derivace v bodě variety, ekvivalence tečného prostoru a prostoru derivací.  Na textu se dále pracuje.

Základy vektorové (lineární) algebry a analýzy, jejíž součástí je teorie pole.

1. Euklidovský prostor.  Vektorový prostor, lineární nezávislost, báze vektorového prostoru, dimenze vektorového prostoru, lineární forma, duální vektorový prostor, duální báze. Bilineární forma, skalární součin, velikost vektoru, úhel dvou vektorů. Afinní prostor, Euklidovský prostor, lineární souřadnice na afinním prostoru, reálná funkce na afinním prostoru, analytické vyjádření funkce.
2. Křivky a plochy v Euklidovském prostoru.  Prostorová křivka v Euklidovském prostoru, tečný vektor křivky, oblouk křivky, diferenciál křivky. Křivka s parametrem, kterým je oblouk, tečný a normálový vektor křivky s parametrem. Plocha v Euklidovském prostoru, křivka na ploše, tečný a normálový vektor plochy, směrové kosiny, metrické koeficienty plochy, diskriminant plochy.
3. Křivkový integrál.  Křivkový integrál 1.druhu, křivkový integrál 2.druhu, úplný křivkový integrál 2.druhu. Greenova věta.
4. Plošný integrál.  Plošný obsah plochy, průměr množiny. Plošný integrál 1.druhu, plošný integrál 2.druhu, úplný plošný integrál 2.druhu. Výpočet plošného integrálu. Věta Gaussova-Ostrogradského. Věta Stokesova. Příklady.
5. Skalární pole.  Skalární pole na afinním prostoru, analytické vyjádření skalárního pole v soustavě souřadnic. Ekviskalární plochy a křivky. Derivace skalárního pole ve směru vektoru v bodě a na množině. Gradient skalárního pole, vlastnosti gradientu.
6. Vektorové pole.  Vektorové pole na afinním prostoru. Rovnice vektorových čar, parametrická diferenciální rovnice vektorové čáry.
7. Tok vektorového pole plochou.  Tok vektorového pole plochou, tok vektorového pole uzavřenou plochou, vlastnosti toku vektorového pole plochou. Fyzikální interpretace toku vektorového pole. Gaussova-Ostrogradského věta, příklad.
8. Divergence vektorového pole.  Divergence vektorového pole v bodě, na množině. Zřídlo (zdroj) vektorového pole, nor (propad) vektorového pole. Solenoidální vektorové pole. Fyzikální interpretace divergence vektorového pole. Vlastnosti divergence vektorového pole.
9. Křivkový integrál vektorového pole, cirkulace.  Křivkový integrál vektorového pole po orientované křivce. Cirkulace vektorového pole, fyzikální význam. Příklad.
10. Rotace vektorového pole.  Rotace vektorového pole v bodě, na množině a její fyzikální interpretace. Souřadnice rotace vektorového pole. Vlastnosti rotace vektorového pole.
11. Hamiltonův a Laplaceův operátor.  Hamiltonův operátor. Vyjádření gradientu, divergence a rotace pomocí Hamiltonova operátoru. Laplaceův operátor. Další vztahy vektorové analýzy.
12. Základní integrální věty vektorové analýzy.  Věta Gaussova-Ostrogradského ve vektorovém tvaru, obecnější předpoklady. Věta Stokesova ve vektorovém tvaru.
13. Integrální věty vektorové analýzy pro rovinná pole.  Věta Gaussova-Ostrogradského ve vektorovém tvaru. Věta Stokesova ve vektorovém tvaru.
14. Některé druhy vektorových polí.  Konzervativní a disipativní vektorové pole. Potenciál vektorového pole, potenciální vektorové pole. Vírové a nevírové vektorové pole. Zřídlové a nezřídlové vektorové pole. Jednoduše souvislá oblast, plošně jednoduše souvislá oblast. Solenoidální a nesolenoidální vektorové pole. Vektorový potenciál.
15. Určování potenciálu vektorového pole. Určování potenciálu vektorového pole, tři postupy. Příklad se třetí Maxwellovou rovnicí teorie elektromagnetického pole.
16. Křivočaré souřadnice.  Souřadnicové plochy, souřadnicové čáry. Transformace mezi kartézskými a cylindrickými souřadnicemi. Laméovy koeficienty.
17. Operace vektorové analýzy v křivočarých souřadnicích.  Vyjádření pro obecné ortogonální křivočaré souřadnice: rovnice vektorových čar, gradient skalárního pole, divergence vektorového pole, rotace vektorového pole, Laplaceův operátor aplikovaný na skalární pole, Laplaceův operátor aplikovaný na vektorové pole. Vyjádření pro cylindrické souřadnice: rovnice vektorových čar, gradient skalárního pole, divergence vektorového pole, rotace vektorového pole, Laplaceův operátor skalárního pole, Laplaceův operátor vektorového pole. Vyjádření pro sférické souřadnice: rovnice vektorových čar, gradient skalárního pole, divergence vektorového pole, rotace vektorového pole, Laplaceův operátor skalárního pole, Laplaceův operátor vektorového pole.
18. Diferenciální formy.  Elementární diferenciální forma (duální bázový vektor). Diferenciální 1-forma. Vnější součin forem. Diferenciální 2-forma. Elementární diferenciální r-forma. Diferenciální k-forma. Vnější derivace diferenciální k-formy.
19. Indukované diferenciální formy. - Diferenciální 1-forma indukovaná parametrizací a diferenciální formou. Diferenciální k-forma indukovaná zobrazením a k-formou. 20. Integrály diferenciálních forem - Integrál diferenciální formy

