Literatura:

[X1]Turnbull University of St. Andrews.

Carl Friedrich Gauss se zabýval řadou témat matematiky a fyziky, jako byla teorie čísel, analýza, diferenciální geometrie, geodézie, magnetismus, astronomie a optika. Jeho práce měly značný vliv na další rozvoj řady oblastí.

V sedmi letech Carl Friedrich nastoupil do základní školy. Jeho schopnosti se projevily záhy. Učitel Buttner a jeho asistent Martin Bartels byly velmi překvapeni, když malý Gauss součet čísel od jedné do sta vypočetl úvahou, že 1+100 je 101, 2+99 je také 101, atd. Těchto dvojic je celkem 50.

V roce 1788 Gauss začal studovat na gymnáziu s pomocí svých učitelů Buttnera a Bartelse, kteří ho vyučovali němčinu a latinu. Když Gauss dostal stipendium, začal studovat v roce 1792 na škole Brunswick Collegium Carolinum. Na této škole Gauss nezávisle objevil Bodeův zákon, binomickou větu, aritmetický a geometrický průměr, zákon kvadratické reciprocity a větu o prvočíslech.

V roce 1795 Gauss odešel studovat z Brunswicku na Universitu v Göttingenu. Jeho učitelem byl Kaestner, kterého Gauss často zesměšnil. Gauss měl mezi studenty jediného přítele, jímž byl Farkas Bolyai. Poprvé se s ním setkal v roce 1799 a dopisoval si s ním řadu let.

Gauss opustil Göttingen v roce 1798 bez diplomu, ale v té době udělal jeden ze svých nejdůležitějších objevů. Podařilo se mu zkonstruovat pravidelný sedmnáctiúhelník, což byl největší objev v této oblasti od dob starověkého Řecka. Konstrukce je popsána v části VII jeho práce "Disquisitiones Arithmeticae".

Gauss se vrátil do Brunswicku, kde v roce 1799 studium úspěšně ukončil. Jeho stipendium bylo prodlouženo a Gauss mohl vypracovat svoji doktorskou disertaci na Universitě v Helmstedtu. Zde se seznámil s Pfaffem, který byl jeho poradcem. Gaussova disertační práce se zabývala základní větou algebry.

Díky stipendiu si Gauss nemusel hledat práci a mohl se věnovat výhradně matematice. V létě 1801 publikoval svoji knihu "Disquisitiones Arithmeticae", která měla sedm částí, ale pouze poslední část se zabývala teorií čísel.

V červnu 1801 astronom Zach, s nímž se Gauss seznámil dva nebo tři roky předtím, publikoval dráhové elementy planetky Ceres, kterou objevil italský astronom G. Piazzi 1. ledna 1801. Piazzi byl schopen pozorovat jen devět stupňů celé dráhy, než planetka zmizela za Sluncem. Zach publikoval několik předpovědí dráhy planetky Ceres, včetně dráhy navrhované Gaussem, která se od ostatních velmi odlišovala. Když Zach 7. prosince 1801 znovu planetku Ceres objevil, byla překvapivě téměř přesně tam, kde Gauss předpovídal. Gauss pro výpočet její dráhy použil svoji aproximační metodu nejmenších čtverců.

V červnu 1802 Gauss navštívil Olberse, který v březnu téhož roku objevil planetku Pallas a Gauss vypočetl její dráhu. Olbers požádal Gausse, aby se stal ředitelem nově plánované observatoře v Göttingenu, ale k tomu nedošlo. Gauss si začal dopisovat s Besselem, kterého navštívil až v roce 1825.

9. října 1805 se Gauss oženil s Johannou Ostoffovou. Zpočátku měl Gauss šťastný rodinný život až do doby, kdy byl vévoda z Brunswicku, který Gaussovi poskytoval stipendium, zabit v pruské armádě. Koncem roku 1807 Gauss opustil Brunswick a přijal funkci ředitele observatoře v Göttingenu.

V roce 1808 zemřel Gaussův otec a o rok později zemřela Gaussova manželka Johanna při porodu jeho druhého syna, který brzy nato zemřel. Gauss byl zdrcen a napsal Olbersovi, aby mu umožnil na několik týdnů návrat domů.

Následujícího roku se Gauss znovu oženil z Minnou, který byla dobrou přítelkyní jeho zemřelé manželky a vstoupila do manželství i přes to, že Gauss měl tři malé děti.

Osobní tragédie nikdy Gaussovu práci nenarušily. Gauss v roce 1809 publikoval svoji druhou knihu "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium", dva svazky o pohybu nebeských těles. První svazek se zabývá diferenciálními rovnicemi, které popisují části eliptických drah. Druhý svazek se zabývá odhady a zpřesňováním odhadů drah planet. Teoretické astronomii Gauss přispíval až do roku 1817, ale pozorování rád prováděl až do svých 70 let.

Většinu času Gauss strávil v nové observatoři, která byla dokončena v roce 1816. Přitom si ale našel čas na jiné problémy. Publikoval řadu prací: práci o řadách a úvod k hypergeometrické funkci "Disquisitiones generales circa seriem infinitam", práci o aproximačních metodách numerické integrace "Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi", práci o metodách statistických odhadů "Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen" a konečně práci "Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova tractata". K této poslední práci Gausse inspirovaly geodetické problémy a v principu se zabývala teorií potenciálu. Od 20. let 19. století Gausse začala stále více zajímat geodézie.

V roce 1818 byl Gauss požádán o provedení geodetického mapování ve státě Hannover tak, aby navazovalo na existující dánskou síť. Gauss byl tím potěšen a měření, která provedl během dne pak v noci vyhodnocoval díky své neobyčejné mentální kapacitě pro výpočty. Své metody pak popsal Schumacherovi, Olbersovi a Besselovi.

