Literatura:

[X1]Turnbull University of St. Andrews.
 

Werner Heisenberg navštěvoval školu v Mnichově a pak studoval na Univerzitě v Mnichově. Studoval zde společně s Wolfgangem Paulim pod vedením Sommerfelda. Po získání diplomu pokračoval ve studiu a v roce 1923 obdržel doktorát za svoji disertační práci o turbulenci v proudech kapaliny.

Heisenberg, podobně jako krátce před ním Pauli, odešel z Mnichova na Univerzitu v Göttingenu, kde pracoval pod vedením Maxe Borna. V roce 1924 přešel do Ústavu teoretické fyziky v Kodani v Dánsku, kde studoval pod vedením Nielse Bohra. Bohrovy přednášky Heisenberga přivedly ke kvantové teorii. Později Heisenberg napsal: "Naučil jsem se optimismu od Sommerfelda, matematiku v Göttingenu a fyziku od Bohra".

V roce 1927 Heisenberg získal místo na Univerzitě v Lipsku (Leipzig). Toto místo zastával až do roku 1941, kdy se stal ředitelem Ústavu pro fyziku císaře Viléma v Berlíně.

Heisenberg měl významný přínos pro jadernou a částicovou fyziku, avšak jeho největším přínosem byla práce v kvantové mechanice.

V roce 1925 vyvinul maticovou mechaniku, první verzi kvantové mechaniky. Nerozvíjel tento koncept jako maticovou algebru, ale soustředil se na kvantované amplitudy pravděpodobnosti. Tyto amplitudy tvoří nekomutativní algebru. Max Born a Pascual Jordan v Göttingenu zjistili, že nekomutativní algebrou by mohla být maticová algebra.

Maticovou mechaniku pak rozvíjeli Heisenberg, Born a Jordan v pracích publikovaných v roce 1926. Heisenberg v roce 1928 publikoval svoji práci "The Physical Principles of Quantum theory" ("Fyzikální principy kvantové teorie"), za níž v roce 1932 obdržel Nobelovu cenu za fyziku.

Heisenberga dnes známe především díky principu neurčitosti, který objevil v roce 1927. Ve stejném roce se zúčastnil Solvayské konference v Bruselu. V roce 1969 o tom napsal:

"Těm z nás, kteří jsme se podíleli na vývoji atomové teorie, následujících pět let po Solvayské konferenci v Bruselu v roce 1927 připadalo tak úspěšných, že jsme často hovořili o zlatém věku atomové fyziky. Značné překážky, kterými jsme se zabývaly v předchozích letech, tímto způsobem zmizely. Doširoka se otevřela brána do zcela nové oblasti, kvantové mechaniky, kde čerstvé ovoce čekalo, až je utrhneme."

Ve 30. letech 20. století Heisenberg a Pauli použili kvantovanou realizaci prostoru pro své výpočty mřížek. Heisenberg doufal, že tyto matematické nástroje by mohly vést k objevení fundamentální konstanty přírody, "fundamentální délky".

V roce 1932 Heisenberg napsal tři práce, které popisovaly moderní obraz atomového jádra. Popsal strukturu různých jeho částí a zabýval se jeho vazebními energiemi a stabilitou. Tyto články otevřely cestu dalším fyzikům při aplikaci kvantové teorie na atomové jádro.

Během druhé světové války byl Heisenberg šéfem neúspěšného německého projektu jaderných zbraní. Pracoval s Otto Hahnem, který objevil jaderné štěpení při vývoji jaderného reaktoru, ale nebyl schopen připravit úspěšný program pro vývoj jaderných zbraní. Dnes není jasné, zda to bylo kvůli nedostatku materiálu, nebo zda Heisenberg nechtěl, aby se jaderné zbraně dostaly do rukou nacistů.

Po válce byl Heisenberg internován v Británii s ostatními předními německými vědci. V roce 1946 se vrátil do Německa, kde byl jmenován ředitelem Ústavu Maxe Plancka pro fyziku a astrofyziku v Göttingenu. V roce 1958 se Ústav přesunul do Mnichova a Heisenberg zůstal jeho ředitelem.

Heisenberg se také zabýval filozofií přírody a napsal práce "Physics and Philosophy" (1962, "Fyzika a filozofie") a "Physics and Beyond" (1971, "Fyzika a onen svět").
 

David Hilbert navštěvoval gymnázium ve svém rodišti. Po jeho absolvování byl přijat na Univerzitu v Königsbergu. Zde studoval u Lindemanna a doktorát získal v roce 1885 za svoji práci "Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen". Jedním z Hilbertových přátel byl Minkowski. Minkowski a Hilbert se později ve své vědecké práci vzájemně ovlivňovali.

V roce 1884 začal na Universitě v Königsbergu pracovat Hurwitz a brzy se stal Hilbertovým přítelem, což se stalo dalším výrazným faktorem dalšího Hilbertova vývoje. Hilbert byl v letech 1886 až 1895 členem University v Königsbergu. Do roku 1892 byl soukromým docentem a později mimořádným profesorem. V roce 1893 byl jmenován řádným profesorem.