Ucelený výklad tenzorové algebry na vektorovém prostoru a tenzorové analýzy na afinním prostoru, Euklidovském prostoru a na diferenciálních varietách. Tenzorová analýza je mimo jiné matematickým aparátem speciální a obecné teorie relativity.

I. Tenzorová algebra a analýza.
1. Vektorové prostory. Vektorový prostor, lineární nezávislost, lineární kombinace vektorů, báze a dimenze vektorového prostoru. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi. Matice přechodu od báze k bázi. Transformace souřadnic při změně báze. Podprostor vektorového prostoru.
2. Lineární formy, duální vektorový prostor.  Lineární forma, duální vektorový prostor. Matice transformace. Souřadnice lineární formy vzhledem k bázi, transformace souřadnic lineární formy. Duální báze. Matice transformace. Vektor jako lineární forma na prostoru lineárních forem.
3. Skalární součin.  Bilineární forma, symetrická, antisymetrická, pozitivně definitní a pozitivně semidefinitní bilineární forma. Skalární součin. Ortonormální báze vektorového prostoru se skalárním součinem, ortonormální matice.
4. Vektorový a vnější součin. Vnější součin. Vektorový součin. Souřadnice vektorového součinu.
5. Definice tenzoru a jeho souřadnice.  Definice kovariantního a kontravariantního tenzoru a jeho souřadnic vzhledem k bázi vektorového prostoru. Transformace souřadnic tenzoru při změně báze.
6. Operace s tenzory.  Součet tenzorů, součin tenzorů, násobení tenzoru reálným číslem, konvoluce (úžení) tenzoru, snižování a zvyšování indexu tenzoru.
7. Tenzory symetrické a antisymetrické.  Symetrický a antisymetrický tenzor. Symetrizace a antisymetrizace tenzoru, symetrický a antisymetrický součin tenzorů. Objem na vektorovém prostoru.
8. Afinní prostor, lineární soustava souřadnic.  Afinní prostor, zaměření afinního prostoru, body afinního prostoru. Lineární soustava souřadnic, transformace souřadnic bodu afinního prostoru, transformace souřadnic zaměření.
9. Euklidovský prostor. Euklidovský prostor. Metrika, metrický tenzor. Kartézská soustava souřadnic. Prostor Minkowského.
10. Funkce v Euklidovském prostoru.  Reálná funkce na afinním prostoru, analytické vyjádření funkce v lineární soustavě souřadnic. Derivace funkce ve směru vektoru. bodová funkce. trajektorie pohybu bodu a tečný vektor trajektorie.
11. Vektorová pole.  Vektorové pole na afinním prostoru. Derivace vektorového pole. Kovariantní derivace vektorového pole, závorka vektorových polí.
12. Tenzory na afinním prostoru. Tenzorové pole na afinním prostoru. Derivace tenzorového pole podle vektoru. Absolutní derivace.
13. Gradient funkce, divergence a rotace vektorového pole. Gradient funkce. 1.Laplaceův operátor. Divergence vektorového pole. Rotace vektorového pole. Derivace lineární formy. Souřadnice gradientu funkce. 2.Laplaceův operátor. Vlastnosti gradientu, divergence a rotace.
14. Gradient, divergence a rotace v souřadnicových systémech.  Christoffelovy symboly, Souřadnice gradientu funkce, divergence a rotace vektorového pole.
15. Diferencovatelná varieta.  Topologický prostor, topologie, uzávěr množiny, body topologického prostoru, otevřené a uzavřené množiny, okolí množiny a bodu. Lokální soustava souřadnic, souřadnicové funkce soustavy souřadnic. Funkce na topologickém prostoru, analytické vyjádření funkce v lokální soustavě souřadnic. Topologická a diferencovatelná varienta, diferenciální struktura, mapa a atlas. Analytické vyjádření funkce na varietě. Tečný vektor variety, tečný prostor variety. Transformace souřadnic bázových vektorů a kovektorů (lineárních forem). Diferenciál zobrazení. Regulární zobrazení.
16. Tenzory na varietě.  Vektorové pole na varietě, vyjádření vektorového pole v soustavě souřadnic, Kovektorové pole na varietě, tenzorové pole na varietě, souřadnice tenzorového pole. Sčítání, násobení a konvoluce tenzorových polí na varietě. Vnější diferenciál vnější formy.
17. Konexe na varietě.  Konexe na varietě, absolutní derivace vektorového pole, absolutní derivace kovektorového pole, absolutní derivace tenzorového pole. Christoffelovy symboly a transformace jejich souřadnic, afinní konexe na varientě, souřadnice absolutní derivace kovektorového a tenzorového pole. Tenzor torze, souřadnice tenzoru torze. Riemannův tenzor křivosti, souřadnice Riemannova tenzoru.
18. Geodetické křivky. Geodetická křivka, geodetická křivost.
19. Riemannova varieta. Riemannova afinní konexe, Riemannova varieta. Délka křivky. Vyjádření Christoffelových symbolů pomocí metrického tenzoru. Nulovost tenzoru torze na Riemannově varietě.
20. Gradient, divergence a rotace na varietě, orientace variety. Gradient funkce, divergence a rotace vektorového pole na diferencovatelné varietě. Orientace variety.
21. Integrální věty. Vyjádření diferenciální formy. Integrál n-formy na difer. varietě. Nosič funkce. Rozklad jedničky podřízený pokrytí. Stokesova věta. Cirkulace vektorového pole na varietě. Jednotkové normálové pole plochy, forma povrchu, forma oblouku. Nevírové vektorové pole.