Kvůli mapování Gauss vymyslel metodu heliotrop, při níž jsou sluneční paprsky odráženy pomocí zrcadel a sestavil malý teleskop pro zaměřování. Gauss nebyl spokojen s nepřesnou základní sítí čar a s nedostatečnou triangulační sítí. Často navrhoval různá zlepšení a na toto téma v letech 1820 až 1830 napsal 70 článků.

V roce 1822 získal Gauss cenu Kodaňské university za svoji práci "Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova tractata" a za myšlenku mapování jednoho povrchu na druhý tak, že jsou si podobné ve svých nejmenších částech. Tato práce byla publikována v roce 1825 a na ní navázala pak mnohem později publikace "Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie" (1843, 1846). Práce "Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae" (1823) byla věnována matematické statistice a jejím aplikacím (1828).

Od počátku 19. století se Gauss také zabýval otázkou možné existence neeuklidovské geometrie. O tomto tématu diskutoval s Farkasem Bolyaiem a korespondoval s Gerlingem a Schumachetem. Ve svém přehledu v roce 1816 se zabýval důkazy, které odvozují axióm rovnoběžek z jiných euklidovských axiómů, když se snažil prokázat existenci neeuklidovské geometrie. Gauss důvěřoval Schumacherovi, který mu řekl, že jeho reputace by utrpěla, pokud by mezi odbornou veřejností prohlásil, že věří v existenci takové geometrie.

V roce 1831 Farkas Bolyai zaslal Gaussovi práci svého syna Jánose Bolyaie o neeuklidovské geometrii.

O deset let později, když se Gauss dověděl o Lobačevského práci týkající se neeuklidovské geometrie, pochválil její "jedinečný geometrický charakter".

Gauss se velice zajímal o diferenciální geometrii a napsal o tomto tématu řadu článků. V roce 1828 publikoval na toto téma práci "Disquisitiones generales circa superficies curva". Tato práce vycházela z jeho geodetických znalostí, ale obsahuje také geometrické myšlenky, jako je Gaussova křivost. Práce také obsahuje známou Gaussovu větu "theorema egregium":
 

"Pokud lze nějakou oblast v E3 rozvinout (izometricky zobrazit) na jinou oblast v E3, pak hodnoty Gaussovy křivosti jsou v odpovídajících si bodech stejné".

 Období let 1817 až 1832 bylo pro Gausse mimořádně obtížné. V roce 1817 onemocněla jeho matka, zatímco jeho manželka a její rodina naléhaly, aby se odstěhoval s rodinou do Berlína. Bylo mu nabídnuto místo na Berlínské universitě a Minna a její rodina na Gausse naléhaly, aby místo přijal. Gauss ale nikdy neměl rád změny a rozhodl se zůstat v Göttingenu. V roce 1831 zemřela po dlouhé a těžké nemoci Gaussova druhá manželka Minna.

V roce 1831 Wilhelm Weber přijal po Tobiasi Mayerovi místo profesora fyziky na Universitě v Göttingenu. Gauss Webera znal od roku 1828 a jeho jmenování podporoval. Gauss před rokem 1831 publikoval několik prací o fyzice. Práce "Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik" obsahovala princip nejmenší akce. Práce "Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii" se zabývala přitažlivými silami. Tyto práce vycházely z Gaussovy teorie potenciálu, která se stala důležitou součástí fyziky. Gauss později věřil, že jeho teorie potenciálu a jeho metoda nejmenších čtverců představují živé spojení mezi vědou a přírodou.

V roce 1832 Gauss a Weber se začali zabývat teorií magnetismu Země poté, co se Alexander von Humboldt pokusil ve spolupráci s Gaussem zmapovat magnetické pole kolem Země. Gauss se o tento výzkum zajímal a o tomto problému napsal tři důležité práce: "Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata" (1832), "Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus" (1839) a "Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte" (1840). Všechny tyto se zabývaly teoriemi zemského magnetismu, včetně Poissonovy myšlenky, absolutního měření magnetické síly a empirické definice zemského magnetismu. Dirichletův princip byl uveden bez důkazu.

V práci "Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus" Gauss ukazuje, že existují pouze dva magnetické póly a pokouší se dokázat důležitou větu, která se týká určení intenzity horizontální komponenty magnetické síly v souvislosti s úhlem inklinace. Gauss použil pro výpočty Laplaceovu rovnici a zjistil tak polohu jižního magnetického pólu.

Humboldt sestavil kalendář pro pozorování magnetické deklinace. Ale jakmile byla jedna z nových Gaussových observatoří pro sledování magnetismu dostavěna, Gauss změnil řadu metod, které Humboldt navrhoval. Humboldt sice s tím nebyl příliš spokojen, ale Gauss získal přesnější výsledky s menší námahou.

Gauss a Weber po více než šest let spolupracovali. Společně objevili Kirchhoffovy zákony a postavili jednoduché telegrafní zařízení pro přenos zpráv na vzdálenost 5000 stop. Gauss se ale mnohem více zajímal o měření zemského magnetického pole. Tato jeho práce přinesla řadu konkrétních výsledků. Byl založen "Magnetischer Verein" a jeho časopis, byl publikován atlas zemského magnetismu. Gauss a Weber založili vlastní časopis, kde v letech 1836 až 1841 publikovali své vlastní výsledky.

V roce 1837 se Weber musel vrátit do Göttingenu poté, co se zapletl do politických sporů. Od té doby Gaussova aktivita klesala. Stále ještě sledoval vědecké objevy, ale již neměl chuť publikovat nové práce. Několikrát ještě spolupracoval z jinými matematiky, jako byl Eisenstein nebo Lobačevskij.

