1. Úvodem
Žijeme v prostoru a čase. Pro kosmology tento fakt souvisí s některými fundamentálními a dosud nevyřešenými otázkami, z nichž některé mají také filozofický a náboženský dopad:
Autoři článku [X1] se pokusili popsat základy moderní matematické kosmologie způsobem vhodným pro neodborníky nebo studenty, kteří chtějí získat základní orientaci ve výzkumu této fascinující oblasti vědy, která leží na hranici mezi aplikovanou matematikou a teoretickou fyzikou. Představili proto matematickou kosmologii ze široké perspektivy.
Ve druhé části svého článku autoři vysvětlili základní principy tvorby kosmologických modelů vesmíru. Modelování vesmíru představuje určitou výzvu pro aplikované matematiky a teoretické fyziky, protože se odlišuje od jiných matematických modelů fyzikálních jevů. Ve třetí části se autoři zabývají samotnou kosmologií. Čtvrtá část obsahuje přehled základních nevyřešených problémů matematické kosmologie a popisuje dnes používané metody a některé nové, které by mohly vést k pokroku. Pátá část obsahuje budoucí perspektivy matematické kosmologie.
2. Principy kosmologického modelování
Modelování vesmíru na rozdíl od modelování jiných fyzikálních systémů je ojedinělým procesem, který se svojí povahou a rozsahem odlišuje od modelování v matematické fyzice. Tento proces má dva základní kroky. Prvním krokem je vytvoření teorie a druhým pak je zkoumání a ověřování souladu této teorie s pozorováním. Tyto dva kroky zahrnují následující základní objekty a metody:
2.1. Prostoročas
Následující přehled typů prostoročasů je uspořádán podle klesajícího stupně jejich přesné symetrie:
G1 a G2 jsou grupu symetrií (kde indexy představují počet Killingových vektorů) příslušné prostoročasové variety. Grupa G2 je větší než grupa G1 a v důsledku toho je prostoročas typu G2 více symetrický než prostoročas typu G1. V určitém smyslu prostoročas s menší symetrií obsahuje jako speciální případ všechny prostoročasy s vyššími symetriemi. Uvedený seznam shora dolů obsahuje stále obecnější prostoročasy. Prostoročasy uvedené na počátku seznamu nelze považovat za modely reálného vesmíru, protože obsahují určité přesné symetrie. Mají však zásadní význam pro teoretické studium, protože čím vyšší symetrii prostoročas má, tím jednodušší rovnice popisují jeho dynamiku. Na druhé straně obecné prostoročasy, které se používají pro modelování reálného vesmíru, žádnou ze symetrií výše uvedených prostoročasů neobsahují.
Prvních pět typů prostoročasů je vytvořeno pomocí určité grupy transformací, která jistým způsobem působí na varietu prostoročasu a tím vytváří množinu bodů prostoročasu (akce grupy na varietě se pak nazývá transitivní). Dimenze grupy a způsoby, jimiž grupa na varietu působí, určují počet odpovídajících prostoročasů daného typu.
2.2. Teorie gravitace
Za určitých podmínek obecná teorie relativity vede k singularitám, které nesprávně nebo neadekvátně popisují "pozorované" vlastnosti vesmíru ve velmi malých měřítcích nebo při velmi vysokých energiích. Z těchto důvodů dochází ke snahám o rozšíření obecné teorie relativity na teorii gravitace v mikroskopickém měřítku. Následující přehled obsahuje některé takové teorie:
Jak však uvádí Brian Green ve své vynikající populárně vědecké knize "The Elegant Universe", která v češtině vyšla pod názvem "Elegantní vesmír", zřejmě nejvýznamnějším milníkem pro superstrunové teorie by bylo potvrzení existence supersymetrie nalezením supersymetrických partnerů částic.
Pokud jste uvedenou knihu ještě nečetli, nelze než doporučit. Pečlivý, svěží a v řadě míst i humorný překlad Luboše Motla vás snadno provede i místy, která jsou možná obtížnější k pochopení. Kniha vás zavede do fascinujících oblastí současné teoretické fyziky.
Základní metodou pro konstrukci a porovnávání různých teorií gravitace je princip nejmenší akce, který je znám z klasické mechaniky. Podle tohoto principu každý mechanický systém lze charakterizovat určitou funkcí zobecněných souřadnic a jejich derivací, která se nazývá Lagrangián. Integrál této funkce podle času mezi dvěma časovými okamžiky se nazývá akce. Požaduje se, aby tento integrál byl minimální. Problém nejmenší akce se řeší variačními metodami, které vedou k diferenciálním rovnicím.
