Literatura:

[X1]Turnbull University of St. Andrews.
 

Alfred Tarski významně přispěl k rozvoji řady oblastí moderní matematiky, včetně metamatematiky (oblasti matematické logiky), teorie množin, teorie míry a Lebesgueova integrálu, teorie modelování a obecné algebry.

Tarski přednášel na Univerzitě ve Varšavě, na Harvardské univerzitě a v roce 1942 se stal členem Kalifornské univerzity v Berkeley. V roce 1949 byl jmenován profesorem matematiky a v letech 1958 až 1960 byl výzkumným profesorem na Millerově institutu základního výzkumu ve vědě (the Miller Institute of Basic Research in Science).

Pomocí sémantické metody, kterou Tarski vyvinul, byly formální vědecké jazyky podrobeny hlubšímu studiu. Tarski se zabýval teorií modelování, matematickými problémy rozhodování a obecnou algebrou. Vypracoval axiomy pro "logické důsledky", zabýval se deduktivními systémy, algebrou logiky a teorií definovatelnosti.

Tarski napsal více než deset knih z různých oblastí matematiky a jeho práce ovlivnila řadu mladých matematiků. Mezi jeho práce patří "Geometrie" z roku 1935, "Metoda rozhodování pro elementární algebru a geometrii" z roku 1948, "Nerozhodnutelné teorie" z roku 1953 a "Logika, semántika, metamatematika" z roku 1956.

V roce 1924 společně se Stefanem Banachem Tarski objevil ekvivalenci geometrických objektů konečnou dekompozicí. Velmi zvláštní obsah má například Banachova-Tarského dekompozice koule, podle níž lze kouli pomocí posloupnosti řezů rozdělit tak, že z těchto řezů lze sestavit dvě koule stejného poloměru, jaký měla koule původní.

Teoretikové teorie grup studují "Tarského příšery", nekonečné grupy, jejichž existence se intuitivně jeví jako nemožná.
 

Rodiče Johna Tukeye rozpoznali značné schopnosti svého syna, když byl John ještě dítě, a začali ho vyučovat ještě před školou. Otec i matka byli sami učitelé. Vzdělání John Tukey získal na Brown University v Providence na Rhode Island, kde studoval matematiku a chemii.

Po získání titulu M.D. v chemii na Brown University odešel Tukey v roce 1937 na Univerzitu v Princetonu, kde se připravoval na doktorát z matematiky. Doktorát obdržel v roce 1939 za svoji disertační práci "Nepočitatelnost v topologii", jíž publikoval v roce 1940 pod názvem "Konvergence a uniformita v topologii". Již tři roky před získáním doktorátu publikoval tři články a po získání doktorátu začal působit jako asistent v Princetonu.

Další směr Tukeyovy kariéry ovlivnily vnější události. Během druhé světové války byl Tukey zaměstnán v úřadu the Fire Control Research, kde se zabýval matematickou statistikou. Tuto práci si Tukey velice oblíbil. Dalšími statistiky z Princetonu zde pracovali Wilks a Cochran a Tukey se s nimi setkával.

Wilks, který rozpoznal vynikající Tukeyův statistický talent, ho po ukončení druhé světové války v roce 1945 pozval do Princetonu, aby zde zastával místo statistika. Tukey kromě tohoto místa ještě pracoval v AT&T Bell Laboratories.

Tukeyovým prvním významným příspěvkem ke statistice bylo zavedení moderních metod pro odhad spektra časových řad. Tukey projevil výjimečnou představivost charakterizovanou pochopením složitosti situace. Ve své práci použil standardní statistické metody s ohledem na jejich budoucí nematematické uživatele. Jeho práce obsahuje metody odhadu spektra, spektra vyšších momentů, demodulaci, metody pro určení magnitudy a znaménka počátečních impulsů pozorovaných po vysílání přes pevný lineární systém a Fourierovu analýzu logaritmu spektrálního odhadu.

V roce 1965 ve společné práci s J.W. Cooleym v časopise "the Mathematics of Computation" publikoval důležitý rychlý algoritmus Fourierovy transformace. Řada odborníků zná Tukeyho právě díky této práci, přestože významně přispěl k řadě dalších oblastí.

