David Hilbert v úvodu svého článku "Axiomatické myšlení" (Axiomatischen Denken. Mathematische Annalen, 1918) napsal, že největší nositelé matematického myšlení přispívali matematice nejvíce svým vztahem k fyzice a k filosofické teorii poznání. Ve 20. století mezi nejvýznamnější nositele matematického myšlení, kteří se zabývali filozofií a matematikou, byli L.E.J. Brouwer (1881 - 1966) a Kurt Gödel (1906 - 1978). Kromě filozofie se oba zabývali také mystisicmem ve vztahu k matematice.

Jak mystikové tak filozofové někdy vycházejí z předpokladu existenciálního neklidu a zabývají se podmínkami dosažení klidu, pokoje a souladu. Jednou z jejich cest je nalezení skutečné a opravdové podstaty všech věcí. Mystikové a filozofové jsou v tomto smyslu optimisté. Podle nich existuje skutečná podstata všech věcí a mystik a filozof mohou být touto podstatou osvíceni a dosáhnout klidu.

Toto Osvícení tedy souvisí s kognitivním nebo intelektuálním úsilím o dosažení toho, co zde budeme nazývat "Dobro". Někteří používají pojem "Absolutno", pokud chtějí zdůraznit, že toto "Dobro" je bezpodmínečné, tedy není nic za ním nebo nad ním. Jiní používají pojem "Jedinečnost" nebo dokonce "Bůh". Přirozeně se toto "Dobro" považuje za myšlenkový pojem nebo za něco, co je trvale usídleno v mysli. Proto je naše myšlení k tomuto Dobru neustále přitahováno a cílem našeho života je jeho dosažení, tedy Osvícení.

Rozdíl mezi filosofií a mysticismem spočívá v přístupu. Filosofie usiluje o vyjádření a racionální důkazy všech svých tvrzení a náhledů. Mysticismus takové racionální důkazy nehledá. Autoři článku [1] tvrdí, že pokud filozof skutečně hledá Dobro, může dosáhnout konečného a nejčistějšího osvícení, avšak nebude schopen jeho obsah racionálně zdůvodnit, popsat nebo dokázat. Hluboký vhled pak bude natolik jasný a ostrý, tak nepochybný a jistý, že jakýkoliv racionální důkaz bude postrádat smyslu.

Kurt Gödel napsal, že sám nikdy neměl takovou zkušenost. Podle něj neexistuje žádné absolutní poznání, všechno je pouze nějak pravděpodobné. Avšak Descartes a Schelling popsali svoji zkušenost náhlého "osvícení", kdy se jim všechny věci začaly jevit ve zcela jiném světle.

Pokud se filosof dostane do stavu takového "osvícení", kdy není schopen racionálně vysvětlit a dokázat svá hluboká poznání světa, stává se vlastně mystikem. Smyslem mysticismu je nalézt cesty k dosažení Dobra přímo. Smyslem filosofie je pokusit se popsat toto Dobro racionálními úvahami.

Autoři článku [1] analyzovali, jaké souvislosti Brouwer a Gödel nalezli mezi mysticismem a matematikou. Na tomto základě uvedli částečné argumenty proti "obecnému (nebo univerzálnímu) tvrzení o podstatě" (CCT, Common Core Thesis). Podle CCT jsou všechny mystické nauky pouze různými cestami k vyjádření stejné podstaty pravd o světě. Podle autorů článku [1] lze CCT rozdělit do dvou tvrzení:

• a) Mysticismus tvrdí, že Realitou je Dobro. Mystické praktiky usilují o dosažení tohoto Dobra.
• b) Toto Dobro je objektivní, tedy stejné pro všechny mystické nauky.

V principu je obecné tvrzení o podstatě nepřijatelné, protože mezi různými mystickými tradicemi a dokonce uvnitř mystických nauk lze nalézt řadu rozporů v doktrínách a metodologiích. Na druhé straně CCT spočívá právě v těchto rozporech, protože jinak by bylo triviální pravdou.