Princip nejmenší akce se stal základem moderní teoretické fyziky a v podstatě všechny teorie gravitace lze popsat tímto principem. Teorie gravitace s derivacemi vyšších řádů rozšiřuje obecnou teorii relativity přidáním dalších členů ve funkcionálu gravitační akce (funkce definované na prostoru metrik). Tyto členy obsahují vyšší mocniny invariantů křivosti. Skalárně tensorové teorie tvrdí, že gravitační pole je přenášeno skalárním polem doplněným k metrice prostoročasu. Nejjednodušší teorií tohoto typu je Bransova-Dickeova teorie. Tato třída gravitačních teorií je značně široká a zahrnuje v sobě také některé superstrunové teorie jako speciální případ. Od jisté doby je známo, že mezi teorií gravitace s vyššími derivacemi, skalárně tensorovou teorií a obecnou teorií relativity existují jisté konformní "duality". Nedávno byly objeveny duality mezi různými superstrunovými teoriemi a teoriemi supergravitace, na jejichž základě se teoretikové domnívají, že musí existovat ještě obecnější teorie, M-teorie, která by obsahovala všechny předchozí teorie jako speciální případy.
2.2. Hmotná pole
Mezi hmotná pole, která mohla sehrávat důležitou úlohu různých fázích vývoje vesmíru, patří následující pole:
Nyní se můžeme podívat, jak moderní kosmologové sestavují své modely vesmíru z modelů prostoročasu, teorií gravitace a hmotných polí, aby vytvořili předmět svého studia, kosmologii.
3. Kosmologie
Autoři článku s nadsázkou uvádějí, že kosmologický model se vytváří výběrem některého typu prostoročasu, některé teorie gravitace a jednoho nebo více typů hmotných polí. Tyto komponenty se vzájemně spojí principem nejmenší akce. Pozorovaná a měřená fakta se pak porovnávají s důsledky použití variačního principu na takto sestavený model. Kosmologii tedy tvoří kosmologický model (nebo modely) a pozorování.
Každý kosmologický model lze tedy zhruba charakterizovat jako trojici (prostoročas | teorie gravitace | hmotné pole). Nejjednodušším a nejlépe prostudovaným kosmologickým modelem je model, který je tvořen Friedmannovými-Robertsonovými-Walkerovými prostoročasy (FRW), obecnou teorií relativity a kapalinou jako hmotným polem. Tento model se dnes obvykle označuje jako "relativistická kosmologie". Dnes kosmologové většinou studují následující třídy kosmologií:
Další otázkou, související také s filozofií, je problém, že neexistuje jediná teorie popisující všechny fáze vývoje vesmíru. Každá kosmologie popisuje jen určitou fázi vývoje vesmíru, ale v jiných fázích ztrácí svoji platnost. Problém kosmologické koheze spočívá ve snaze spojit různé kosmologie do jediného konzistentního rámce, kohezivní kosmologie, která byla v souladu s pozorováním. Například předpokládejme, že kosmologický model (FWR | GR | kapalina) platí po Planckově čase, zatímco model (Bianchi | M-teorie | vakuum) platí před Planckovým časem. Problém kosmologické koheze v tomto případě spočívá spojit fyzikálně smysluplná řešení těchto dvou kosmologií do jediné kohezivní teorie, která by popisovala vývoj vesmíru od jeho počátků až do jeho konce a přitom byla v souladu s pozorováním.
Problém koheze vzniká mezi různými kosmologiemi, jejichž řešení byla více či méně ověřena pozorováním. Avšak první krok při studiu určité třídy kosmologií spočívá ve vývoji dobře definované kosmologie, která by řešila co nejvíce problémů. Některé z těchto problémů jsou popsány v následující části.
4. Kosmologické problémy
Současná kosmologie stojí před řadou zásadních problémů, které jsou předmětem intenzivního studia a vývoje nových modelů.
4.1. Problém singularity
Problém singularity je patrně nejdůležitějším problémem, před nímž stojí každý kosmologický model. Tento problém určuje rozsah platnosti každé kosmologie a samozřejmě odpovídající teorie gravitace. Tyto dvě komponenty, konkrétně existence singularit a jejich struktura a podstata, jsou velmi odlišné a dokonce mohou sehrávat navzájem komplementární roli při rozhodování konečného osudu určité kosmologie.