V letech 1845 až 1851 Gauss na Universitě v Göttingenu se snažil o podporu fondu pro vdovy. Tato práce mu dala praktické zkušenosti ve finančních otázkách.

Dva z posledních doktorandských studentů byli Moritz Cantor a Dedekind. Gauss v roce 1849 uvedl svoji jubilejní přednášku, padesát let poté, co získal diplom na Hemstedtově univerzitě. Z matematiků byli přítomni Jacobi a Dirichlet, ale Gauss dostal řadu zpráv a poděkování.

Od roku 1850 Gaussova práce byla většinou praktické povahy, ačkoliv se účastnil Riemannovy doktorské obhajoby. Jeho posledním známým vědeckým příspěvkem byla diskuse s Gerlingem o Foucaltově kyvadle v roce 1854. Naposledy byl veřejně viděn na otevření nové železnice mezi Hannoverem a Göttingenem. Jeho zdraví se zhoršovalo a Gauss zemřel ve spánku brzy ráno 23. února 1855.

Gibbsův otec se jmenoval také Josiah Willard Gibbs a byl profesorem náboženské literatury na Yaleské univerzitě. Gibbsova rodina pocházela z Warwickshire v Anglii a přestěhovala se do Bostonu v roce 1658.

Gibbs získal vzdělání na místní Hopkinsově střední škole. Gibbs se kvůli svému slabšímu zdraví a svým zájmům jen málo účastnil společenského života školy. V roce 1854 začal studovat na Yaleské univerzitě, kde získal ocenění za své výtečné výsledky v latině a matematice.

Na Yaleské univerzitě se Gibbs začal zabývat inženýrským studiem a psal práce, v nichž využíval geometrické metody. V roce 1863 na Yaleské univerzitě obdržel jako první ve Spojených státech doktorát inženýrství. Následující tři roky na Yaleské univerzitě přednášel, první dva roky přednášel latinu a třetí rok přírodní filozofii. Neměl nedostatek peněz, přestože jeho otec zemřel v roce 1861 a jeho matka zemřela o něco později. Gibbs a jeho dvě sestry zdědili dostatečné množství peněz.

V letech 1866 až 1869 Gibbs studoval v Evropě. Se svými sestrami strávil zimu na přelomu let 1866 a 1867 v Paříži, pak rok pobýval v Berlíně a roky 1868 a 1869 pobýval v Heidelbergu. V Heidelbergu jeho práci ovlivnili Kirchhoff a Helmholtz.

V červnu 1869 se Gibbs vrátil na Yaleskou univerzitu. V roce 1871 byl jmenován profesorem matematické fyziky. Crowther o něm napsal, že Gibbs byl ve svých metodách práce více evropský než americký vědec.

Jmenování profesorem se překvapivě uskutečnilo ještě dříve, než Gibbs publikoval nějakou vědeckou práci. Překvapivější bylo, že Gibbs svoji první práci publikoval až v roce 1873. Jen málo vědců publikovalo takovou přínosnou práci až ve věku, jako Gibbs.

V roce 1873 Gibbs publikoval dvě důležité práce, "Graphical Methods in the Thermodynamics of Fluids" (Grafické metody v termodynamice kapalin) a práci "A Method of Geometrical Representation of the Thermodynamic Properties of Substances by Means of Surfaces" (Metoda geometrické reprezentace termodynamických vlastností látek metodou povrchů). V roce 1876 Gibbs publikoval první část své nejvýznamnější práce "On the Equilibrium of Heterogeneous Substances" (O rovnováze heterogenních látek), jejíž druhou část publikoval v roce 1878.

První práce popisuje diagramy v termodynamice využívající jako souřadnice entropii a teplotu. Práce nebo teplo určitého cyklu pak odpovídá ploše určité části diagramu. Tato práce měla zásadní význam při konstrukci parních strojů.

Druhá práce rozšířila původní diagramy do tří rozměrů. Tato práce zaujala Jamese Clerka Maxwella natolik, že sestrojil třírozměrný model Gibbsovy termodynamické plochy a krátce před svou smrtí tento model zaslal Gibbsovi.

Třetí Gibbsova práce byla nejvýznamnější a zapsala se do historie chemie. Uplynula však řada let, než její význam vešel obecně ve známost. Příčinu lze hledat v její matematické formě a v přísných deduktivních odvozeních, což působilo problémy zejména studentům experimentální chemie, jichž se týkala nejvíce.

Gibbsova práce o vektorové analýze byla významným přínosem k rozvoji čisté matematiky. Nejprve byla publikována ve formě psaných poznámek pro jeho studenty v letech 1881 a 1884 a až v roce 1901 vyšla jako publikace. Gibbs využil v této práci Grassmannových myšlenek a vytvořil systém, který se snadněji aplikoval ve fyzice, než systém Hamiltonův.

Své vektorové metody Gibbs použil při určování dráhy komet na základě tří pozorování. Svojí metodou v roce 1880 určil dráhu Swiftovy komety s méně výpočty, než vyžadovala Gaussova metoda.

V letech 1882 až 1889 Gibbs publikoval pět článků týkajících se elektromagnetické teorie světla. Jeho práce o statistické mechanice vytvořila matematický rámec pro kvantovou teorii a pro Maxwellovy teorie elektromagnetického pole. Jeho poslední prací byla práce "Elementary Principles in Statistical Mechanics", v níž Gibbs velice krásným způsobem objasnil vznik statistické mechaniky.