Tukey ukázal nejen užitečnost, ale také omezení matematické statistiky. Poukázal na důležitost metod statistické analýzy, které nejsou citlivé na porušení předpokladů jejich použití. Dále poukázal na potřebu zkušenosti s chováním určitých metod analýzy, aby je bylo možno správně použít. Upozornil na to, že výběr dat ovlivňuje výběr metod, pomocí nichž data mohou být analyzována. Podle Tukeyho statistikové musí odmítnout roli "strážce dokázané pravdy" a vyhnout se vytváření určitých unifikovaných řešení vhodných pro všechny případy. Je nutné si uvědomit interaktivní podstatu datové analýzy. Tukey kladl důraz na použitelnost levných počítačových metod a na praktický výcvik statistiků.

Tukey přispěl také ke statistické analýze rozptylu. Řadu prací napsal ve spolupráci s jinými, protože velice rád spolupracoval s někým, kdo byl schopen podpořit jeho myšlenky a vnést do problému své vlastní nápady. Byl schopen řešit malé i velké problémy, jak praktické tak teoretické. Rád hledal odpovědi na nové otázky.
 

Alan Turing se narodil v Paddingtonu v Londýně. Jeho otec, Julius Mathison Turing, byl britským členem Indické civilní správy a proto pobýval často v zahraničí. Jeho manželka Ethel Sara Stoney byla dcerou vedoucího inženýra železnic v Madrasu. Alanovy rodiče měli sňatek v Indii. Když Alan měl jeden rok, jeho matka opustila svého manžela v Indii a vrátila se do Anglie se svými přáteli. Alan nastoupil do školy, ale nezdálo se, že by měl ze školy nějaký prospěch. Proto po několika měsících byl nucen školu opustit.

Alan poté nastoupil do přípravné školy Hazlehurst, kde ve většině předmětů průměrným žákem. Na škole se začal zajímat o šachy a zapojil se do debatního kroužku. V roce 1926 dokončil příslušnou zkoušku a přešel na školu Sherborne. V témž roce proběhla v Anglii všeobecná stávka a během této stávky musel Alan docházet z domova desítky mil do školy. Snad díky tomu se Turing později stal dobrým atletem téměř olympijského standardu. Turing zjistil, že veřejná škola mu těžko poskytne takové vzdělání, jaké on sám očekával. Většina velkých myslitelů považovala běžné vzdělání za vyčerpávající a nesmyslný proces. Stejně tak Alan Turing byl školou neúprosně tyranizován. Jeho myšlení se ubíralo zcela jinými směry a ke zcela jiným zájmům, než požadovali jeho učitelé.

Učitelé kritizovali jeho rukopis, studium angličtiny a dokonce matematiky, kde se Turing většinou zabýval vlastními myšlenkami a vytvářel vlastní řešení problémů pomocí metod, které se naučil od svých učitelů. Přes své nekonvenční myšlení Turing vyhrával téměř všechny matematické soutěže v Sherborne. V chemii, která ho zaujala od velmi útlého věku, prováděl své vlastní pokusy, což občas rozčilovalo jeho učitele.

O školském systému, v němž Alan Turing studoval, by bylo možno dlouho hovořit. Přesto Turing se během školní docházky věnoval pokročilé matematice a jeho učitelé o jeho zájmech neměli zřejmě nejmenší tušení. Alan Turing četl práce Alberta Einsteina o speciální a obecné teorii relativity a práci "The nature of the physical world" ("Podstata fyzikálního světa") Arthura Stanleyho Eddingtona o kvantové mechanice.

V roce 1928 Turingův život velmi ovlivnilo nové přátelství s Christopherem Morcomem, který studoval na stejné škole ve vyšším ročníku. Oba společně se zabývali různými vědeckými myšlenkami. Zřejmě poprvé Alan Turing našel někoho, komu mohl vysvětlit své vlastní myšlenky. V únoru 1930 však Morcom zemřel, což Turingem hluboce otřáslo. Poprvé objevil, že ve světě kolem nás existuje mnoho věcí, které nelze vědou vysvětlit.