V kosmologii singularitou se obvykle rozumí místo nebo okamžik, kdy některé fyzikální veličiny, jako je křivost prostoročasu, hustota, teplota hmotných polí, nabývají nekonečné hodnoty nebo jsou nespojité. Kosmologické singularity souvisejí s nekonečnými hodnotami nebo póly funkcí. Proto nepřekvapuje, že o struktuře a povaze singularit běžnými metodami topologie nebo geometrie lze říci jen velmi málo. V obecné teorii relativity singularity představují konec světočar, bod nekonečné křivosti. Ve většině případů o povaze singularity nelze nic říci.
Povaha singularit je obvykle pro určité třídy kosmologií studována pomocí metod dynamických systémů. První tři typy prostoročasů ve výše uvedeném seznamu obvykle vedou k obyčejným diferenciálním rovnicím, zatímco zbývající typy prostoročasů vedou k soustavám parciálních diferenciálních rovnic. Použitím metod kvalitativní teorie diferenciálních rovnic (teorie dynamických systémů) kosmologové mohou studovat chování modelů v blízkosti singularit. V nejobecnějším případě, kdy Einsteinovy rovnice pole vedou k obyčejným diferenciálním rovnicím, se v okolí singulárních bodů objevují velmi složité struktury. Otázkou zůstává, zda tyto složité struktury jsou přirozenou vlastností stále obecnějších modelů nebo naopak vymizí v důsledku stále menšího počtu použitých symetrií.
Speciálním problémem kosmologie je problém kolapsu vesmíru v budoucnosti. Samozřejmě obecně lze snadno vytvořit příklady, kdy uzavřený vesmír je vyplněn zvláštními hmotnými poli, která zabrání kolapsu vesmíru v budoucnosti. Otázkou ovšem je, za jakých podmínek uzavřené kosmologie obsahují finální singularitu v budoucnosti. Tento čistě klasický problém se odráží také v inflační a kvantové kosmologii, které by měly rozhodnout, zda vesmír, který prošel inflační fází, může v budoucnu zkolabovat.
4.2. Problém topologie vesmíru
Problém topologie vesmíru má dva aspekty. První aspekt se týká pozorování, která by měla určit, jaký je tvar pozorované části vesmíru, a jaké by byly pozorovatelné důsledky faktu, že topologie vesmíru by byla jiná, než dosud předpokládáme. Např. existuje řada topologií (euklidovská, prstenec), které lze popsat rovinnou metrikou. V současné době přitahují značnou pozornost také kosmologické modely s prostoročasovou varietou, která má hyperbolickou geometrii. Možná topologie vesmíru není triviální, ale současně není příliš složitá.
Druhý aspekt je teoretický, s řadou důsledků pro různé části obecného kosmologického problému. Přestože Einsteinovy rovnice popisují pouze vývoj geometrie prostoročasu (jeho metriky) a topologii množiny počátečních podmínek ponechávají pevnou (avšak libovolnou), během vývoje vesmíru existují případy (jako je vznik singularit v budoucnosti), kdy se očekává, že topologie množiny počátečních podmínek se bude vyvíjet odlišně. Tento problém zřejmě těsně souvisí s klasifikací trojrozměrných variet (v případě množin počátečních podmínek).
4.3. Problém asymptotických stavů
Přestože podrobný popis dynamického chování kosmologií ve velkých a malých časových měřítcích s určitou teorií gravitace a s určitými hmotnými poli je nesmírně důležitý, prvním testem dané kosmologie je existence nebo neexistence singularit.
Problém existence singularit v určité kosmologii lze řešit nalezením partikulárních přesných řešení, popisujících jisté modely uvnitř dané kosmologie. Přestože se podařilo nalézt řadu různých řešení určitých kosmologií, značným problémem zůstává jejich spojení do jediného koherentního celku.
Dynamické systémy, používané některými autory, vedou ke slibným výsledkům jen tehdy, pokud se nepokoušíme nalézt globální strukturu časoprostoru určité kosmologie. Důležitým případem asymptotického problému je tzv. problém isotropizace (domněnka, že "vesmír nemá vlasy") Tato domněnka je analogií věty, kterou dokázali ve svých pracích Brandon Carter, Stephen Hawking a David C. Robinson. Po dokončení gravitačního kolapsu, tj. po utvoření horizontu událostí a po vymizení všech gravitačních a elektro- magnetických vln, je vnější elektromagnetické a gravitační pole stacionární černé díry ve vakuu zcela určeno celkovou hmotností M, elektrickým nábojem Q a vlastním rotačním momentem J, bez ohledu jakým způsobem a z jaké hmoty černá díra vznikla. Problém isotropizace spočívá v otázce, jak by se vesmír, který mohl být v počáteční fázi svého vývoje ve složitějším stavu (popsaném některým složitějším modelem), dostal do současného isotropního stavu, který dnes pozorujeme. Při studiu tohoto problému se osvědčují zejména ústřední dynamické koncepty atraktorů a množin přitahování atraktorů.