II. Tenzorová analýza a Riemannova geometrie.  Výklad tenzorové analýzy podle knihy profesora Raševského "Rimanova geometrija i tenzornyj analyz" vydaný vydavatelstvím Moskva v roce 1967 v Sovětském svazu.
1. Afinní repér.  Afinní repér, transformace souřadnic vektoru při změně repéru.
2. Paralelní přenos.  Paralelní přenos vektoru podél křivky, podmínka paralelního přenosu.
3. Christoffelovy symboly afinní konexe.  Christoffelovy symboly afinní konexe, transformace při změně souřadnic.
4. Křivočaré souřadnice v Euklidovském prostoru.  Metrický tenzor, transformace jeho souřadnic. Vztahy mezi Christoffelovými symboly a metrickým tenzorem. Délka křivky.
5. Riemannův prostor.  Riemannův prostor jako varieta s tenzorovým polem.
6. Prostor s afinní konexí.  Prostor s afinní konexí. Tenzor torze. Invariance paralelního přenosu vzhledem ke změně souřadnic.
7. Geodetické křivky v prostorech s afinní konexí.  Geodetická křivka v prostoru s afinní konexí, definice pomocí paralelního přenosu podél křivky. Paralelní přenos v prostoru se dvěma afinními konexemi. Symetrizace a alternace tenzoru.
8. Afinní konexe na Riemannově prostoru.  Vztah mezi Christoffelovými symboly a metrickým tenzorem.
9. Paralelní přenos v prostorech s afinní konexí.  Vlastnosti paralelního přenosu v prostorech s afinní konexí. Absolutní diferenciál tenzoru.
10. Absolutní diferenciál a absolutní derivace.  Absolutní diferenciál tenzoru a jeho souřadnice, vztah pro transformaci absolutního diferenciálu při transformaci souřadnic. Absolutní (kovariantní) derivace tenzoru.
11. Některé vlastnosti absolutního diferenciálu.  Součet, součin, konvoluce absolutního diferenciálu. Paralelní přenos tenzoru.
12. Absolutní diferenciál v Riemannově prostoru.  Vztahy pro absolutní derivaci metrického tenzoru. Gradient skalárního pole, divergence vektorového pole.
13. Křivky v Riemannově prostoru.  Derivace vektoru podle parametru. Oskulační plocha.
14. Geodetické křivky v Riemannově prostoru.  Vlastnosti geodetických křivek. Vztahy pro diferenciál oblouku geodetické křivky a pro absolutní diferenciál oblouku geodetické křivky. Stacionární křivka.
15. Tenzor křivosti v prostoru s afinní konexí.  Riemannův tenzor křivosti, jeho souřadnice pomocí absolutních diferenciálů ve dvou směrech. Vztahy pro souřadnice Riemannova tenzoru. Nulovost tenzoru křivosti v prostoru s afinní konexí a paralelním přenosem.
16. Tenzor křivosti v prostoru s afinní konexí bez torze. Zákon Ricciho, zákon Bianciho-Padova. Vztahy pro alternovanou druhou absolutní derivaci.
17. Tenzor křivosti v Riemannově prostoru.  Vyjádření souřadnic Riemannova tenzoru křivosti pomocí metrického tenzoru. Vztahy mezi souřadnicemi tenzoru křivosti v Riemannově prostoru.