V roce 1892 přešel z Göttingenu do Berlína Schwarz, který zde zaujal Weierstrassovo místo. Klein chtěl, aby Hilbert zaujal Schwarzovo místo v Göttingenu. Kleinovi se však nepodařilo své kolegy přesvědčit a Schwarzovo místo získal Heinrich Weber. Již o tři roky později Heinrich Weber přešel do Strasbourgu.V roce 1895 tak získal David Hilbert místo na katedře matematiky na Universitě v Göttingenu, kde setrval až do konce své vědecké práce.

Hilbertovo významné postavení ve světě matematiky po roce 1900 způsobilo, že se řada universit o něj zajímala. V roce 1902 mu nabídla místo Universita v Berlíně. Hilbert toto místo odmítl a požadoval, aby na Universitě v Göttingenu bylo zřízeno místo pro jeho přítele Minkowského.

Hilbertovou první prací byla v roce 1888 teorie invariantů, kde dokázal Základní větu. O dvacet let dříve Gordan dokázal konečnou základní větu pro binární formy. Pokusy zobecnit tento Gordanův výsledek na systémy s více než dvěma proměnnými byly neúspěšné kvůli výpočetním problémům. Hilbert se pokusil nejprve využít Gordanovu metodu, avšak brzy se vydal vlastní cestou. Objevil zcela abstraktní cestu, jak dokázat konečnou základní větu pro libovolný počet proměnných.

Hilbert publikoval svůj výsledek v časopise Mathematische Annalen. Ale Gordan, který byl odborníkem na teorii invariantů pro časopis Mathematische Annalen, nebyl schopen Hilbertovu revoluční myšlenku ocenit. Zaslal Hilbertovu práci se svým komentářem Kleinovi. Ve svém komentáři uvedl, že problém leží někde hlouběji. Hilbert sice správně použil formálních pravidel a pomocí nich provedl potřebný důkaz, avšak Gordan se domníval, že tento důkaz není dostatečný.

Hilbert se poradil se svým přítelem Hurwitzem a sám napsal Kleinovi, že nemá sebemenší důvod na svém článku cokoliv změnit. Klein tak stál před rozhodnutím. Hilbert byl pouhým asistentem, zatímco Gordan byl předním odborníkem na teorii invariantů a navíc byl blízkým Kleinovým přítelem. Klein však pochopil význam Hilbertovy práce a doporučil její publikování v časopise bez jakýchkoliv změn.

V další práci Hilbert svoji metodu rozšířil a článek zaslal znovu časopisu Mathematische Annalen a Kleinovi. Klein po prostudování rukopisu Hilbertovi napsal, že je přesvědčen o tom, že Hilbertův článek je vůbec nejdůležitější prací, kterou časopis Mathematische Annalen o obecné algebře kdy vydal.

V roce 1893 Hilbert začal pracovat na práci "Zahlbericht" o algebraické teorii čísel. Práci dokončil v roce 1897. Tato práce se stala skvělou syntézou prací Kummera, Kroneckera a Dedekinda a obsahovala řadu nových Hilbertových myšlenek.

Hilbertova práce v geometrii měla na tento obor největší vliv od dob Euklida. Systematické studium axiómů euklidovské geometrie přivedlo Hilberta k návrhu 21 axiómů, jejichž význam podrobně analyzoval. V roce 1899 publikoval práci "Grundlagen der Geometrie", v níž definoval geometrii na formálním axiomatickém základě. Kniha se dočkala nových vydání a měla zásadní vliv na axiomatizaci matematiky.

Dvacet tři Hilbertových problémů se stalo výzvou (a některé dosud jsou) k řešení fundamentálních otázek matematiky. Podnětem byla strhující Hilbertova přednáška "Problémy matematiky" na 2. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Jeho řeč o matematice 20. století byla plná optimismu.

Mezi Hilbertovy problémy patří hypotéza kontinua, dobré uspořádání reálných čísel, Goldbachova domněnka, Rimenannova hypotéza, rozšíření Dirichletova principu a řada dalších. Většina Hilbertových problémů byla ve 20. století vyřešena a řešení každého z nich mělo značný vliv na vývoj celé matematiky.

Dnes je Hilbertovo jméno spojováno především s pojmem Hilbertova prostoru. Hilbertova práce o integrálních rovnicích v roce 1909 vedla přímo k funkcionální analýze. Tato práce se stala také základem nekonečně rozměrných Hilbertových prostorů, které jsou užitečným nástrojem matematické analýzy a kvantové teorie. Díky Hilbertově práci o integrálních rovnicích došlo k rozvoji matematické fyziky, zejména kinetické teorie plynů a teorie záření.

V roce 1915 Hilbert objevil správné rovnice pole obecné teorie relativity krátce před Albertem Einsteinem, ale nikdy nebojoval o prvenství.

V roce 1934 a 1939 publikoval dva svazky "Grundlagen der Mathematik", které se staly základem "teorie důkazů", pomocí níž se měla dokázat konzistence matematiky. Kurt Gödel v roce 1931 pak ukázal, že takový důkaz neexistuje.

David Hilbert ovlivnil řadu oblastí matematiky, jako je teorie invariantů, teorie čísel, funkcionální analýza, teorie integrálních rovnic, matematická fyzika a výpočet variací.

Mezi Hilbertovy studenty patřil Hermann Weyl, Zermelo nebo světový šachový šampión Lasker.