Vývoj libovolného dynamického systému lze znázornit a popsat pomocí abstraktního prostoru stavů, který se nazývá fázový prostor. Jestliže ponecháme systém se vyvíjet, vzniká ve fázovém prostoru křivka (pokud je čas spojitý) nebo množina bodů stavů (pokud je čas diskrétní). Pokud systém ponecháme se vyvíjet dostatečně dlouho, křivka ve fázovém prostoru zvýrazňuje určitou strukturu, která se nazývá atraktor. Množina stavů, které vedou ke stejnému atraktoru, se nazývá oblast přitahování atraktoru. Pokud je atraktor tvořen uzavřenou hranicí, pak lze chování systému předpovídat na libovolně dlouhou dobu. Chaotické chování dává naopak atraktor s neuzavřenou hranicí. U nechaotických atraktorů jsou body, které byly v určité době blízko sebe, blízko sebe trvale, tedy křivky příliš nedivergují. Zhruba řečeno, chaos je nepředvídatelné chování dynamického deterministického systému v dlouhém časovém úseku vzhledem k počátečním podmínkám. Je však nutné zdůraznit, že chování dynamického deterministického systému lze přesně předvídat za předpokladu, že přesně známe počáteční podmínky systému. Příčinou dlouhodobé nepředvídatelnosti je již zmíněná citlivost (citlivá závislost) vzhledem k počátečním podmínkám.
Co se chápe pod atraktory určité kosmologie? Je možné, aby atraktory jedné kosmologie nějak souvisely s atraktory jiné kosmologie? Odpovědi na tyto otázky pomohou objasnit, jak se mohou kosmologie určité třídy přeměnit v kosmologie jiné třídy a v jakém smyslu kosmologie různých tříd mohou souviset. Globální atraktor kosmologie je definován jako kosmologie, k níž jsou přitahovány všechny strukturně blízké kosmologie dané třídy. Pokud by se podařilo ukázat, jak vzájemně souvisí globální atraktory různých tříd kosmologií, bylo by možno přesně přiřadit určité třídy kosmologií určitým fázím vývoje vesmíru. V důsledku toho by bylo možno propojit jednotlivé navzájem odlišné třídy kosmologií.
Dalším problémem je zjistit, zda chaotické nepředpověditelné dynamické chování je skutečně vlastností klasické kosmologické dynamiky. Základní dichotomie nelineární dynamiky, konkrétně integrabilita versus neintegrabilita a chaos, lze jistě nalézt také v matematické kosmologii. Pouze nejjednodušší kosmologie lze převést do dvourozměrných dynamických systémů. Většina těchto kosmologií má dimenzi vyšší než čtyři. Proto obecně očekáváme, že kosmologie budou vykazovat složité dynamické chování. Studium tohoto problému je předmětem moderní matematické kosmologie. Pojem kosmologického atraktoru sehrává také jistou zvláštní roli v disipativních kosmologiích, v nichž se obecně očekávají podivné atraktory. Jejich existenci však nelze spolehlivě vyloučit ani ve velmi symetrických kosmologiích.
Nedávno vyvinutá metoda pro konstrukci fyzikálně zajímavých kosmologických řešení, pomocí níž lze rozhodnout, zda určitá kosmologie je integrovatelná bez řešení diferenciálních rovnic, je založena na skvělé myšlence dvou matematiků v minulosti, S. Kowalevského a P. Painlevéa. Tito matematikové přišli na to, že místo snahy řešit diferenciální rovnice, které popisují daný problém, je jednodušší rozhodnout, zda příslušný systém je integrovatelný. Odpověď leží v komplexní rovině a v typu singularit těchto rovnic, které se mohou při analytickém prodloužení vyskytovat v komplexní časové rovině. Kowalevski objevil nové případy a prostudoval řadu integrovatelných případů Eulerových-Poissonových rovnic, které souvisejí s principem nejmenší akce. Analyzoval tyto rovnice v případech, kdy jedinými odstranitelnými singularitami, které tyto rovnice mohou mít v komplexní rovině, jsou póly.