Text podle knihy Štefana Veise, Jána Maďara a Viktora Martišovitše "Mechanika a molekulová fyzika", kterou vydalo nakladatelství Alfa Bratislava v roce 1981. Text obsahuje základy molekulárně kinetické teorie a termodynamiky.

I. Molekulárně kinetická teorie.
1. Molekulární stavba látek.  Poznámka k matematickému aparátu molekulárně kinetické teorie.
2. Poznámky k teorii pravděpodobnosti.  Potenční množina, prostor elementárních jevů, náhodný jev, pravděpodobnostní prostor, náhodná veličina, zákon rozdělení náhodné veličiny, distribuční funkce, diskrétní rozdělení, hustota rozdělení, spojité rozdělení. Střední hodnota. Náhodný vektor, distribuční funkce a hustota náhodného vektoru, střední hodnota vektoru. Nezávislost náhodných veličin.
3. Hustota toku molekul na stěnu nádoby.  Odvození hustoty toku molekul na stěnu polokoule. Střední rychlost.
4. Rozdělení energie mezi molekulami plynu v rovnovážném stavu.  Fázový prostor, hustota pravděpodobnosti, relaxační doba, rovnovážný stav soustavy. Plyn v poli konzervativních sil. Funkce celkové energie soustavy. Explicitní vyjádření hustoty pravděpodobnosti pro spojité a pro diskrétní spektrum energií.
5. Teplota a teplo.  Fyzikální význam zobecněné teploty, její souvislost se střední hodnotou energie soustavy. Zobecněná teplota při přechodu do rovnovážného stavu, přenos tepla, tepelný kontakt.
6. Maxwellovo rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu.  Odvození Mawellova rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu. Laplaceův integrál, Maxwellův zákon rozdělení.
7. Základní zákony ideálního plynu.  Zákon Boyleův-Marriottův. Daltonův zákon. Avogadrův zákon. Teplota.
8. Charakteristické rychlosti molekul ideálního plynu.  Střední rychlost molekul, odmocnina ze střední hodnoty druhé mocniny rychlosti, největší rychlost molekul a jejich vzájemný poměr.
9. Stavová rovnice plynu.  Molekulové (atomové) hmotnosti, univerzální plynová konstanta, stavová rovnice plynu.
10. Ideální plyn ve vnějším poli.  Vliv vnějšího konzervativního pole sil, Boltzmannův zákon, barometrická rovnice.
11. Ekvipartiční teorém.  Celková energie tepelného pohybu molekul, kinetická energie a potenciální energie molekul. Ekvipartiční teorém o rovnoměrném rozdělení energie plynu.
12. Srážková frekvence, střední volná dráha molekul.  Srážková frekvence, hustota toku molekul, redukovaná hmotnost, rozdělovací funkce volné dráhy molekul.
13. Fluktuace a Brownův pohyb.  Fluktuace energie, relativní fluktuace energie. Brownův pohyb.
14. Záporné Kelvinovy teploty. - Kvantové efekty a diskrétní spektrum energie. Systém jaderných spinů některých paramagnetických látek a jeho energie. Záporné Kelvinovy teploty a energie systému při záporných teplotách.