Existuje zde určitá analogie s filosofií vědy. Vědečtí realisté zastávají obecné tvrzení o podstatě v případě vědeckých teorií. Tyto teorie jsou ve značném rozporu, avšak podle realistů se všechny pokoušejí popsat stejnou objektivní realitu. Wilhelm Leibniz to vyjádřil slovy, že stejné město může vypadat velmi odlišně podle toho, z jakého směru do něj přicházíme.

Autoři článku [1] ukázali, že Brouwerovy a Gödelovy představy o Dobru nebyly stejné (Gödel hovořil o "Absolutnu", Brouwer neměl žádný takový pojem, avšak hovořil o návratu vědomí do svého nejhlubšího domova"). Dobro, o němž hovořil Brouwer, nemusí existovat stejně jako Dobro, o němž hovořil Gödel. Pokud však jeden z nich popsal něco, co nemůže existovat, pak tvrzení, že Brouwerovy a Gödelovy představy nejsou shodné, je triviální. Proto autoři článku [1] předpokládali, že Brouwerův pojem Dobra a Gödelův pojem Dobra mají smysl.

Brouwer se domníval, že existuje "nejhlubší domov" vědomí. V tomto nejhlubším domově naše prožitky oscilují mezi nehybností a neklidem. Neexistují zde žádné rozdíly mezi subjektivním a objektivním vnímáním. Tento stav Brouwer ztotožňoval s rozumem. Naše uvědomování si objektů a lidí se odráží v různých stupních toho, co Brouwer označoval za "únik" z nejhlubšího domova. Prvním krokem tohoto "úniku" je svobodná vůle, která si uvědomuje čas. Vědomí času je předpokladem vnímání objektů a lidí (včetně sebe samotného) a všeho, co se nachází ve vnějším světě. Vědomí času je tím, co nám umožňuje odlišit "Já" od toho, co zažíváme. To, co zažíváme, se stává minulostí, pamětí, zatímco "Já" představuje trvalou přítomnost, tedy to, co označujeme za "nyní".

Podle Brouwera projevem vědomí je úmyslné myšlení. Toto myšlení se věnuje uspořádávání smyslových vjemů do složitých příčinných "řetězců" a "věcí". Příčinné řetězce jsou nástrojem pro ovládání věcí a chápání světa kolem sebe.

Každý z nás má vnitřní prožitky, které například zažíváme ve svých snech bez vnímání času a oddělení svého "Já" od okolního světa, nebo když své "Já" oddělujeme od okolního světa svým vlastním způsobem.

Podle Brouwera matematika vychází z našeho prožívání času. Immanuel Kant proto Brouwerovu filosofii matematiky nazýval "intuicismem" kvůli "čisté intuici času". Přirozená čísla vycházejí z našeho chápání postupného "nyní". Spojitost (např. přímka) vychází z našeho chápání toku času, tedy že musí existovat něco "mezi" postupnými "nyní". Rozvinutím této základní intuice vznikla celá matematika. Matematika je proto produktem našeho myšlení. Nepopisuje nezávislou realitu, protože je projevem naší vůle. Formalizací matematiky jsou její možné volní prvky vyloučeny. To bylo příčinou, proč se Brouwer vyhýbal všem pokusům o formalizaci "intuicistické" logiky (jak se o ni pokusil jeho žák Heyting) a proč odmítal formální teorii jako základ matematiky.

Podle Brouwera pokud se na matematiku díváme z filosofického a nikoliv pouze technického hlediska, pak studium matematiky náleží mezi kroky, které odvádějí naše vědomí z jeho nejhlubšího domova. Vědomí vytváří svůj svět opuštěním svého nehlubšího domova. Matematika je vytvářena posloupností našich myšlenek v čase. K tomu dochází nejen tím, že provádíme důkazy tvrzení, ale už tím, že vytváříme čísla 1, 2 a další. V Brouwerově práci z roku 1907 najdeme zmínky o ničivé roli matematiky. Brouwer dokonce hovořil o odmítnutí matematiky. V jeho pracích nacházíme zmínky o tom, jak matematika a na ní založené přírodní vědy způsobily neštěstí v našich životech, protože nás vzdálily od moudrosti a návratu do nejhlubšího domova vědomí. Bez vědomí času by nebylo matematiky. Abychom se mohli vrátit do našeho nejhlubšího domova vědomí, musíme se od matematiky osvobodit. Jednou z cest je použití jazyka pro popis mystických prožitků bez nějaké analytické (tedy matematicky strukturované) formy.