Turing překonal všechny potíže školského systému a začal v roce 1931 studoval matematiku na King's College v Cambridge. V roce 1929 vyhrál soutěž, avšak nezískal potřebné stipendium. Proto se o rok později pokusil znovu a stipendium získal. V době Turingových studií byla univerzita v Cambridge nekonvenční školou pro právě takové lidi, jakým byl Alan Turing. Turing zde mohl svobodně rozpracovat své vlastní myšlenky. V roce 1933 četl práci Bertranda Russella "Introduction to mathematical philosophy" ("Úvod do matematické filozofie"). Zhruba ve stejné době četl práci Johna von Neumanna z roku 1932 o kvantové mechanice, k níž se později častokrát vracel.

V roce 1933 se Alan Turing začal zajímat o matematickou logiku. V prosinci v Morálním vědeckém klubu v Cambridge přečetl svoji práci "Matematika a logika", v níž tvrdil, že na matematiku se nelze dívat jen čistě logicky, ale že matematika vyžaduje různé interpretace, jichž nelze logikou dosáhnout.

30. ledna 1933 v Německu byl jmenován Adolf Hitler Říšským kancléřem a nacisté se tak ujali moci. Ve Velké Británii vzniklo protiválečné a protinacistické hnutí. Alan Turing sice zastával protiválečné názory, ale nestal se ani marxistou ani pacifistou.

V roce 1934 studium úspěšně dokončil a na jaře roku 1935 začal navštěvovat přednášky Maxe Newmanna o základech matematiky. Zde se seznámil s prací Kurta Gödela o neúplnosti a s Hilbertovým problémem rozhodnutelnosti. V určitém smyslu je "rozhodnutelnost" jednoduchým problémem, protože jejím úkolem je rozhodnout, zda určité tvrzení je pravdivé nebo nepravdivé. Pro řadu tvrzení lze snadno nalézt potřebný algoritmus. Problém nastává v okamžiku, kdy potřebný algoritmus nelze nalézt. Pokud nějaký postup problém řešil, pak skutečně šlo o algoritmus, přestože přesná definice ještě neexistovala. Turing se začal těmito myšlenkami zabývat.

V roce 1935 se Alan Turing stal členem King's College v Cambridge za svoji disertační práci "On the Gaussian error function" ("O Gaussově funkci chyb"), v níž dokázal některé zásadní věty teorie pravděpodobnosti, jako je centrální limitní věta. Přestože centrální limitní věta byla objevena krátce před Turingovou prací, Turing tuto větu objevil a dokázal nezávisle. V roce 1936 obdržel Smithovu cenu.

V té době byl Turing oceněn především za svoji práci v teorii pravděpodobnosti, ačkoliv dále pracoval intenzivně na problémech rozhodnutelnosti a navštěvoval Newmanovy přednášky. V roce 1936 publikoval článek "On Computable Numbers" ("O počitatelných číslech"), který byl aplikací tzv. "Entscheidungsproblemu". V této práci navrhnul abstraktní stroj, Turingův počítač, který přecházel z jednoho stavu do druhého na základě konečné množiny tabulek a četl ze sekvenčního zařízení (pásky) posloupnosti jednotlivých symbolů. Turingův počítač byl schopen zapsat symbol na pásku a zrušit symbol z pásky. Některé symboly byly zapisovány ve formě posloupností znaků, které představovaly dekadické vyjádření reálných čísel, s nimiž Turingův počítač pracoval.

Alan Turing definoval počitatelné číslo jako reálné číslo, jehož dekadické vyjádření mohl Turingův počítač zapsat na čistou pásku. Turing ukázal, že Ludolfovo číslo \pi je nepočitatelné, ale současně zjistil, že pouze spočetně mnoho reálných čísel je počitatelných. Popsal čísla, která nejsou počitatelná, a dospěl k paradoxnímu závěru, že některá čísla nelze vyjádřit ve formě konečných výrazů. Turing však nalezl příčiny tohoto paradoxu. Nelze totiž pomocí Turingova počítače rozhodnout, zda Turingův počítač na základě konečné tabulky instrukcí nebude produkovat nekonečné posloupnosti čísel.

Ačkoliv tato Turingova práce obsahuje revoluční myšlenky zásadní důležitosti pro matematiku a vědu o počítačích, její publikování v odborném časopise Londýnské matematické společnosti Proceedings neprobíhalo snadno. Důvodem byla práce Alonzo Churche v odborném časopise the American Journal of Mathematics v roce 1936, v níž autor také dokázal, že v aritmetice neexistuje žádná rozhodovací procedura. Přestože se Turingův příspěvek od této práce výrazně lišil, Newman v Londýnské matematické společnosti argumentoval proti jeho publikování. Turing proto článek doplnil o odkazy na Churchovy výsledky a poprvé jej publikoval v dubnu 1936 a po dalších úpravách v srpnu 1936.