Hilbert získal řadu ocenění. V roce 1905 Maďarská akademie věd vydala zvláštní publikaci o Hilbertovi. V roce 1930 se Hilbert stal čestným občanem města Königsbergu. Jeho život lze charakterizovat jeho vlastním citátem:

"Wir müssen wissen, wir werden wissen"
- Musíme vědět a budeme vědět.
 

Edwin Hubble byl mužem, který změnil naše chápání vesmíru. V roce 1929 objevil, že všechny galaxie se od sebe vzdalují rychlostí úměrné jejich vzdálenosti. Tím prokázal, že vesmír se kosmologicky rozpíná.

Edwin Hubble se narodil v Missouri v roce 1889. V roce 1898 se s rodiči přestěhoval do Chicaga. Na střední škole byl slibným, ale nikoliv výjimečným žákem. Byl spíše dobrým sportovcem, když ve státě Illinois zlomil rekord ve skoku vysokém. Na Univerzitě v Chicagu byl členem basketbalového týmu. Získal stipendium na Oxfordu, kde začal studovat právo. Po určité době se však vrátil do Spojených států a začal se zabývat astronomií.

Počátkem 20. let 20. století Hubble sehrál významnou roli při studiu galaxií. V té době bylo známo, že některé spirální galaxie obsahují jednotlivé hvězdy. Astronomové však nebyli schopni rozhodnout, zda tyto hvězdy jsou součástí naší vlastní galaxie nebo zda existují také jiné galaxie jako "ostrovy hvězd". V roce 1924 Hubble změřil vzdálenost galaxie v Andromedě, jejíž zdánlivý průměr na obloze je stejný jako zdánlivý průměr Měsíce. Hubble zjistil, že tato galaxie je asi stotisíckrát dále, než nejbližší hvězdy. Tím prokázal, že jde skutečně o jinou galaxii, jejíž velikost je srovnatelná s velikostí Mléčné dráhy.

Hubble nebyl schopen přesně změřit vzdálenost vzdálených galaxií, avšak jako určité vodítko pro měření jejich vzdálenosti využil jejich jasnost (relativní svítivost). Rychlost, s níž se galaxie od naší Galaxie vzdalují, lze relativně snadno určit pomocí Dopplerova posuvu spektrálních čar, které jsou posunuty k červené části spektra. Pomocí citlivého spektrografu Hubble určil rudý posuv řady vzdálených galaxií.

Nevíme, zda díky náhodě nebo díky instinktu si Hubble při zkoumání pozorovaných dat povšiml, že velikost rudého posuvu čar ve spektru odpovídá vzdálenosti galaxie. Všechny pozorované galaxie se od nás vzdalují tím rychleji, čím jsou od nás dále. Galaxie se proto vzdalují vzájemně o sebe, což lze vysvětlit pouze tím, že se celý vesmír rozpíná. Podle obecné teorie relativity, jíž v roce 1915 dokončil Albert Einstein, toto rozpínání vesmíru vedlo k překvapivému závěru, že vesmír má svůj počátek ve Velkém třesku. Tak se zrodila moderní kosmologie.

Edwin Hubble své největší objevy učinil pomocí tehdy nejlepšího dalekohledu na světě, sto palcového dalekohledu na Mount Wilson v jižní Californii. Dnes největší dalekohled na světě není umístěn na Zemi, ale na oběžné dráze kolem Země. Hubbleův vesmírný dalekohled (the Hubble Space Telescope) tak pokračuje v Hubbleově práci při zkoumání vzdálených galaxií a nejvzdálenějších částí vesmíru.

Literatura a odkazy:

[X1] The Space Telescope Science Institute. The Association of Universities for Research in Astronomy, Inc. [M1]

[N1] Hubbleův vesmírný dalekohled. Natura 4/1998.
 

Vojtěch Jarník studoval na Univerzitě Karlově v Praze. Po dokončení studia se stal asistentem na Univerzitě Karlově. V roce 1923 odešel na Univerzitu v Göttingenu, kde pracoval s Landauem. V roce 1924 se vrátil do Prahy a v letech 1927 až 1928 opět pracoval v Göttingenu s Landauem.

V roce 1928 Jarník získal trvalé místo, které zastával do roku 1968, když do té doby přednášel plných 47 let.

Hlavním tématem Jarníkova výzkumu byla teorie čísel. Jeden z problémů, na němž pracoval, souvisel s Gaussovým problémem mřížkových bodů v kruhu. Nechť R(r) označuje počet bodů (m,n), (m, n celá čísla) v kruhu se středem v bodě 0 a poloměrem r. Pak existuje konstanta C a číslo k takové, že

|R(r) - \pi r²| < C.r^k

Označme d nejmenší hodnotu čísla k. Gauss v roce 1837 dokázal, že d \leq 1. V roce 1904 dokázal Sierpinski, že d \leq 2/3. Landau a Hardy v roce 1915 dokázali, že d > 1/2. V roce 1923 bylo dokázáno, že d < 2/3.

Jarník a Landau studovali stejný problém pro křivky a povrchy jiné než kružnice. Zajímali se o vztah mezi počtem bodů mřížky uzavřeného povrchu a objemem uzavřeným tímto povrchem. Jarník ukázal, že pro určité uzavřené křivky je chyba d = 2/3. Studoval problém pro speciální případ elipsoidu a publikoval řadu článků.