Podle Brouwera největší zásluhou mysticismu je jeho použití jazyka nezávislého na matematickém systému lidského myšlení a také nezávislého na zvířecích emocích strachu a touhy. Pokud jsou mystické prožitky popsány tímto způsobem, pak přemýšlivá mysl, která se osvobodí od matematických omezení, může tyto zvláštní prožitky plně pochopit, protože nejsou pokřiveny žádným matematickým systémem.

Mystický autor by se měl vyhnout všemu, co jakkoliv zavání matematikou nebo logikou, protože duchovně nevyspělí lidé se pak mohou domnívat, že matematika je všemocná a pokusí se ji používat mimo oblasti její působnosti. Mystické prožitky nejsou spojeny žádnými vlákny souvislostí a každé tvrzení zde stojí samo o sobě. Nelze mezi nimi hledat nějaké logické nebo matematické návaznosti a souvislosti.

Brouwer ve svém článku v roce 1905 jako příklady mystických textů uváděl práce Meistera Eckeharta a Jacoba Boehmeho a v roce 1948 Bhagavad-Gitu. Rozumový intelekt s mystickými prožitky nemá nic společného. Poznání Dobra lze dosáhnout pouze tehdy, pokud svůj rozumový intelekt nepoužíváme.

Ve svém úvodu ke knize "Geometrie a mysticismus" Brouwer napsal, že pozorování matematických forem v našem světě je přípravou a důsledkem intelektuálního sebezachování člověka. Proto celá teoretická matematika je pouze produktem izolovaného intelektu. Mystické vize mohou přicházet pouze tehdy, když intelekt odchází spát. Pouze praktická a nikoliv teoretická geometrie může mít něco společného s mysticismem.

Podle Brouwera mystické praktiky mají závažný a jedinečný význam. Rozum v duchovním životě hraje zápornou roli. Matematika je krokem od pochopení mystické pravdy k pochopení vnějšího světa.

Gödelovou filosofií matematiky byl platonismus. Matematické objekty považoval za objektivní realitu. Úkolem matematiků je objevování a popis těchto objektů. Gödel publikoval velmi krátké zmínky o tom, jak máme chápat abstraktní objekty matematiky způsobem, který se podobá vnímání konkrétních objektů kolem nás. Rudy Rucker s Kurtem Gödelem hovořil o jeho mysticismu. Mimo jiné se ho zeptal, jak lze nejlépe vnímat čistě abstraktní možnosti. Gödel odpověděl, že bychom se nejprve měli oprostit od veškerého smyslového vnímání, zklidnit svoji mysl tím, že si například lehneme někde na nějakém tichém místě. Pak bychom měli aktivně usilovat o poznání. Konečným cílem takového přemýšlení a veškeré filosofie je vnímání Absolutna. Kdyby Platón mohl plně vnímat Dobro, jeho filosofie by předčasně skončila.

Proto podle Gödela jednou z cest, jak se dotknout Absolutna, je zabývat se matematikou. Nikoliv však studovat matematiku jako takovou, ale studovat ji v určitém rámci myšlení. Není žádného rozporu mezi matematikou a mystickou praxí. Jedno je totiž částí druhého a dobro matematiky je součástí Dobra.

Kurt Gödel přikládal velký význam náhlému osvícení a poznání, podobnému náboženskému osvícení ve filosofii. Gödel například věřil, že Edmond Husserl musel zažít takové osvícení v období mezi jeho mladší a pozdější filosofií.