S výjimkou tří let v Evropě Gibbs strávil celý svůj život v domě svého otce, který byl nedaleko školy, kterou Gibbs v mládí navštěvoval, a na Univerzitě, kde pracoval. Gibbs celý život působil v ústraní na Yaleské univerzitě, obklopen jen několika jeho studenty, bez bezprostředního přínosu k americké vědě, která teprve později rozpoznala jeho génia.

Americká matematická společnost věnovala Gibbsovi cyklus přednášek. V roce 1923 na výroční přednášce věnované Gibbsovi hovořili významní matematikové.

Hermann Grassman je dnes znám zejména díky vývoji obecného vektorového počtu.

Grassman přednášel od roku 1831 na Gymnáziu ve městě Stettin (dnešní Szczecin v Polsku) kromě let 1834 až 1836, kdy přednášel v Berlíně.

Grassmanovou nejdůležitější prací je práce z roku 1831 "Die lineale Ausdehnundslehre, ein neuer Zweig der Mathematik". V této práci rozvinul myšlenku algebry, v níž symboly reprezentují geometrické objekty, jako jsou body, přímky a roviny, a pracuje se s nimi pomocí určitých pravidel. Podprostory prostoru pak reprezentoval pomocí souřadnic, což později vedlo k myšlence bodovému (Grassmanova) zobrazení algebraické variety.

Grassman dále popsal vnější algebry. Na tuto práci navázal při studiu Hamiltonových kvaternionů v roce 1878 Clifford, který nahradil Grassmanova pravidla

p x p = 0, p x q = - q x p         pro p nerovno q

pravidly

p . p = 1, p . q = - q . p          pro p nerovno q

Cliffordovy algebry se dnes používají v teorii kvadratických forem a v relativistické kvantové teorii a s Grassmanovou vnější algebrou v diferenciální geometrii.

Grassmanovy metody byly jen pomalu přijaty. Motivovaly však práci Elie Cartana, který je využil při studiu diferenciálních forem a jejich aplikací v analýze a geometrii.

Grassmann se zabýval celou řadou jiných oborů, jako teorií elektřiny, barev, akustikou, lingvistikou a botanikou. Ve věku 53 let se přestal zabývat matematikou a začal se zajímat o sanskrt. Jeho sanskrtský slovník se dodnes široce používá.

Otec George Greena, který se jmenoval také George Green, byl pekařem v Nottinghamu. Poté, co začal pracovat jako pekař, oženil se v roce 1791 se Sarah Butlerovou, jejíž otec mu pomohl zakoupit vlastní pekařství v Wheatsheaf Yard v Nottinghamu. George a Sarah měli jednoho syna a jednu dceru. Datum narození George Greena není přesně známo. Byl pokřtěn 14. července 1793. Jeho sestra Ann se narodila o dva roky později v době, kdy pekařství začalo dobře prosperovat.

V září roku 1800 vypukl v Anglii hladomor. Ceny jídla byly vysoké a lidé neměli co jíst. Pekaři byli nuceni nakupovat mouku za tak vysoké ceny, že pečivo bylo pro běžné lidi nedostupné. Hladoví lidé útočili na pekařství ve snaze získat jídlo. George Green žádal starostu města o ochranu.

V roce 1801, jen rok po hladomoru, osmiletý George Green nastoupil do školy Roberta Goodacrea. Ve škole strávil jen necelý rok a v polovině roku 1802 ze školy musel odejít. Škola patřila k nejlepším a nejdražším ve městě.

Není jasné, zda se začal devítiletý George Green zajímat o matematiku, nebo zda měl přístup k nějakým matematickým pracím. V roce 1802 byl donucen opustit školu a začal pracovat jako starší pomocník v otcově pekařství. Ve škole se učil latinsky, řecky a francouzsky, ale zřejmě se naučil jen základům.

Otec George Greena začal být úspěšným pekařem a měl dostatek financí, aby koupil několik domů v Nottinghamu. V roce 1807 zakoupil část pozemků v Sneintonu, nedaleko Nottinghamu.

Na zakoupeném pozemku postavil cihlový větrný mlýn na obilí, užitečnou stavbu pro pekaře. Mlýn je 16 metrů vysoký a byl prvním ze dvou mlýnů v hrabství Nottinghamshire. Greenův otec si najal správce pro provoz mlýna a Green zde také pracoval. V roce 1817 Greenův otec postavil rodinný dům nedaleko mlýna a Green se svým otcem a matkou pak zde bydleli.

Mlýn byl zrestaurován a pokud někdy navštívíte Nottingham, nezapomeňte tuto jedinečnou stavbu navštívit. Greenova sestra se do Sneintonu nepřestěhovala, protože se v roce 1816 provdala za Williama Tomlina a žila s ním v Nottinghamu.

Green stále pokračoval ve studiu matematiky, přestože pracoval v otcově mlýně. Dodnes není známo, jak se Green dostal k tehdy nejpokročilejší matematice. Snad někteří matematikové bydleli v Nottinghamu, od nichž se Green dověděl o vyspělých myšlenkách francouzských matematiků. V úvahu však připadá pouze jediný možný kandidát, kterým byl John Toplis, absolvent královské koleje v Cambridge.

Toplis nebyl spokojen s výukou matematiky v Cambridge a proto se pokoušel ovlivni jiné, aby se matematika v Cambridge přiblížila výuce matematiky ve Francii. Sám proto přeložil první vydání Laplaceovy knihy "Méchanique céleste" do angličtiny a publikoval toto vydání v Nottinghamu v roce 1814. V té době byl ředitelem Svobodného gymnázia v Nottinghamu a tuto funkci zastával až do roku 1819, kdy se vrátil do Cambridge. Předpokládá se proto, že Green mohl Toplise znát ještě předtím, než s rodinou přesídlil do mlýna v roce 1817. Green bydlel v Goosegate, jen jednu ulici od Svobodného gymnázia, kde bydlel Toplis. Neexistuje však žádný důkaz o tom, že by John Toplis učil George Greena, nebo že by mu nějakým způsobem pomáhal se studiem matematiky ve francouzštině.