Tato Painlevéova vlastnost se stala důležitým nástrojem při studiu problému integrability. Pokud tato vlastnost platí, pak všechna řešení leží v jednoduché Riemannově ploše. Složitější chování nastává, pokud singularity analyticky prodlouženého řešení nejsou póly, ale mají formu odstranitelných okrajových bodů nebo dokonce podstatných singularit. Obecná domněnka integrability tvrdí, že pokud systém má Painlevéovu vlastnost, pak je integrovatelný. Přestože není dosud plně dokázána, tato metoda byla úspěšně využita u řady systémů matematické fyziky a speciálně v matematické kosmologii. Příčina, proč tato metoda zřejmě funguje, spočívá v jejím spojení s algebraickou geometrií a teorií eliptických křivek. Někteří proto doufají, že složité chování v blízkosti singularity Velkého třesku v řadě kosmologií bude možno vysvětlit touto metodou. Proto studují analyticky prodloužená řešení reálných systémů v blízkosti singularit. Tento výzkum je dosud v počátcích, ale potenciálně nabízí nové výsledky v následujících letech.
4.4. Gravitační teorie vesmíru v počátečních fázích vývoje
Gravitační teorie vesmíru v počátečních fázích vývoje jsou velmi obtížným problémem a základem všech pokusů sestrojit realistickou kohezivní kosmologii. Je zcela evidentní, že výběr gravitační teorie pro danou kosmologii má zásadní význam. Po řadu let bylo známo, že obecnou teorii relativity nelze extrapolovat do počátečních fází vývoje rozpínajícího se vesmíru, který tato teorie předpovídá. Dosud žádná gravitační teorie se neobešla bez závažných problémů. V posledních letech se do popředí zájmu dostávaly různé gravitační teorie. V současné době největší zájem vzbuzuje M-teorie.
Jednou z možností, jak rozhodnout mezi různými kosmologiemi, je zjistit, jak se tyto kosmologie chovají, pokud zkoumáme stejné otázky. Tato metoda vede k popisu dynamických vlastností celé třídy možných kosmologií a stává se tak Svatým Grálem moderní matematické kosmologie. Abychom dobře porozuměli přesným vztahům mezi různými kosmologiemi, musíme využít možností kosmologických atraktorů.
Jedním z principů při hledání "správné teorie", která úspěšně popíše počáteční fáze vývoje vesmíru, je princip symetrie. Která kosmologie je nejvíce symetrická? Otázka zní ovšem jinak: Co znamená "nejvíce symetrická"? Pojem "Lieovy symetrie" je přirozený, pokud se použije na systém diferenciálních rovnic. Souvisí s fundamentálními invariantními veličinami, které se zachovávají během vývoje systému podle věty Noetherové.
Emmy Ammalie Noether v roce 1919 ve svém článku "Invariante Variationsprobleme" podala důkaz, že zákony zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti plynou ze symetrie prostoru a času. Symetrie (invariance) přírodních dějů vůči transformacím prostoru a času má za následek zákon zachování nějaké fyzikální veličiny. Konkrétně Emmy Noether dokázala tři závěry:
5. Přehled současné kosmologie
Strategie je nyní jasná. Studium všech uvedených problémů v rámci každé možné kosmologie snad umožní nalézt realistickou kosmologii.
Fundamentální problémy matematické kosmologie, konkrétně problém singularit, problém topologie, asymptotický problém, problém výběru gravitační teorie a určení realistické kosmologie počátečních fází vývoje vesmíru, vymezují matematickou kosmologii jako samostatný a důležitý obor na rozhraní matematiky a fyziky a tvoří zajímavou a rozvíjející se část matematické fyziky.
Nový směr výzkumu problému singularit souvisí s rozvinutou teorií singularit diferencovatelných zobrazení, kterou vypracoval Arnold a jeho spolupracovníci. Obvyklé věty o singularitách dokazují existenci třídy neúplných geodetických křivek. Objasnění podstaty singularit snad vysvětlí význam takových geodetik. Arnoldova teorie popisuje různé typy singularit, zejména těch, které se vyskytují spíše v důsledku vymizení určitých derivací v Jacobiánech než jako nekonečna nebo póly. Je možné, že singularity v obecné teorii relativity jsou právě tohoto typu? Odpověď na tuto otázku dosud neznáme.