Koncem 50. let 20. století se Kurt Gödel začal zabývat Husserlovou fenomenologií. Kromě jejího konkrétního využití v základech matematiky měl Gödel hlubší důvody, které opět souvisely s Absolutnem. Někdy v letech 1906 až 1910 měl Husserl psychologickou krizi. Pochyboval, zda vůbec něčeho dosáhl. V té době jeho manželka byla těžce nemocná. Někdy v tomto období podle Gödela se Husserl musel dotknout absolutního poznání. Takové poznání je však nesdělitelné, proto o něm nemohl nic publikovat. Avšak jeho přednáška o podstatě času pochází také z tohoto období. Kurt Gödel nikdy takovou zkušenost neměl a tvrdil, že žádné absolutní poznání neexistuje a veškeré poznání je pouze nějak pravděpodobné. Později se Edmond Husserl přiblížil Platónově a Descartesově filosofii. Zřejmě skutečné filosofie lze dosáhnout pouze určitým osvícením.

Je pravděpodobné, že také Kurt Gödel se pokoušel o takové osvícení. V Gödelově knihovně se kromě knih o křesťanství, islámu, úvodů do buddhismu, nacházely také některé knihy o theosofii a spiritismu. V jeho knihovně byla také kniha R.K. Wallace "The physiological effects of transcendental meditation" z roku 1973.

Rudy Rucker se Gödela také zeptal, zda věří v nějakou jedinou Mysl, která stojí za všemi jevy a procesy světa. Gödel odpověděl, že taková Mysl má svoji strukturu, avšak současně existuje nezávisle na svých jednotlivých vlastnostech. Podle jeho představ tato Mysl je přítomna všude a nelze ji proto lokalizovat. Taková představa je základem mystické nauky.

Kurt Gödel byl přesvědčen, že svět je racionální a že jej lze pochopit racionální myslí. Podle něj má klíčový význam vědecká filosofie a theologie, které se zabývají koncepty nejvyšší abstrakce a mohou být stejně plodné jako věda. Podle Gödela tedy intelekt sehrává v duchovním životě kladnou roli.

Viděli jsme, že L.E.J. Brouwer a Kurt Gödel věřili v mystické prožitky, při nichž se otevřená mysl dotýká Absolutna. Tyto prožitky odkrývají člověku podstatu bytí. Tomuto předání podstaty bytí předchází příprava nebo přeměna člověka. Mysl člověka musí být připravena přijímat, podporovat a oceňovat to, co je člověku zjeveno. O této přípravě se zmiňoval jak Brouwer svým odmítnutím matematiky, tak Gödel svým zklidněním mysli.

Brouwer a Gödel však zastávali naprosto odlišná stanoviska ve vztahu k takto zjeveným zkušenostem k matematice. Oba dva viděli těsné souvislosti mezi mysticismem a matematikou, avšak naprosto odlišně je hodnotí. Matematika souvisí se základní realitou, avšak Gödel byl přesvědčen o kladném vztahu, zatímco Brouwer o záporném vztahu.

Gödel byl přesvědčen, že matematika je cestou k poznání Absolutna. Brouwer byl naopak přesvědčen, že matematika brání poznání Absolutna. Podle Gödela matematika tedy zjevuje realitu, zatímco podle Brouwera matematika realitu naopak zastírá.

Mystická zjevení mají fenomenologický charakter osvícení nebo poznání, odhalují Dobro, významné, důležité a základní hodnoty tohoto světa. Proto lze názorové rozdíly mezi Brouwerem a Gödelem popsat pomocí pojmů Dobra. Co si máme myslet o vztahu Dobra a matematiky a co si máme myslet o dobru matematiky samotné?

Z historického hlediska lze současnou matematiku označit jako H-matematiku. Tuto matematiku můžeme považovat za nejlepší nástroj, který máme k poznání dohra. Avšak na druhé straně matematika nemusí být tím nejlepším nástrojem ani tím správným nástrojem.