Dalším tématem teorie čísel, o něž se Jarník zajímal, byla diofantická aproximace. O této problematice napsal několik článků v letech 1928 až 1969. V letech 1939 až 1949 napsal řadu článků zabývajících se geometrií čísel, speciálně Minkowského nerovností pro konvexní tělesa.

Zhruba 60 z 90 Jarníkových článků se týkalo teorie čísel. Dále se Jarník v letech 1933 až 1936 zabýval funkcemi reálné proměnné, studoval Diniho derivace a přibližné derivace spojitých funkcí. Napsal články o přerovnávání řad, o trigonometrických řadách a dalších tématech matematické analýzy.

Jarník byl výjimečný učitel, který dokázal své nadšení přenést na své studenty. Pro své široké vzdělání, takt a čistý lidský charakter byl oblíben a hluboce si ho vážili všichni, kdo ho osobně poznali.

Jarník byl vydavatelem časopisu Acta Arithmetica od jeho vzniku. Věnoval se organizaci univerzitního vzdělání a vědeckého výzkumu v Československu. Za svoji práci byl oceněn řadou vědeckých společností a byl přijat do Československé akademie věd.

Studenti matematické analýzy Vojtěcha Jarníka znají především díky jeho učebnicím Diferenciální počet a Integrální počet.
 

Dimitrij Jegorov navštěvoval školu v Moskvě a v roce 1887 začal studovat matematiku a fyziku na Moskevské univerzitě. V té době ho ovlivnil zejména jeho učitel Bugajev. V roce 1892 napsal Jegorov první článek o numerických integrálech.

Jegorov začal od roku 1894 vyučovat na Moskevské univerzitě a v roce 1901 získal doktorát. Pak strávil rok v zahraničí a v roce 1903 se stal profesorem Moskevské univerzity.

Jegorov se zabýval ortogonálními systémy a potenciálními plochami. Významně přispěl k rozvoji diferenciální geometrie. Některé Jegorovovy výsledky publikoval Darboux ve svém díle "Lecons sur la théorie général des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal".

Jegorov se dále zabýval integrálními rovnicemi a jedna věta z teorie míry a integrálu o stejnoměrné konvergenci posloupnosti měřitelných komplexních funkcí nese jeho jméno. Jedním z prvních Jegorovových studentů byl Luzin, který se stal členem Jegorovovy školy zabývající se funkcemi reálné proměnné.

V roce 1917 se stal tajemníkem Moskevské matematické společnosti. V roce 1921 byl zvolen viceprezidentem a v roce 1922 se stal prezidentem. V roce 1923 se stal ředitelem Ústavu mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity.

Jegorov byl hluboce věřícím člověkem. Krátce po sovětské revoluci komunistický režim konfiskoval církevní majetek, zesměšňoval náboženství, pronásledoval věřící a propagoval atheismus ve školství. Ruská ortodoxní pravoslavná církev se ve 20. a 30. letech 20. století stala hlavním terčem ostrých protináboženských útoků. Většina kněží a mnozí věřící byli zastřeleni nebo posláni do pracovních táborů. Sověti zavřeli teologické školy a církevní písemnosti byly zakázány. Pouhých 500 z asi 50 000 kostelů zůstalo v roce 1939 otevřeno.

V letech 1922 až 1923 se církev stala terčem hromadných útoků a v roce 1928 pronásledování církve pokračovalo. Jegorov díky svému postavení v Moskevské matematické společnosti se pokoušel zachránit akademiky, kteří kvůli svému politickému postoji měli odejít ze školství. Pokoušel se také zabránit průniku marxistické metodologie do vědy.

V roce 1929 byl komunistickým režimem z vedení Ústavu mechaniky a matematiky odstraněn a veřejně odsuzován.

O něco později byl uvězněn jako "propagátor náboženství". Moskevská matematická společnost pokračovala v obraně Jegorova a odmítla ho vyloučit ze svých řad. V listopadu 1930 byli všichni matematikové, včetně Kuroše, kteří se zúčastnili zasedání na obhajobu Jegorova, jako "skupina iniciátorů" na nátlak komunistického režimu ze Společnosti vyloučeni. Jegorov byl označen za jejich vůdce a reakcionáře.

Jegorov začal držet protestní hladovku a když se jeho zdravotní stav silně zhoršil, byl přemístěn do vojenské nemocnice v Kazani. Čebotarjevova manželka pracovala jako lékařka v této nemocnici. Přestože to komunistickému režimu nevyhovovalo, bylo oznámeno, že Jegorov zemřel v Čebotarjevově domě.
 

Kaluza vyučoval v Königsbergu, když v dubnu 1919 napsal Einsteinovi a hovořil s ním o úvahách sjednocení Einsteinovy teorie gravitace a Maxwellovy teorie světla. Einstein ho povzbudil, aby publikoval své velice originální myšlenky. V roce 1921 Kaluza publikoval článek o problému sjednocení ve fyzice "Zum Unitätsproblem der Physik, Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften 96 (1921), 69.".

Kaluzovy myšlenky vedly k zavedení pětirozměrného prostoru a ačkoliv byl zpočátku kritizován za svoji čistě matematické myšlenky, jeho práce je dodnes důležitá a byla rozvíjena dalšími.