V roce 1936, když se Turing stal postgraduálním studentem v Princetonu, proběhla jeho diskuse s Churchem. V Princetonu Turing pokračoval ve své práci pod Churcheovým vedením. O letních prázdninách v roce 1937 se poprvé setkal s Wittgensteinem. V roce 1938 se vrátil do Anglie. V Princetonu v roce 1939 publikoval svoji významnou práci "Systems of Logic Based on Ordinals" ("Logické systémy založené na ordinálech"). Newman o této práci napsal, že obsahuje řadu zajímavých závěrů a myšlenek.

Před tímto významným článkem Turing publikoval dva jiné články týkající se běžnějších matematických problémů. Jeden článek se zabýval metodami aproximace Lieových grup konečnými grupami a druhý se zabýval rozšířením těchto grup.

Za nejvýznamnější Turingův přínos lze považovat Turingův počítač, který popisuje principy moderních počítačů v době, kdy ještě počítače neexistovaly a technologie jejich konstrukci ještě neumožňovala.

Ačkoliv původní Turingův "počítač" byl člověk, který prováděl výpočty, musíme se na popis univerzálního Turingova počítače dívat z hlediska dnešních počítačů, které zpracovávají instrukce nějakého sekvenčního programu.

Během svého pobytu v Princetonu se Turing zabýval myšlenkou konstrukce počítače. Po svém návratu do Cambridge v roce 1938 začal konstruovat analogově mechanické zařízení pro ověření Riemannovy hypotézy, která je dodnes největším nevyřešeným problémem v matematice. Jeho práce však brzy získala zcela nový směr. Byl požádán Vládní školou pro kódy a šifry (the Goverment Code and Cypher School), aby se podílel na rozšifrování německých tajných kódů Enigma.

Když 1. září 1939 začala válka Německa proti Polsku, Turing se plně věnoval práci pro tuto školu v Bletchley Park. Přestože práce na kódu Enigma probíhala v tajnosti, později se stala veřejně známou. Turingovy brilantní myšlenky při řešení kódů a vývoj počítačů, které tyto kódy pomáhaly rozřešit, přispěly k záchraně mnoha životů vojáků a civilistů během druhé světové války.

Společně s matematikem W. G. Welchmanem Alan Turing vyvinul zařízení Bombe, které vycházelo z dřívějších prací polských matematiků. Toto zařízení koncem roku 1940 bylo schopno dekódovat všechny zprávy německého letectva Luftwaffe. Stroje Enigma německého námořnictva (Kriegsmarine) byly mnohem složitější a pro Turinga znamenaly velkou výzvu. V polovině roku 1941 pomocí matematické statistiky a teorie informace Alan Turing a jeho kolegové v Bletchley rozluštili německé námořní signály.

Od listopadu 1942 do března 1942 Turing pracoval ve Spojených státech amerických, kde se podílel na dekódování německých zpráv a na systému utajování hovorů. Německé námořnictvo později změnilo své kódy a v Bletchley ztratily možnost německé zprávy dekódovat. Turing se již přímo nepodílel na rozluštění těchto složitějších kódů, ale jeho myšlenky byly pro tuto práci významným přínosem. V roce 1945 byl Alan Turing za tento svůj přínos vyznamenán.

Koncem války byl Turing pozván do britské Národní fyzikální laboratoře v Londýně, aby se podílel na sestrojení počítače. V březnu 1946 byla publikována jeho zpráva o stroji Automatic Computing Engine. Turingův model lze již považovat za počítač v moderním smyslu.

V akademickém roce 1947 až 1948 se Turing vrátil do Cambridge a začal se zabývat otázkami značně vzdálenými od počítačů nebo matematiky, protože studoval neurologii a fyziologii. Ani během tohoto období na počítače nezapomněl a napsal kód pro jejich programování. Alan Turing se nezajímal jen o vědu. Byl také členem atletického klubu Walton Athletic Club, kde vyhrál závod na 3 míle a na 10 mil v rekordním čase. V roce 1947 běžel maratón a umístil se na pátém místě.