Správcem mlýna byl William Smith, který měl dceru Jane. Ačkoliv se George Green s Jane Smithovou nikdy neoženil, měli společně sedm dětí. Jejich vztah musel začít již v roce 1823, protože jejich první společné dítě se narodilo v roce 1824. V roce 1823 Green poprvé navštívil knihovnu Subscription Library v Bromley House v Nottinghamu. Šlo o významnou událost v Greenově vědeckém vývoji, protože zde získal přístup k vědeckým dílům, zejména k časopisu "Transactions" Královské společnosti v Londýně. V této publikaci Green měl možnost se nejen seznámit s posledními matematickými pracemi, ale také číst oznámení prací publikovaných v jiných zemích.

George Green studoval matematiku v horním podlaží mlýna, které patřilo jemu. Léta 1823 až 1828 nebyla pro něj jednoduchá a neměl pro studium příliš času. Musel pracoval v mlýně a také se mu narodily dvě dcery, první v roce 1824 a druhá v roce 1827. V roce 1825 zemřela Greenova matka a v roce 1829 zemřel Greenův otec. Přes tento těžký životní úděl Green publikoval své nejdůležitější práce v roce 1828.

14. prosince 1827 dokončil svoji první práci "An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism" (Článek o aplikaci matematické analýzy na teorie elektřiny a magnetismu). Tato práce byla publikována v březnu 1828 a rozesílána zájemcům, jimiž byli většinou členové knihovny Nottingham Subscription Library. V úvodu Green napsal, že vycházel z omezených zdrojů informací, které mu neumožnily podat odpovídající historický úvod k matematické teorii elektřiny a v závěru práce citoval jen několik zdrojů Mezi nimi byla také Cavendishova teoretická práce o elektřině z roku 1771, dva články Poissona z roku 1812 o povrchové elektřině a tři o magnetismu z let 1821 až 1823, dále příspěvky Araga, Laplace, Fouriera, Cauchyho a Thomase Younga. V úvodu autor dále napsal, aby práce byla brána se shovívavostí kvůli omezenému autorovu vzdělání.

Práce popisuje základní roli potenciální funkce, její obecné vlastnosti a aplikace pro elektřinu a magnetismu. Práce také obsahuje dnes známou Greenovu větu, která dává do souvislosti křivkový a plošný integrál, a Greenovu funkci, která se dnes používá při řešení parciálních diferenciálních rovnic.

Greenova práce měla velký význam, přestože tehdy nikdo s dostatečným matematickým vzděláním její důležitost nerozpoznal. Green pracoval dále v rodinném mlýně a po smrti jeho otce v roce 1829 převzal celý rodinný obchod. Jeho třetí dítě, první syn, se narodilo v roce 1829. Ke změně došlo po Greenově setkání se sirem Edwardem Bromheadem.

Sir Edward Bromhead byl jedním ze čtenářů Greenovy práce a ihned Greena písemně vyzval, aby další práce zaslal Královské společnosti v Londýně, Královské společnosti v Edinburghu nebo Filozofické společnosti v Cambridge. Bromhead studoval matematiku v Cambridge a byl členem Analytické společnosti. Bromhead sice nebyl schopen posoudit značnou důležitost Greenovy práce, ale byl přesvědčen, že Green je velmi dobrým matematikem. Green se ale domníval, že jde o určitou Bromheadovu politiku a do ledna 1830, kdy ho k tomu vyzval jeden z jeho přátel, na Bromheadův dopis neodpověděl.

Green se po další tři roky setkával s Bromheadem v Thurlby Hall a napsal další tři práce. Dvě práce o elektřině Bromhead zaslal Filozofické společnosti v Cambridge, kde byla publikovány v roce 1833 a 1834. Třetí práce o hydrodynamice byla publikována Královskou společností v Edinburghu, jíž byl Bromhead členem v roce 1836. Bromhead Greenovi velice pomohl, protože díky jemu se Green seznámil s dalšími matematiky v Cambridge. Bromheadovými dobrými přáteli byli Charles Babbage, John Herschel a George Peacock a v dubnu 1833 přesvědčil Greena, aby začal studovat matematiku v Cambridge. V červnu 1833 se Bromhead vrátil do Cambridge a vyzval Greena, aby odešel s ním. Green ale sám dosud nepřikládal důležitost své práci. Nakonec ale dal na Bromheadovu radu, přestal pracovat v rodinném mlýně a začal studovat ve věku 40 let v Cambridge.

Zkoušky z matematiky Greenovi nedělaly problémy, ale jiné předměty, jako latina a řečtina byly pro něj mnohem obtížnější. V roce 1837 studium úspěšně dokončil.

Po dokončení studia Green zůstal v Cambridge a zabýval se dále matematikou. V letech 1838 a 1839 napsal dva články týkající se hydrodynamiky, konkrétně šíření vln v kanálech, dále dva články o odrazu a lomu světla a dva články o odrazu a lomu zvuku. Tyto práce byly publikovány Filozofickou společností v Cambridge.

31. října 1839 se stal Green členem koleje a v květnu 1840 se vrátil do Nottinghamu kvůli zdravotním problémům. O několik dní později se mu narodilo sedmé dítě. Green jasně cítil, že jeho nemoc je velmi vážná a v červenci 1840 napsal závěť. Veškerý majetek odkázal v Nottinghamu odkázal Jane a majetek v Sneintonu svým sedmi dětem.