Kaluza je dnes znám především díky Kaluzově-Kleinově teorii pole (pojmenované po Oscaru Kleinovi), která studovala rovnice pole v pětirozměrném prostoru. Kaluzovy-Kleinovy prostory hrají určitou roli v současné teorii pole a v teorii superstrun.
 

Rodiče Andreje Nikolajeviče Kolmogorova nebyli oddáni. Jeho otec Nikolaj Katajev, syn duchovního, byl zemědělec a žil ve vyhnanství. Po sovětské Revoluci se vrátil do Moskvy, kde pracoval na Ministerstvu zemědělství, ale v roce 1919 při souboji zemřel. Kolmogorovova matka zemřela při jeho porodu. Matčina sestra, Věra Jakovlevna malého Kolmogorova vychovávala, avšak on ji z hlouby duše nenáviděl.

Kolmogorov strávil část dětství v obci Tunošna nedaleko od Jaroslavli u svých prarodičů z matčiny strany. Příjmení získal od svého dědečka, Jakova Stěpanoviče Kolmogorova, který pocházel ze šlechtického rodu, což mu po sovětské Revoluci působilo značné potíže. Ve svém domě provozoval ilegální tiskárnu.

Když dokončil školu, začal pracovat jako průvodčí na železnici. Ve volném čase napsal pojednání o Newtonových zákonech mechaniky. V roce 1920 začal studovat na Moskevské státní univerzitě, avšak matematikou se zabýval okrajově. Studoval řadu předmětů, včetně metalurgie a ruské historie. Napsal mimo jiné vědecké pojednání o majetkových vztazích v Novgorodu v 15. a 16. století.

Při studiu matematiky byl zpočátku ovlivněn řadou významných matematiků. V době, kdy ještě studoval, začal svoji vědeckou práci P. S. Alexandrov. Luzin a Jegorov vytvořili v té době zvláštní vědeckou skupinu studenty nazývanou "Luzitánie". Jejími členy byli M. Ja. Suslin, P. S. Urysohn a Alexandrov. Největší vliv na Kolmogorova však měl zřejmě Stěpanov, který vyučoval trigonometrické řady.

Ačkoliv Kolmogorov ještě nedokončil vysokoškolské studium, již začal psát články mezinárodního významu. Na jaře roku 1922 dokončil článek o množinových operacích, v němž zobecnil řadu výsledků získaných od M. Ja. Suslina. V červnu 1922 zkonstruoval spočetnou funkci, která diverguje skoro všude. Tento výsledek byl odborníky v oboru naprosto neočekávaný a Kolmogorovo jméno bylo brzy známé po celém vědeckém světě.

V roce 1925 dokončil studium Moskevské státní univerzity a ihned začal vědecky pracovat pod Luzinovým vedením. V době, kdy ještě studoval, publikoval celkem osm článků. V roce 1925 napsal společně s Chinčinem první článek z teorie pravděpodobnosti. Článek obsahoval větu "tří řad" týkající se nerovností částečných součtů náhodných veličin, která se stala základem nerovností v martingalech a v stochastických výpočtech.

V roce 1929 získal doktorát. V té době již napsal celkem 18 článků. V článcích se objevily jeho verze silného zákona velkých čísel, zákona iterovaného logaritmu, některá zobecnění operací derivace a integrace a příspěvky k intuitivní logice.

Významnou událostí v Kolmogorově životě byl počátek jeho přátelství s Alexandrovem v zimě 1929, kdy společně strávili tři týdny na výletě. Společný výlet začal v Jaroslavli, pak se plavili na člunu po Volze a překročili pohoří Kavkaz k jezeru Sevan v Arménii. Alexandrov pracoval na knize o topologii spolu s Hopfem a Kolmogorov pracoval na Markovských procesech se spojitým časem. Své výsledky publikoval v roce 1931 a tuto jeho práci lze považovat za počátek teorie difúze. V zimě 1931 Kolmogorov a Alexandrov podnikli další cestu. Navštívili Berlín, Göttingen, Mnichov a Paříž, kde Kolmogorov řadu hodin hovořil s Paulem Lévym a pak strávili asi měsíc na pobřeží společně s Fréchetem.

V roce 1931 byl Kolmogorov jmenován profesorem Moskevské univerzity. V roce 1933 publikoval monografii o pravděpodobnosti "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung", která se stala rigorózním základem teorie pravděpodobnosti a svým významem byla srovnatelná s Euklidovými "Elementy". Jedním z úspěchů této práce byla rigorózní definice podmíněné střední hodnoty.

V roce 1938 publikoval významný článek "Analytic methods in probability theory", který položil základy teorie Markovových náhodných procesů. Jeho myšlenky ovlivnily další vývoj množinové teorie topologie, teorie aproximací, teorie turbulentního toku, funkcionální analýzu, základy geometrie a také historii a metodologii matematiky.

Alexandrov a Kolmogorov zakoupili v roce 1935 malou vilu v Komarovce nedaleko Moskvy. Vilu v Komarovce navštívila řada významných matematiků, jako Hadamard, Fréchet, Banach, Hopf, Kuratowski a další.

V Komarovce probíhali hluboké a debaty plné matematických myšlenek. Unaveni celodenní prací se po večeři vraceli do Moskvy.