Od 70. let 20. století se dosáhlo řady výsledků při řešení asymptotického problému použitím kvalitativní teorie diferenciálních rovnic. Tato práce se zobecnila přinejmenším ve dvou směrech. Většina analýzy se soustředila na rovnovážná řešení a jejich stabilitu. Teorie bifurkací otevřela novou cestu pro spojení zdánlivě nesouvisejících systémů jako celého systému s parametry, jako je např. třída modelů (Bianchi | GR | vakuum).
Za druhé, rovnice třídy modelů (G2 | GR | vakuum) se velmi podobají rovnicím třídy sféricky symetrických vlnových zobrazení. Existence a regularita výsledků takového systému je dobře popsána v literatuře. Teorie parciálních diferenciálních rovnic dosud v matematické fyzice nebyla systematicky použita, dokud nedošlo k rozvoji matematické kosmologie. Globální informaci o prostorech řešení některých nehomogenních kosmologií lze získat jejich zápisem v podobě nekonečněrozměrných dynamických systémů. Některé práce v tomto směru se již objevily.
Většina dosud publikovaných prací o kosmologii počátečních fází vývoje vesmíru se soustřeďuje na první dva typy prostoročasů z výše uvedené hierarchie. Dosud není známo, jakou souvislost mají některé důležité objevy (jako je inflace) s kosmologiemi "nižší úrovně" (tj. (FRW | GR, HDG, ST, supestrunové teorie, membránové teorie)). Nevíme, zda tyto objevy jsou skutečnými vlastnostmi obecné dynamiky nebo zda jsou pouhými artefakty původního vysokého stupně přesné symetrie. Zde tkví další důvod, proč jsou studovány kosmologické atraktory.
Obecnými prostoročasy, avšak v asymptotickém případě obecné teorie relativity, se zabývala práce Christodouloua a Klainermana (Annals of Mathematics Studies, vol. 41, Princeton University Press, 1993), která podala důkaz globální stability Minkowského prostoročasu. Podobné výsledky takové obecnosti v jiné kosmologii dosud neexistují. Co by tento obecný výsledek mohl znamenat pro platnost současných kosmologických představ (inflace, vlastnosti atraktoru známých typů prostoročasu) je pouze předmětem různých domněnek.
Naše pokusy simulovat vesmír pomocí matematické a teoretické kosmologie povedou ke spolehlivým výsledkům jen v případě, že budou vycházet z obecných kosmologií nebo se nám podaří ukázat, které vlastnosti vysoce symetrických (a proto nefyzikálních) modelů mohly existovat na počátku a poté se vyvíjet do dnešního obecného asymetrického stavu. Pokroku dosáhneme, jestliže se nám podaří obejít potíže analýzou parciálních diferenciálních rovnic nehomogenních modelů a ukážeme, jak navzájem souvisejí globální atraktory různých kosmologií. Získáme tak jasnější představu o obecných strukturách kosmologického fázového prostoru. Toto je jediný způsob, jak pozorovaný homogenní vesmír zdůvodnit matematicky a postoupit v hierarchii kosmologických modelů. Na druhé straně jedinečné vlastnosti přírody nelze popsat pouze obecnými procesy a cesta k jejímu pochopení bude velmi dlouhá a trnitá.
Literatura a odkazy:
[X1]Spiros Cotsakis and Peter Leach: Is Nature Generic? 14 Feb 2001. GEODYSYC Department of Mathematics University of the Aegean Karlovassi 83 200, Greece. arXiv:gr-qc/0101077 e-Print archive. Los Alamos National Laboratory. US National Science Foundation.
[X2]Peter Woit: String Theory: An Evaluation. February 16, 2001 Department of Mathematics, Columbia University.
[X3]Nina Byers: E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws. Physics Department, UCLA, Los Angeles, CA 90024. July 16, 1998. UCLA/98/TEP/20 hep-th/9807044
[1] Coveney, Peter; Highfield, Roger: Šíp času. Nakl. Oldag, Ostrava 1995, ISBN: 80-85954-08-7. z angl. orig.: The Arrow of Time, WH Allen (Virgin Publishing Ltd.), Great Britain, 1990.
[2] Hawking, Stephen W.: Stručná historie času. Mladá fronta, Praha 1991. (z angl. orig. A Brief History of Time. From The Big Bang to Black Holes, Bantam Books Inc., New York 1988)
[3] Green, Brian: Elegantní vesmír. Mladá fronta, Praha 2001.
ISBN: 80-204-0882-7. z angl. orig.: The Elegant Universe. Superstrings,
Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory", W.W. Norton
& Company, Inc., New York. překlad: Luboš Motl.