Není známo, zda Green zemřel doma, kde Jane Smithová žila se svými sedmi dětmi, ačkoliv jeho úmrtí oznámila právě ona.

Green se nikdy nedověděl o důležitosti své práce. Jen několik týdnů po jeho smrti William Thomson nalezl v článku Roberta Murphyho v časopise "Transactions" zmínku o Greenově první práci. Thomson ale nemohl nikde získat kopii této práce a podařilo se mu to až v lednu 1845, kdy mu William Hopkins předal tři kopie. O šest let později v létě 1845 se Thomson zmínil o Greenově práci v Paříži Liouvilleovi a Sturmovi. Po návratu do Cambridge Thomson v letech 1850 až 1854 znovu publikoval Greenovu práci. Díku němu se s touto prací seznámil také James Clerk Maxwell a další.

Základy teorii potenciálu tak položil samouk a syn mlynáře. Tato teorie vedla k rozvoji matematických teorií elektřiny a magnetismu.

Williamův otec, Archibald Hamilton, neměl čas učit svého syna, protože byl často na obchodních cestách. Archibald Hamilton neměl žádné univerzitní vzdělání a William zřejmě zdědil své schopnosti po své matce Sarah Huttonové. Když bylo Hamiltonovi pět let, uměl latinsky, řecky a hebrejsky. Těmto jazykům ho naučil jeho strýc James Hamilton, u něhož William bydlel po několik let. James Hamilton napsal několik článků o astronomii a byl ředitelem observatoře v Armagh.

William se brzy naučil několik dalších jazyků, ale jeho další zájem v jeho 12 letech ovlivnila návštěva Američana Zeraha Colburna, který dokázal Hamiltona zaujmout různými matematickými problémy a Hamilton s ním soutěžil ve svých matematických schopnostech.

Ve svých 13 letech začal Hamilton studovat Clairautovu knihu "Algebra", která byla ve francouzštině. Když mu bylo 15 let, začal studovat práce Newtona a Laplace. V roce 1822 objevil chybu v Laplaceově práci "Méchanique céleste", čímž vzbudil pozornost irského astronoma Johna Brinkleyho.

Ve věku 18 let Hamilton začal studovat na Trinity College v Dublinu a svoji genialitu projevil získáním vyznamenání. Přitom většinu času strávil se svým bratrancem Arthurem a nenavštěvoval všechny přednášky.

V dubnu 1824 strýc James pozval Hamiltona do Summerhillu, kde se setkal s Disneyho rodinou. William se již při prvním setkání zamiloval do jejich dcery Catherine. V té době měl Hamilton před sebou ještě tři roky studia. Hamilton ale udělal značný pokrok, aby dokončil své vzdělání a svoji první práci "On Caustics" zaslal Irské akademii ještě před koncem roku 1824.

V únoru 1825 matka Catherine oznámila Williamovi, že se její dcera provdala za duchovního, který byl bohatý a mohl Catherine nabídnout mnohem více, než Hamilton. Při následujících zkouškách William uspěl hůře, než bylo obvyklé, kvůli depresi ze ztráty své vytoužené lásky. Onemocněl a dokonce pomýšlel na sebevraždu. V tomto období se začal věnovat poezii, která mu pak pomáhala po celý jeho život.

V roce 1826 Hamilton publikoval svoji práci "Theory of Systems of Rays" (Teorie systémů paprsků). V této práci Hamilton zavedl charakteristickou funkci pro optiku.

Hamiltonův poslední zkoušející, Boyton, přemluvil Hamiltona, aby se ucházel o místo astronoma na observatoři Dunsink, přestože se na toto místo hlásilo šest uchazečů, mezi nimiž byl také George Biddell Airy. Koncem roku 1827 se Hamilton ucházel o místo profesora astronomie v Trinity College, ačkoliv neměl dokončené vzdělání a bylo mu jen 21 let. To vyvolalo mnoho negativních ohlasů, neboť Hamilton neměl příliš praktických zkušeností. Jeho předchůdce, profesor Brinkley, který se stal knězem, se domníval, že nebylo správné, aby Hamilton toto místo dostal a snažil se tomu zabránit. Hamilton se proto v té době začal věnovat výlučně matematice.

Hamilton předtím, než převzal své místo, jezdil po Anglii a Skotsku. Na svých cestách se setkal s básníkem Wordsworthem a oba muži se stali přáteli. Později při jedné návštěvě Wordswortha v Dunsinku oba muži dlouho hovořili o vědě a poezii. Hamilton tvrdil, že jazyk matematiky je stejným uměním, jako poezie, ale Wordsworth s ním nesouhlasil. Podle něj se věda zabývá pouze materiální stránkou života.

Na observatoři v Dunsinku Hamilton zaměstnal jednoho svého žáka Adareho. Adare ale začal mít po čase problémy se zrakem a Hamilton se cítil přepracován. Hamilton si proto udělal dovolenou a odjel do Armaghu, kde mimo jiné navštívil astronoma Romneye Robinsona. Zcela náhodou se Hamilton setkal s Lady Campbellovou, která se stala později jednou z jeho oblíbených důvěrnic. Hamilton chtěl také navštívil Catherine, která bydlela relativně blízko. Catherine ho naopak navštívila na observatoři. Hamilton byl její přítomností tak vyveden z míry, že poškodil okulár teleskopu, když se jí snažil ukázat hvězdnou oblohu. Tato epizoda v Hamiltonově životě způsobila, že se Hamilton nějakou dobu cítil špatně a psal básně.

V červenci 1830 Hamilton a jeho sestra Eliza, která také skládala básně, navštívili Wordswortha. Zřejmě právě v té době Hamilton pomýšlel na sňatek s Ellen de Vere. Zasílal jí básně, ale ona mu odpověděla, že by nebyla šťastná jinde, než v Curraghu. Hamilton se domníval, že mu takticky naznačila odmítnutí a proto ji přestal přemlouvat. O rok později se Ellen provdala a z Curraghu se odstěhovala.