II. Termodynamika.
1. Metody termodynamiky.  Termodynamický a molekulárně kinetický přístup k odvození práce plynu v uzavřené nádobě. Vnitřní energie plynu.
2. První věta termodynamiky.  První věta termodynamiky.
3. Termodynamická rovnováha, vratné a nevratné procesy.  Stav termodynamické rovnováhy, relaxační doba, vnější parametry a vnitřní parametry, stavové proměnné, stavové funkce. Vratné a nevratné procesy, kvazistatické děje.
4. Tepelná kapacita a měrná tepla.  Tepelná kapacita při konstantním objemu, tepelná kapacita při konstantním tlaku, jejich rozdíl. Kilomolové teplo, Mayerův vztah.
5. Kvantová teorie molekulového tepla.  Energie lineárního harmonického oscilátoru, nulová energie oscilátoru. Zamrzání stupňů volnosti kvantové soustavy. Měrné teplo kvantové soustavy.
6. Stavové změny.  Izobarický proces. Izochorický proces. Izotermický proces. Adiabatický proces, Poissonův koeficient adiabaty, rovnice adiabaty, Poissonova rovnice. Polytropický proces, rovnice polytropy, koeficient polytropy.
7. Carnotův cyklus.  Kruhový děj tepelného stroje. Popis Carnotova cyklu.
8. Druhá věta termodynamiky.  Druhá věta termodynamiky, perpetuum mobile druhého druhu.
9. Entropie.  Clausiova nerovnost, entropie systému, vlastnosti entropie. První věta termodynamiky, základní rovnice termodynamiky vratných procesů. Entropie ideálního plynu.
10. Termodynamické funkce.  Charakteristické funkce. Vnitřní energie. Entalpie. Volná energie. Gibbsův potenciál, Gibbsovy-Helmholtzovy vztahy.
11. Vztah termodynamiky a molekulárně kinetické energie.  Statistická suma systému a její vztah k termodynamickým funkcím. Entropie izolovaného systému. Termodynamika a vesmír, tepelná smrt vesmíru.
12. Vedení tepla.  Přenosové jevy, nerovnovážný stav systému. Přenos tepla, koeficient tepelné vodivosti, hustota tepelného toku, teplotní gradient. Vyrovnání teplot mezi dvěma tělesy. Vyrovnání teploty v rámci jednoho tělesa, gradient teploty. Zákon zachování energie pro šíření tepla, rovnice šíření tepla. Měrná hustota, měrné teplo při konstantním objemu, teplotní vodivost.

Dodatky:
1. Laplaceův integrál.  Definice Laplaceova integrálu, výpočet jeho hodnoty.
2. Konzervativní a disipativní vektorové pole.  Konzervativní a disipativní vektorové pole. Vlastnosti.
3. Funkcionální rovnice.  Funkcionální rovnice a její řešení.