Brouwerova "intuicistická" matematika je často tvořena pouze jako epistemologický nebo sémantický nástroj. Lze ji však chápat jako určitou reformu H-matematiky tak, aby lépe sloužila svému úkolu. Brouwer se pokoušel vytvořit matematiku tak, aby byla výsledkem nejúplnějšího, nejsvobodnějšího a nejkonkrétnějšího projevu svobodné vůle. Naše vůle a vnitřní čas existují současně, protože náš vnitřní čas se objevuje tam, kde se naše vůle setkává s příčinností. Úplné ovládání a strukturování času je nejlepší možnou přípravou pro naši vůli, aby byla schopna pomocí časových struktur plně chápat a zvládat příčinnost jevů. Tyto časové struktury jsou produktem intuicistické matematiky. V tomto smyslu dobro matematiky spočívá v tom, že posiluje naší vůli. Brouwerův program ukázal, jak toto pochopení dobra matematiky může vést ke změnám matematické praxe.

Poznamenejme však, že můžeme hovořit o dobru matematiky, aniž by toto dobro bylo v konečném důsledku pro nás prospěšné a aniž by bylo nějakou součástí Dobra. Právě takto Brouwer o dobru matematiky hovořil. Matematika sice posiluje naši vůli, avšak směrem k našemu úpadku a v tomto smyslu je zlem. Dobro matematiky tedy nemusí nutně souviset s nějakým absolutním Dobrem. Brouwer tvrdil, že matematika a její aplikace jsou hříšné, protože vychází z představy času, který pociťujeme jako hříšný. Brouwer byl totiž přesvědčen, že tok času nás odvádí z našeho nejhlubšího domova a cokoliv nám brání se tam vrátit, je hříšné. Na druhé straně Brouwer nepovažoval celou matematiku za hříšnou. Oceňoval například klasickou algebru logiky, která je výjimečně harmonická a krásná. Ještě více však hodnotil intuicistickou matematiku díky tomu, že intuice se v ní může neomezeně rozvíjet.

Avšak ani klasická ani intuicistická matematika podle Brouwera nedosahuje konečné nebo nejvyšší Krásy. Pokud se totiž chceme vrátit do svého nehlubšího domova vědomí, musíme se úplně zbavit celé logiky a matematiky. V moudrosti není logika. Podle Brouwera cena filosofického objevování v matematice spočívá v odhalení vztahu mezi dobrem intuicistické a klasické matematiky a mezi dobrem matematiky a Dobrem. Výzkum základů matematiky je vnitřním zkoumáním s osvobozujícími důsledky také pro oblast myšlení mimo matematiku.

Na druhé straně Gödel považoval dobro matematiky za součást Dobra. To mu umožnilo zformulovat své představy o Dobru pomocí principů matematického poznání. V matematice se používají kromě jiných také induktivní důkazy. Je překvapující, že některé části matematiky byly vybudovány pouze pomocí indukce (jako některé Gaussovy práce z teorie čísel). Matematika představuje určitou formu dokonalosti. V matematice lze dosáhnout poznání najednou. Můžeme proto očekávat, že myšlenkový svět je dokonalý a že objektivní realita je krásná, dobrá a dokonalá.

Takové závěry by pro Brouwera byly nepřijatelné. Podle něj je matematika projevem vůle, zatímco podle Gödela je matematika projevem myšlení. Odtud pramení Brouwerův nezájem o teoretický význam matematiky (myšlenkové poznání a chápání světa) a Gödelova posedlost teoretickou (myšlenkovou) formou matematiky.

Brouwer tvrdil, že konstrukce intuicistické matematiky je pouze postup a nikoliv věda a stává se vědou až v matematice druhého řádu, která obsahuje matematické uvažování o matematice nebo jazyk matematiky. Z dnešního pohledu tedy Brouwer hovořil o tzv. metamatematice.

Brouwer viděl dobro matematiky v její schopnosti usměrnit působení vůle ve "světě". Svět podle něj je něco, co vzniká z našeho organizovaného vnímání. Matematika nám zjevuje svobodnou vůli a její moc nad světem. Svoboda pocházející z matematiky nám objasňuje tuto moc svobodné vůle. Brouwer nadřazoval Vůli Intelektu podobně jako Schopenhauer. Vůle může svojí svobodou zabít nejzákladnější zákony logiky.