Hamilton se ve vztahu k ženám stal poněkud vrtkavým. Snad proto, že ho kdysi jeho velká láska Catherine odmítla, přestalo mu na ženách záležet. Nakonec se Hamilton oženil s Helen Maria Baylyovou, která bydlela nedaleko od observatoře. Manželství ale od počátku nebylo šťastné. Helen neměla příliš jasnou představu o domácnosti a byla také často nemocná. Jejich domácnost proto byla ve značném nepořádku. Většinu času trávila mimo observatoř nebo byla indisponována.

V roce 1832 Hamilton publikoval svoji třetí část práce "Theory of Systems of Rays", v níž byly uvedeny metody použití charakteristické funkce v optice. V závěru práce Hamilton použil charakteristickou funkci pro studium Fresnelových vlnoploch. Díky tomu předpověděl kónickou refrakci a požádal Humphreyho LLoyda, profesora fyziky v Trinity Callege, aby jeho teoretickou předpověď ověřil experimentem. Lloyd skutečně tuto předpověď experimentem potvrdil. Tento výsledek ale vedl k velkým rozporům Hamiltona s MacCullaghem, který sám byl velmi blízko tomuto teoretickému objevu, ale nepodařilo se mu udělat poslední krok.

4. listopadu 1833 Hamilton přečetl v Královské irské akademii svoji práci, ve které vyjádřil komplexní čísla jako algebraické uspořádané dvojice reálných čísel. Algebru pak Hamilton použil ve své práci "On a General Method in Dynamics" (O obecných metodách v dynamice) v roce 1834. V této práci Hamilton charakteristickou funkci použil v dynamice a následující rok napsal na toto téma další článek.

Hankins o těchto článcích napsal, že není jednoduché je prostudovat. Hamilton své argumenty uváděl s velkou úsporností a svůj výklad vedl zcela odlišně, než je nyní běžné v učebnicích popisujících tuto metodu. Ve dvou článcích o dynamice Hamilton nejprve použil charakteristickou funkci v dynamice, podobně jako předtím v optice. Jeho charakteristická funkce představuje akci systému, který se vyvíjí v konfiguračním prostoru z počátečního do konečného stavu. Podle jeho zákona o variaci akce jsou souřadnice počátečního a konečného stavu nezávislými proměnnými charakteristické funkce. Pro konzervativní systémy je celková energie H systému konstantní po jakékoliv dráze, ale změní se, pokud se změní počáteční nebo koncový bod dráhy. Charakteristická funkce je v dynamice funkcí 6.n souřadnic počátečního a koncového stavu (pro n částic) a Hamiltoniánu H.

V roce 1834 se Hamiltonovi a Helen narodil syn William Edwin. Helen pak na devět měsíců opustila Dunsink, aby Hamilton mohl pracovat. V roce 1835 Hamilton publikoval práci "Algebra as the Science of Pure Time" (Algebra jako věda čistého času), která byla inspirována jeho studiem Immanuela Kanta a byla zveřejněna na zasedání Britské asociace pro pokroky vědy (the British Association for the Advancement of Science). Hamilton ve svém článku považoval algebraické dvojice za kroky v čase.

V roce 1835 byl Hamilton povýšen do rytířského stavu. Téhož roku se mu narodil jeho druhý syn Archibald Henry. Po objevení algebraických dvojic se Hamilton pokusil svoji teorii rozšířit na trojice a byl touto myšlenkou řadu let posedlý. Následujícího podzimu Hamilton odjel do Bristolu na zasedání Britské asociace a Helen vzala své děti na Baylyho farmu, kde pak bydlela deset měsíců. Pak zemřel Hamiltonův bratranec Arthur a nedlouho poté, co se Helen vrátila od své matky, odjela znovu do Anglie, než se narodila Hamiltonova dcera Helen Eliza Amelia. William Hamilton v tomto období podlehl depresím a začal mít problémy s alkoholem. Proto se jeho sestra přestěhovala do Dunsinku.

V roce 1842 se Helen s dětmi vrátila do Dunsinku. Hamilton byl stále zaměstnán problémem algebraických trojic.

16. října 1843 se Hamilton procházel se svou manželkou podél Královského kanálu, aby se připravil na zasedání Královské irské akademie. Ačkoliv s ním jeho žena rozmlouvala, byl hluboce ponořen do úvah. Uvádí se, že právě tehdy přišel na myšlenku kvaternionů, první známé nekomutativní algebry. Uvědomil si, že pro počítání s trojicemi potřebuje ještě čtvrtý rozměr. Aby svoji myšlenku nezapomněl, vyškrábal vztahy pro kvaterniony

i² = j² = k² = i.j.k = -1

na jeden z kamenů mostu Brougham. Hamilton se domníval, že jeho objev bude znamenat revoluci v matematické fyzice a zbytek života strávil studiem kvaternionů.

Krátce po objevu kvaternionů Hamilton obětoval svůj osobní život svému bádání. V roce 1845 Thomas Disney navštívil Hamiltona v observatoři a vzal svoji dceru Catherine s sebou. Snad právě tato událost uvrhla Hamiltona do hlubší závislosti na alkoholu. Na zasedání Geologické společnosti v únoru 1846 Hamilton ztropil nepřístojnost pod vlivem alkoholu. MacFarlane o tom napsal, že při večeři vědecké společnosti v Dublinu ztratil sebekontrolu a byl tak opilý, že na radu přátel se rozhodl abstinovat. Jeho rozhodnutí ho stálo dva roky.