V roce 1948 se Newman stal profesorem matematiky na Univerzitě v Manchesteru a pozval Turinga, aby zde přednášel. Turing ukončil své působení pro Národní fyzikální laboratoř a začal působit v Manchesteru. V Manchesteru pracoval společně s F. C. Williamsem a T. Kilburnem na konstrukci počítacího stroje. Jako matematik několik let programoval podprogramy pro větší programy tohoto počítače. Později, když se jeho práce standardizovala, zabýval se spíše obecnějšími problémy numerické analýzy.

V roce 1950 publikoval knihu "Computing machinery and intelligence in Mind". Pokládal si zde zásadní otázky týkající se dalšího rozvoje počítačů. Studoval problémy, které jsou dnes základem umělé inteligence. Ve své práci v roce 1950 navrhl tzv. Turingův test pro zodpovězení otázky, zda počítač může být inteligentní.

Turing nikdy nezapomněl na problémy rozhodnutelnosti, kterými se zabýval na počátku své brilantní matematické kariéry. Jedním z hlavních problémů teorie grup je následující otázka. Máme slovo v konečně reprezentované grupě. Hledá se algoritmus, který má rozhodnout, zda se nějaké jiné slovo rovná tomuto slovu. Post dokázal, že pro pologrupy žádný takový algoritmus neexistuje. Turing se nejprve domníval, že dokázal stejný výsledek pro grupy, ale před seminářem, na němž měl prezentovat svůj výsledek, zjistil, že v důkazu má chybu. Bone později použil Turingovy myšlenky z tohoto důkazu a v roce 1957 dokázal existenci grupy, pro níž je tento problém neřešitelný.

Za svoji práci na Turingově počítači v roce 1936 se Turing v roce 1951 stal členem Královské společnosti v Londýně. V roce 1951 pracoval na aplikaci matematické teorie na biologické formy. V roce 1952 publikoval první část své teoretické studie o morfogenezi, o vývoji tvarů a forem živých organismů.

V roce 1952 byl zatčen za porušování britských zákonů o homosexualitě, když oznámil policii jisté podrobnosti svého homosexuálního života. Učinil tak kvůli písemnému udání. 31. března 1952 byl veřejně označen za homosexuála poté, co na svoji obhajobu prohlásil, že nečiní nic špatného. Byl shledán vinným a byl odsouzen buď k ročnímu pobytu ve vězení anebo k podávání estrogenových injekcí. Vybral si druhou alternativu.

Turing pokračoval ve studiu morfogeneze. Zabýval se také novými myšlenkami kvantové teorie, reprezentací elementárních částic pomocí spinorů a teorií relativity.

Výzkum na dekódování šifer v Bletchley Park během druhé světové války se stal základem nového výzkumu dekódování a rozvoje špionážní práce. Během Studené války tato práce získala prvořadou důležitost a Turing pokračoval v této práci pro GCHQ, přestože jeho kolegové v Manchesteru s tím nesouhlasili. Turing představoval pro britskou bezpečnostní službu vážné nebezpečí, protože měl řadu zahraničních kolegů po celém světě. Policie začala tajně sledovat jeho zahraniční návštěvy. V roce 1953 odejel na dovolenou do Řecka, což vyvolalo v bezpečnostní službě značné znepokojení.

Alan Turing zemřel na otravu kyanidem draselným během experimentů s elektrolýzou. Kyanid byl objeven v napůl snězeném jablce před ním. Vyšetřování dospělo k závěru, že spáchal sebevraždu, ale jeho matka vždy tvrdila, že šlo o nehodu.
 

George Uhlenbeck se narodil v Indonésii, ale vzdělání získal v Holandsku. Doktorát získal v Leidenu pod vedením Ehrenfesta.

Uhlenbeckova doktorská práce měla zásadní význam pro kvantovou mechaniku, zavedení statistických pojmů a pro návrh spinu elektronu. Spin elektronu Uhlenbeck objevil již v roce 1925, dva roky před získáním doktorátu.

V roce 1927 sice získal místo v Michiganu, avšak vrátil se do Holandska, kde získal místo v Utrechtu. Během své kariéry střídavě působil ve Spojených státech (zejména v Michiganu a v MIT) a v Holandsku.

Kromě fundamentální práce v kvantové mechanice se zabýval atomovou strukturou a kinetickou teorií látky. Mimo jiné rozšířil Boltzmannovu rovnici na husté plyny.