Gněděnko, jeden z Kolmogorovových studentů napsal, že tato doba se zapsala do paměti všech studentů jako nezapomenutelné období života, plné vědeckého a kulturního úsilí, záblesků vědeckého pokroku a sjednocení sil při řešení problémů vědy. Nelze zapomenout na podivuhodné vycházky o nedělích, když Kolmogorov pozval všechny své absolventy a studenty a také studenty jiných učitelů. Chodilo se do okolí Bolševa, Klijazmy a do dalších míst až 30 kilometrů a debatovalo se nejen o běžných problémech matematiky a jejích aplikacích, ale také o pokroku v kultuře, zejména v malířství, architektuře a v literatuře.

V letech 1938 až 1939 několik předních matematiků z Moskevské univerzity vytvořilo Stěklovův matematický ústav Akademie věd, přičemž dále pracovali na Univerzitě. Mezi nimi byli Alexandrov, Gelfand, Kolmogorov, Petrovskij a Chinčin. Kolmogorov vytvořil Oddělení pravděpodobnosti a statistiky a stal se jeho vedoucím.

Později se Kolmogorov začal zabývat studiem pohybu planet a problémem turbulentního proudění u letadel s tryskovým motorem. V roce 1941 napsal dva zásadní články o turbulenci. V roce 1954 napsal práci o dynamických systémech ve vztahu k pohybu planet. Tím demonstroval význam teorie pravděpodobnosti v moderní fyzice.

Kolmogorov se nezabýval pouze teorií pravděpodobnosti. V topologii zavedl pojem grup kohomologie nezávisle na Alexandrovovi. V roce 1934 studoval řetězce, homologii a kohomologii konečných komplexů buněk. V roce 1936 definoval grupy kohomologie pro lokálně kompaktní topologický prostor. Dalším důležitým přínosem byla definice okruhu kohomologie na Mezinárodní konferenci topologie v Moskvě v roce 1935. Na této konferenci Kolmogorov a Alexandrov přednášeli nezávisle na sobě své práce o kohomologii.

V letech 1953 a 1953 Kolmogorov napsal dva články o délce čtyř stran každý. Týkaly se teorie dynamických systémů s aplikací na dynamiku hamiltoniánu. Tyto dva články se staly počátkem KAM teorie (Kolmogorovova-Arnoldova-Moserova teorie). Kolmogorov v roce 1954 na Mezinárodním kongresu matematiků v Amsterdamu upozornil na toto téma přednáškou o obecné teorii dynamických systémů a klasické mechanice.

Kolmogorov nalezl pomocí teorie pravděpodobnosti částečné řešení Hilbertova šestého problému a upozornil tak na význam matematiky ve fyzikálních vědách.

V roce 1957 nalezl řešení Hilbertova třináctého problému, když vyvrátil Hilbertovu domněnku, že existuje spojitá funkce tří proměnných, jíž nelze reprezentovat spojitou funkcí dvou proměnných.

Kolmogorov věnoval také zvláštní pozornost projektu vzdělání nadaných dětí. Napsal řadu učebních textů a učebnic, strávil také řadu hodin výukou nadaných dětí a snažil se je přivést také k literatuře a hudbě, věnoval se jejich volnému času. Kladl důraz na přirozený rozvoj osobnosti dětí a vůbec nechtěl, aby se každé nadané dítě věnovalo matematice.

Kolmogorov jako vynikající vědec přirozeně obdržel řadu ocenění v řadě zemí. V roce 1939 byl přijat do Akademie věd Sovětského svazu. Jako první obdržel v roce 1941 Státní cenu. V roce 1965 obdržel Leninovu cenu, Leninův řád a v roce 1987 Lobačevského cenu. Kolmogorov se stal členem řady zahraničních akademií a společností. V roce 1956 se stal členem Rumunské akademie věd, v roce 1956 se stal členem Královské statistické společnosti v Londýně, v roce 1959 členem Akademie Německa. V roce 1959 se stal členem Americké akademie umění a věd a ve stejném roce se stal členem Londýnské matematické společnosti. V roce 1961 se stal členem Americké filozofické společnosti. V roce 1962 se stal členem Indského statistického ústavu. V roce 1963 se stal členem Holandské akademie věd. V roce 1964 se stal členem Královské společnosti v Londýně a v roce 1967 se stal členem Národní akademie věd Spojených států amerických. V roce 1968 se stal členem Francouzské akademie věd.
 

Jako student Kazimierz Kuratowski studoval v Glasgow a pak ve Varšavě. Kromě pobytu ve Lvově v letech 1927 až 1934 strávil celý svůj aktivní život na Univerzitě ve Varšavě.

Kuratowski se zabýval zejména topologií a teorií množin. Je autorem knihy "Topologie", která položila základy varšavské školy topologie bodových množin. Kuratowski použil pojem bodové limity pro definování topologických prostorů.

V roce 1930 se zabýval nerovinnými grafy a jeho práce měla zásadní význam pro teorii grafů. Kuratowski dokázal, že nutnou a postačující podmínkou k tomu, aby graf G byl rovinný, je, že nesmí obsahovat podgrafy homeomorfní s K₅ nebo s K_3,3.