Gödel chápal dobro matematiky obecně. Matematika odhaluje moc univerzální logiky. Prostupuje celou Realitou a proto se Mysl nemůže od ní osvobodit. Gödel v ostrém kontrastu s Brouwerem omezil význam svobodné vůle. Byl totiž přesvědčen, že bude možné vytvořit úplnou teorii lidského chování, tedy předpovědět na základě informací o dědičných vlohách a prostředí, jak se bude člověk chovat a jak bude v určitých situacích jednat. Samozřejmě, pokud se nějaký zlomyslný člověk s touto teorií seznámil, mohl by úmyslně jednat s ní v rozporu. Pokud taková úplná teorie tedy existuje, pak se jí žádný zlomyslný člověk nebude schopen naučit. Tato teorie totiž musí v sobě obsahovat i popis chování takového zlomyslného člověka.

Gödel tak odhaluje hloubku Dobroty věcí. Přestože v principu máme hluboké svobody, nelze jich zneužít pro zlomyslné účely. Brouwer a Gödel se shodli na existenci Dobra, avšak neshodli se na roli matematiky při jeho odhalování.

Přes rozdílný přístup se Brouwer a Gödel zabývali stejným předmětem, tedy matematikou, ať už intuicistickou nebo klasickou. Proto lze jejich rozdílné přístupy použít jako částečný argument proti obecnému tvrzení o podstatě (CCT, Common Core Thesis). Podle Gödela matematika vede k Absolutnu a podle Brouwera naopak vede od Absolutna. Podle Gödela matematika nás vede k Dobru, podle Brouwera nás naopak od Dobra odvádí. Pokud oba mají pravdu, pak jejich pojem Dobra musí mít různý význam. Gödel a Brouwer nemohou hovořit o stejné věci, pokud hovoří o Dobru.

Tento argument ještě nedokazuje, že obecné tvrzení o podstatě CCT neplatí. Pokud však platí, pak dokud nevíme, zda Gödelův nebo Brouwerův názor je mylný, nemáme žádný argument ve prospěch CCT.

Pokud chceme nalézt nějaký argument ve prospěch CCT, musíme ukázat, že buď Gödelův nebo Brouwerův názor je mylný. Jednodušší je však poukázat na rozdílnost metod přístupu k problému, než přímo dokazovat pravdivost nebo nepravdivost jejich mystických představ. Autoři článku [1] se proto pokusili říci něco o CCT, aniž by se pouštěli do komentářů o tom, co je vlastně Absolutno. Místo toho se soustředili na metody přístupu k Absolutnu. V celé historii bylo více rozporů doktrín než metodologií. Obecně není žádný důvod, proč by metoda přístupu měla být lepší nebo horší než argument doktríny. Vztah mezi alternativními (uváděnými) metodami může být tak nejasný, že z něj nevyplývá žádný argument. V případě Gödela a Brouwera však rozpor spočívá právě v různých metodách přístupu ve vztahu k matematice, která sama o sobě zůstává stejná.

Matematikou se lidé zabývají bez ohledu na to, zda má kladný nebo záporný vztah k mysticismu. Z Gödelova a Brouwerova hlediska matematika dosahuje svých vlastních úspěchů bez ohledu na svůj mystický nebo náboženský význam.

Přes rozdílné Gödelovy a Brouwerovy postoje jejich motivace a zájem o mysticismus byl společný. Obě jejich filozofie však byly v jejich době odmítnuty zejména kvůli materialistickému a formalistickému přístupu, který tehdy převládal.

Odkazy a literatura:

[1] Mark van Atten and Robert Tragesser: Mysticism and mathematics: Brouwer, Gödel and the common core thesis. Now published in W. Deppert and M. Rahnfeld (eds.), Klarheit in Religionsdingen Leipzig: Leipziger Universitatverlag 2003, pp. 145 - 160.