Uhlenbeck se vždy snažil o jasné a logické objasnění všech problémů. Měl proto značný vliv na vývoj statistické mechaniky a podařilo se mu do té doby nesouvisející oblasti sjednotit do určitého strukturovaného celku.
 

Otec Karen Uhlenbeck byl inženýr a matka umělkyně. Vyrůstala na venkově jako nejstarší ze čtyř dětí. Většina matematiků se začala matematikou zabývat již v útlém věku. Karen četla mnoho knih a to jí přivedlo k zájmu o vědu. Jako dítě četla téměř všechno dlouho do noci. Četla i pod lavicí ve škole. Když jí bylo dvanáct let, přinesl otec domů knihu Freda Hoylea o astrofyzice, která ji nesmírně zaujala. Také si vzpomíná na útlou knížku George Gamowa "One, Two, Three, (and, in?) Infinity" s velmi promyšleným argumentem, že existují dva druhy nekonečna.

Karen Uhlenbeck studovala na Univerzitě v Michiganu s úmyslem studovat fyziku. Studium fyziky bylo spojeno s řadou vynikajících matematických přednášek a Karen zjistila, že ji matematika láká více než fyzika. V roce 1964 získala titul B.S. v matematice.

Po absolvování Univerzity v Michiganu pokračovala ve studiu na Courant Institute v New Yorku. Tehdy se vdala a rozhodla se následovat svého manžela na Harvard. Začala studovat na Brandeis University, kde získala v roce 1966 titul M.S. Zůstala na této univerzitě a pod dohledem Richarda Palaise získala v roce 1968 doktorát Ph.D.

Jejím prvním místem bylo v letech 1968 až 1969 roční místo na Massachusetts Institute of Technology. Dalším dočasným místem na dva roky bylo místo na Kalifornské universitě v Berkeley v letech 1969 až 1971.

Když hledala trvalé místo, narážela na nepochopení mužů, kteří zastávali názor, že žena má být doma a vychovávat děti. Na žádném z míst, kde pracoval její manžel, na MIT, ve Stanfordu a v Princetonu, o ni neměli zájem. Nakonec získala místo na Illinoiské univerzitě Champaign - Urbana. Byla zde nespokojena, cítila se matematicky a sociálně odstrčena. Univerzita byla odporná, měšťácká a nudná. Na této univerzitě strávila roky 1971 až 1976.

Poté získala místo profesora na Illinoiské univerzitě v Chicagu. Zde se seznámila s S.T. Yauem, který přispěl k tomu, že se definitivně rozhodla stát matematičkou.

V roce 1983 obdržela MacArthurovu cenu a získala místo profesora na Chicagské univerzitě. V roce 1988 byla jmenována profesorem na Texaské univerzitě v Austinu.

Karen Uhlenbeck je předním odborníkem v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Parciální diferenciální rovnice vznikly kvůli popisu takových jevů, jako je elektromagnetické pole. Během 20. století se začaly používat v řadě oblastí. Matematikové začali studovat imaginární prostory vytvořené vědci, kteří studovali jiné problémy. Uhlenbeck začala studovat Palaisovu moderní formulaci velmi užitečné klasické teorie, variačního počtu. Podle jejího názoru je obecná teorie relativity příliš složitá, ale je přitom vedena geometrickými představami. Začala se zabývat parciálními diferenciálními rovnicemi, pracovala na škálově invariantních variačních problémech, přispěla k topologii trojrozměrných variet, ke kalibrační teorii pole a začala se zabývat některými aplikacemi čtyřrozměrných variet. Později studovala soustavy rovnic s algebraickými nekonečnými symetriemi.

Práce Karen Uhlenbeck poskytuje analytické metody pro použití instantonů jako efektivního geometrického nástroje. V roce 1988 přednášela o instantonech a jejich vztazích na výroční oslavě sta let existence Americké matematické společnosti. Edward Witten, který na sympóziu hovořil o geometrii a kvantové teorii pole, uvedl, že Karen Uhlenbeck popsala matematický vývoj moderní geometrie pomocí studia nelineárních diferenciálních rovnic. Mezi jinými věcmi načrtla některé aspekty práce Simona Donaldsona o geometrii čtyřrozměrných variet, instantonů - řešení určitých nelineárních systémů parciálních diferenciálních rovnic a samoduálních Yangových-Millsových rovnic, které původně zavedli fyzikové v kontextu kvantové teorie pole.