V roce 1847 Hamiltonovi zemřel strýc James a strýc Willey. Téhož roku spáchal sebevraždu jeho kolega z Trinity College James MacCullagh. Následujícího roku začala Catherine Hamiltonovi psát, aby mu alespoň trochu pomohla dostat se z hlubokých depresí. Korespondence trvala jen šest týdnů stala se obsažnější a také osobnější, až Catherine pocítila vinu, že podvádí svého manžela. Hamilton napsal jejímu manželovi Barlowovi, že už nikdo o něm nikdy neuslyší a pokusil se neúspěšně o sebevraždu. Catherine pak pocítila takovou lítost, že zbytek svého života strávila u své matky nebo u svých sourozenců, ikdyž nikdy oficiálně Barlowa neopustila. Hamilton pokračoval v korespondenci s Catherine, kterou zasílal přes její příbuzné.

Není překvapením, že Hamilton po svém pokusu o sebevraždu opět propadl alkoholu, jako že začal pracovat na své knize "Lectures on Quaternions" (Přednášky o kvaternionech). Tuto knihu Hamilton publikoval v roce 1853, ale zjistil, že nejde o dobrou učebnici teorie kvaternionů.

Hamilton pomohl Jamesovi, synu Catherine, při přípravě ke zkoušce, která se týkala kvaternionů. Považoval to za jakési odškodnění Barlowa, kdy alespoň touto cestou mohl pomoci jeho synovi. Později Catherine Hamiltonovi darovala pouzdro na pero s věnováním:

"From one who you must never forget, nor think unkindly of, and who would have died more contented if we had once more met."

Hamilton na oplátku daroval Catherine kopii svých "Přednášek o kvaternionech". O dva týdny později zemřel. Před svou smrtí Hamilton psal až dva dopisy denně Disneyově rodině. Další dopisy zasílal Lady Campbellové, protože pouze ona a rodina Dysneyových věděla o Hamiltonově lásce ke Catherine. Na druhé straně Helen nikdy nebyla v Hamiltonově srdci na prvním místě a musela být zklamána, když v roce 1855 objevila dopis od Dory Disneyové.

Kromě zmíněné práce o kvaternionech začal Hamilton psát další knihu o tomto tématu pod názvem "Elements of Quaternions" (Elementy kvaternionů), jejíž délka se odhaduje na asi 400 stránek a autor ji psal asi dva roky. Její název napovídá, že Hamilton byl do jisté míry inspirován Euklidovými "Elementy". Poslední kapitola knihy zůstala nedokončena, protože Hamilton mezitím zemřel a byla později publikována s úvodem jeho syna Williama Edwina Hamiltona.

Hamilton zemřel po několika záchvatech krátce poté, co obdržel zprávu, že byl jmenován prvním zahraničním členem Národní akademie věd Spojených států amerických.

Charles Hermite použil eliptické funkce na řešení rovnice pátého stupně. Jako první publikoval důkaz, že Eulerovo číslo e je transcendentální číslo (číslo s nekonečným neperiodickým rozvojem).

Hermite měl vždy problémy s formálními zkouškami a celých pět let studoval, než v roce 1848 získal titul bakaláře věd B.Sc. Poté zastával místo na École Polytechnique, Collége de France, École Normale Supérieure a na Sorbonně.

Jeho práce o teorii funkcí obsahuje použití eliptických funkcí na obecné rovnice pátého stupně. V roce 1873 publikoval důkaz, že číslo e je transcendentální.

Právě tento jeho důkaz je velmi dobře známý. V roce 1882 Lindemann použil podobnou metodu pro důkaz, že Ludolfovo číslo pí je také transcendentální.

Hermite je také známý díky Hermiteovým polynomům, Hermiteově diferenciální rovnici, Hermiteově vztahu interpolace a díky hermiteovským maticím.

Nejlepším Hermiteovým žákem byl Poincaré.

Hurwitz studoval vlastnosti Riemannových ploch a pracoval na problému, jak lze vztahy počtu tříd odvodit z modulárních rovnic.

Hurwitz studoval na Univerzitě v Berlíně společně s Kummerem, Weierstrassem a Kroneckerem.

Pak odešel do Lipska (Leipzig), kde pod vedením Kleina získal v roce 1881 doktorát Ph.D. Jeho disertační práce s názvem "Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen 1. Stüfe" se týkala modulárních funkcí.

V roce 1884 Hurwitz přijal pozvání od Lindemanna, aby zaujal uvolněné místo v Königsbergu. Toto místo pak zastával dalších osm let. Zde spolupracoval s Minkowskim a Davidem Hilbertem, s nímž navázal dlouhé přátelství.

V roce 1892 Frobenius uvolnil své místo na Eidgenössische Polytechnikum v Zürichu, když se vrátil do Berlína. Hurwitz zaujal toto uvolněné místo a zůstal zde po zbytek svého života. Bohužel, jeho zdraví nebylo nejlepší.

Hurwitz publikoval v roce 1896 článek o faktorizační teorii celých kvaternionů a aplikoval ji na problém reprezentace celého čísla jako součtu čtyř čtverců. Úplný důkaz Hurwitzových myšlenek byl publikován v knize v roce, kdy zemřel. Hurwitz dále studoval okruh celých kvaternionů, který má 24 jednotek. Studoval dále jednostranné ideály a zavedl prvočísla kvaternionů.

Dále se soustředil na vlastnosti Riemannovy plochy, kdy objevil, že automorfní grupy algebraické Rimenannovy plochy řádu většího než 1 jsou konečné. Konečně studoval teorii komplexních funkcí a napsal několik článků o Fourierových řadách.

- pokračování -