V teorii množin definoval funkce jako množiny uspořádaných dvojic a na jeho práci navázali Frege a Benjamin Pierce.
 

Kurošův otec pracoval v továrně na zpracování bavlny. Když mu bylo šest let, vypukla první světová válka. Malý Šura již tehdy sledoval události v novinách. Uprostřed války, v roce 1916 začal chodit do školy a šel hned do třetí třídy. Po válce se jeho život ještě více zhoršil, když v roce 1920 jeho otec zemřel na vleklou tuberkulózu. Kurošova rodina byla chudá a Šura kromě učení ve škole také pracoval.

Když mu bylo 15 let, ukončil základní školu a odejel do Moskvy, kde se přihlásil ke zkouškám na Textilní institut. Zkoušky sice zvládl bez sebemenších problémů, ale nebyl přijat kvůli nízkému věku. Musel se vrátit domů do Jartseva, kde si musel hledat práci. Kuroš nikdy nemohl řádně studovat a vždy studoval pouze ve večerní škole po práci. Na rozdíl od většiny velkých matematiků neprojevoval o matematiku žádný výjimečný zájem, ale zajímal se o proudové motory.

V roce 1924 byl přijat na Univerzitu ve Smolensku. Začal se zajímat o matematiku, když ho v roce 1926 ovlivnil Pavel Sergejevič Alexandrov na přednáškách z teorie množin, teorie funkcí a topologie. Po dokončení studia zůstal na univerzitě u Alexandrova jako postgraduální student. V té době přijela do Moskvy Emmy Noether, která na Moskevské státní univerzitě přednášela o abstraktní algebře. Díky dojmu z těchto svěžích přednášek Kuroš začal na Univerzitě ve Smolensku přednášet moderní algebru.

V roce 1929 Kuroš přešel do Institutu matematiky a mechaniky na Moskevské státní univerzitě. Stalo se tak na základě žádosti Alexandrova, který v té době působil v Moskvě a chtěl pokračovat ve spolupráci s Kurošem. Ačkoliv Kurošovy první výsledky se týkaly topologie, když řešil problémy stanovené Alexandrovem, Kuroš se začal zajímat o teorii grup. Ještě ve Smolensku četl Schmidtovy články o teorii grup a rozhodl se navštěvovat Schmidtův seminář na Moskevské státní univerzitě. Na podzim roku 1930 byl Kuroš schopen sám pokračovat ve Schmidtově práci.

V roce 1930 se Kuroš stal asistentem na Moskevské státní univerzitě, v roce 1932 zde začal přednášet a v roce 1937 byl jmenován profesorem. 22. dubna 1936 Kuroš získal doktorát za svoji obhájenou práci nazvanou "Výzkum nekonečných grup". Je třeba poznamenat, že doktorát v Rusku v té době měl vyšší hodnotu než současný Ph.D. ve Velké Británii a ve Spojených státech, který by odpovídal tehdejší hodnosti magistra v Rusku. V roce 1949 se Kuroš stal ředitelem Moskevské státní univerzity a dále pokračoval ve své vědecké práci.

V roce 1929 na Moskevské státní univerzitě bylo vytvořen post vyšší algebry, na který zasedl jako první Schmidt. Kuroš toto místo zastával od roku 1949 až do své smrti v roce 1971. Podobně jako většina ruských akademiků té doby Kuroš přednášel na řadě jiných institucí v Moskvě.

Kurošova první významná práce se týkala topologie, kdy řešil problémy ustanovené Alexandrovem. Pak se rychle přeorientoval na studium teorie grup a svoji první práci z této oblasti publikoval v roce 1932, když se zabýval dekompozicí grup. Krátce poté se Kuroš seznámil se Schreierovými články o volných součinech grup. Záhy publikoval důležité výsledky o tomto tématu ve dvou článcích zabývajících se volnými součiny. Druhý z těchto článků se objevil v Mathematische Annalen a obsahuje důkaz, který se proslavil jako Kurošova věta o podgrupách, která popisuje podgrupy volného součinu grup. Tímto článkem vešel v mezinárodní známost.

Kuroš je nejvíce znám díky své knize o dvou svazcích "Teorie grup", kterou dokončil již v roce 1940, ale události 2. světové války znemožnily publikování knihy až do roku 1944. V roce 1952 publikoval druhé vydání této knihy a v podstatě tuto knihu přepracoval díky značnému pokroku teorie grup v letech 1940 až 1952. Tato kniha byla v roce 1955 přeložena do angličtiny a stala se prvním moderním textem o obecné teorii grup, který měl značný dopad na rozvoj teorie nekonečných grup.

Kniha obsahuje řadu Kurošových vlastních výsledků z teorie grup, včetně již zmíněné Kurošovy věty o podgrupách. Kuroš na svoji práci navázal články z teorie okruhů, z lineární algebry a později články z teorie kategorií, z teorie grup operátorů, z teorie okruhů a lineárních algeber.

Část své práce popsal ve své vynikající knize "Přednášky z obecné algebry", kterou publikoval v roce 1960 a stala se světově známou učebnicí. Podobně jako jeho "Teorie grup" byla také tato kniha přeložena do angličtiny Kurtem Hirschem.