V roce 1990 Edward Witten obdržel Oborovou medaili za svoji práci na topologických kvantových teoriích pole. Na tomto Mezinárodním kongresu matematiků v Kyoto Karen Uhlenbeck byla plenárním mluvčím.

V roce 1985 byla za svoji práci přijata do Americké akademie umění a věd a v roce 1986 byla přijata do Národní akademie věd.

Karen Uhlenbeck pracuje v redakčních radách řady odborných časopisů: Journal of Differential Geometry (1979 - 1981), Illinois Journal of Mathematics (1980 - 1986), Communications in Partial Differential Equations (1983 - ), Journal of the American Mathematical Society (1986-91), Ergebnisse der Mathematik (1987 -1990), Journal of Differential Geometry (1988 - 91), Journal of Mathematical Physics (1989 - ), Houston Journal of Mathematics (1991 - ), Journal of Knot Theory (1991 - ), Calculus of Variations and Partial Differential Equations (1991 - ), Communications in Analysis and Geometry (1992 - ).
 

Pavel Urysohn začal na Univerzitě v Moskvě studovat fyziku. Avšak po návštěvě přednášek Luzina a Jegorova ze rozhodl věnovat se matematice.

V roce 1919 absolvoval a v roce 1921 se stal asistentem na Univerzitě v Moskvě.

Urysohnova první práce se soustředila na integrální rovnice. Urysohn se ale začal brzy věnovat topologii a své první práce na toto téma publikoval v roce 1922. Jeho zprávy Matematické společnosti v Göttingenu zaujali v roce 1923 Davida Hilberta.

Urysohn spolupracoval s Aleksandrovem, ale většina jeho důležité vědecké práce byla publikována až po jeho brzké smrti. Urysohn se zabýval zejména třídou normálních povrchů, větami o metrizovatelnosti prostorů, větami a teorií rozměrů. Urysohnovo lemma dokazuje existenci spojité funkce s hodnotami mezi 0 a 1 na jistých uzavřených podmnožinách.

V létě 1924 se vydal na cestu po Německu, Holandsku a Francie, kde navštívil Brouwera a Hausdorffa, kteří se zajímali o jeho výsledky. Ve Velké Británii zemřel.
 

Abraham Wald byl studentem Karla Mengera ve Vídni a zabýval se geometrií a statistikou. Jeho první práce se týkala metrických prostorů, kdy rozšířil Steinitzovu práci na nekonečně rozměrné vektorové prostory, a diferenciální geometrie.

Nejdůležitější Waldovy výsledky se týkají statistiky, zejména sekvenční analýzy a teorie rozhodovacích funkcí. Základy těchto oborů statistiky položil Wald ve své knize "Sekvenční analýza" z roku 1947. Wald zobecnil problém prohry hazardního hráče. Tento problém hraje důležitou roli ve statistické sekvenční analýze. Wald sekvenční analýzu vyvinul na základě požadavku nalézt co nejefektivnější metody průmyslové kontroly během druhé světové války.

Po okupaci Rakouska nacisty v roce 1938 Wald uprchl do Spojených států, protože jeho rodina byla židovského původu. Všichni jeho příbuzní zahynuli v koncentračních táborech. Wald a jeho žena v roce 1950 zemřeli při leteckém neštěstí.
 

Hermann Weyl získal vzdělání na univerzitách v Mnichově a v Göttingenu. Doktorát získal v Göttingenu pod vedením Davida Hilberta v roce 1908 za doktorskou disertační práci "Singuläre Integralgleichungen mit besonder Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems". V Göttingenu pak začal přednášet.

V letech 1913 až 1930 působil jako profesor matematiky na Technische Hochschule v Zürichu. V letech 1930 až 1933 působil jako profesor matematiky Göttingenu. Od roku 1933 do roku 1952 pracoval v Institutu pro pokročilá studia v Princetonu.

Hermann Weyl se pokusil zapracovat elektromagnetismus do formalismu obecné teorie relativity. V roce 1913 publikoval článek "Die Idee der Riemannschen Fläche", ve kterém sjednotil analýzu, geometrii a topologii. Stal se autorem první jednotné teorie pole, v níž Maxwellova elektromagnetická pole a gravitační pole jsou chápána jako geometrické vlastnosti prostoročasu.

V letech 1923 až 1938 rozvíjel myšlenku spojitých grup pomocí maticových reprezentací. Díky této práci se teorie grup stala důležitým konceptem kvantové mechaniky. Dále se zabýval rovnoměrným rozdělením čísel modulo 1, které má význam pro analytickou teorii čísel.

Později na pokus Hermanna Weyla o zahrnutí elektromagnetismu do obecné teorie relativity navázal John Wheeler. Wheeler navíc do své teorie zahrnul kvantové jevy, které hrají důležitou roli pro všechny interakce kromě interakce gravitační.

Herman Weyl svoji práci napůl žertem zhodnotil slovy: "Vždy jsem se pokoušel sjednotit pravdu a krásu, ale když jsem si měl zvolit buď jedno nebo druhé, obvykle jsem si vybral krásu."
 

Anna Johnson byla dcerou švédských emigrantů, kteří přišli do Spojených států deset let předtím, než se narodila. Když jí bylo devět let, rodina se přestěhovala do Akronu v Iowě, kde Anna navštěvovala privátní školu. V roce 1899 začala studovat na Univerzitě Jižní Dakoty, kde projevila nadání pro matematiku. Profesor matematiky Alexander Pell poznal její talent a rozhodl se jí vypomoci. Anna získala v roce 1903 titul A.B.

Po získání stipendia pokračovala ve studiu na Univerzitě v Iowě, kde získala v roce 1904 titul M.Sc. za svoji práci "Rozšíření Galoisovy teorie na lineární diferenciální rovnice". V roce 1905 získala druhý titul M.Sc. v Radcliffu, kde studovala u Bochera a Osgooda.

Anna Johnson získala stipendium Alice Freeman Palmer z Wellesley College, aby mohla rok studovat na Univerzitě v Göttingenu. Zde navštěvovala přednášky Davida Hilberta, Felixe Kleina, Hermanna Minkowského a Karla Schwarzschilda. Během svého pobytu v Göttingenu se připravovala na získání doktorátu. Mezitím se také v Göttingenu provdala za svého bývalého profesora matematiky Alexandera Pella.

Po návratu do Spojených států, kde její manžel byl děkanem, přednášela teorii funkcí a diferenciálních rovnic. V roce 1908 se vrátila do Göttingenu, aby pokračovala v přípravě na získání doktorátu, ale kvůli neshodám s Davidem Hilbertem se vrátila do Chicaga, kde její manžel v té době působil.

V Chicagu jí učil Eliakim Moore a v roce 1909 získala doktorát Ph.D. za svoji práci "Biortogonální systémy funkcí s aplikacemi v teorii integrálních rovnic", kterou původně psala v Göttingenu. Od roku 1911 Anna Pell přednášela na Mount Holyoke College a od roku 1918 na Bryn Mawr. Její manžel, který byl o 25 let starší než ona, v roce 1920 zemřel. Po odchodu Scotta v roce 1924 se Anna Pell v roce 1925 stala profesorkou matematiky.

Anna Pell se podruhé provdala za Arthura Wheelera. Během tohoto období na částečný úvazek přednášela v Princetonu. Její druhý manžel v roce 1932 zemřel. Anna Wheeler se vrátila k plné práci v Bryn Mawr, kam v roce 1933 přijela Emmy Noether. V roce 1935 Emmy Noether zemřela. Období let 1920 až 1935 bylo pro Annu Wheeler velmi obtížné a nešťastné, protože během těchto let zemřel její otec, matka, dva manželé a blízká přítelkyně a kolegyně Emmy Noether. Anna Wheeler zůstala v Bryn Mawr až do roku 1948.

Směr práce Anny Wheeler nejvíce ovlivnil David Hilbert. Během jeho vedení začala pracovat na integrálních rovnicích studiem nekonečně rozměrných lineárních prostorů. Tyto práci dělala v době, kdy funkcionální analýza byla v počátcích. Její práce měla menší význam, neboť se stala součástí obecnější teorie.

Snad jejím nejdůležitějším oceněním bylo, že jako první žena přednášela v roce 1927 na přednáškovém kolokviu Americké matematické společnosti.

- pokračování -