Během 50. let 20. století se soustředil na univerzální algebry a teorii kategorií. V roce 1958 zorganizoval velký seminář o teorii kategorií. Řada matematiků, která se účastnila tohoto semináře, pak vytvořila Moskevskou školu teorie kategorií.

Svůj další vývoj popsal ve své přednášce v roce 1970, když uvedl, že mezi teorií univerzálních algeber a klasickými oblastmi obecných algeber existuje dosud nezúrodněný prostor. Výzkum se zaměřil jen několik izolovaných míst, více či méně náhodných. Předpověděl vznik nových objektů studia a nových teorií. Tvrdil, že zastavit tento proces je nejen nemožné, ale bylo by značně nerozumné.

Kuroš kromě práce s univerzitními studenty připravil řadu populárních přednášek pro školní mládež. Dvakrát zorganizoval olympiádu Moskevské univerzity pro školní matematiku. Pracoval také v Moskevské matematické společnosti.

V roce 1931, když byl ještě asistentem, byl přijat do Moskevské matematické společnosti a v roce 1933 byl zvolen do jejího vedení, přestože přednášel v té době pouze jeden rok. V té době měl ve Společnosti významnou přednášku o fundamentálních trendech v teorii nekonečných grup. Během let 1943 až 1948 Kuroš pracoval ve Společnosti jako správce její knihovny a od roku 1948 pak trvale pracoval ve vedení Společnosti. Šest let pak byl viceprezidentem společnosti.
 

Edmund Landau podal první systematickou prezentaci analytické teorie čísel a napsal důležité práce o teorii analytických funkcí jedné proměnné.

Landau navštěvoval francouzské lyceum v Berlíně a absolvoval v 16 letech, což bylo o dva roky dříve, než bylo běžné. Poté studoval matematiku na Univerzitě v Berlíně. Jeho doktorandskou práci vedl Frobenius a Landau získal doktorát v roce 1899 za práci o teorii čísel. Landau se zajímal o matematické záhady. Ještě než získal doktorát, napsal dvě knihy o matematických problémech šachové hry.

Svoji habilitační práci o teorii čísel dokončil v roce 1901, dva roky po získání doktorátu.

V letech 1899 až 1909 přednášel na Univerzitě v Berlíně. Během tohoto období napsal řadu publikací. Do roku 1904 napsal téměř třicet prací. Přednášel jak základní kursy, tak zejména o teorii čísel, o základech matematiky, iracionálních číslech a o teorii množin.

V roce 1909 získal místo v Göttingenu, které před ním zastával Minkowski. Jeho kolegy se stali Hilbert a Klein, který odešel v roce 1913. Na Kleinovo místo se dlouho hledal trvalý nástupce. Carathéodory toto místo zastával méně než tři roky, po něm krátce nastoupil Hecke, který odešel v roce 1919. Landau se pokoušel na toto místo prosadit Schura, ale jmenován byl Courant.

Landau pracoval v Göttingenu až do roku 1933, kdy ho nacisté donutili, aby se svého místa vzdal. Vůdce studentů Teichmüller zorganizoval bojkot Landauových přednášek. Landau záhy opustil Německo a nějakou dobu pracoval v Cambridge a v Holandsku.

Landau se zabýval zejména analytickou teorií čísel a také rozdělením prvočísel. V roce 1903 dokázal větu o prvočíslech, která byl jednodušší než důkaz, který v roce 1896 podali Vallée Poussin a Hadamard.

V roce 1909 vytvořil první systematickou prezentaci analytické teorie čísel. Napsal také důležité práce o teorii analytických funkcí jedné proměnné.

Landau celkem publikoval více než 250 článků o teorii čísel, které významně ovlivnily vývoj tohoto oboru.
 

Lev Davidovič Landau studoval na Univerzitě v Baku fyziku a chemii. V roce 1924 přešel na Leningradskou státní univerzitu, kterou absolvoval v roce 1927. Pak pokračoval ve výzkumu na Leningradském Fyzikálně technickém ústavu.

V roce 1929 Landau odcestoval do Göttingenu, Lipska (Leipzig) a do Kodaně (Copenhagen), kde pracoval v Ústavu Nielse Bohra pro teoretickou fyziku. Považoval se proto za žáka Nielse Bohra, protože toto studium významně ovlivnilo směr jeho práce.

V roce 1932 se Landau stal vedoucím Oddělení teorie na Ukrajinském technickém ústavu v Charkově. V roce 1935 se stal vedoucím Fyzikálního oddělení na Charkovské státní univerzitě. Landau brzy v Charkově založil svoji školu, která se stala střediskem teoretické fyziky v Sovětském svazu.

V roce 1937 Landau odešel do Moskvy, kde se stal vedoucím Oddělení teorie Fyzikálního ústavu Akademie věd.

Landau pracoval v oblasti fyziky nízkých teplot, atomové a jaderné fyziky a fyziky plazmatu. Landau vysvětlil příčiny, proč se kapalné hélium stává supratekutým a v roce 1962 obdržel za svoji práci Nobelovu cenu za fyziku.

V roce 1962 měl Landau vážnou dopravní nehodu, po níž byl šest týdnů v bezvědomí. Několikrát lékaři konstatovali klinickou smrt. Landau se ale z bezvědomí probral, ale již se nemohl věnovat tvůrčí práci. Zemřel o šest let později.

- pokračování -