Literatura:

[X1] Turnbull University of St. Andrews.

Otec Jeana d'Alemberta Louis-Camus Destouches byl důstojníkem dělostřelectva. Jeho matka se jmenovala de Tencin.

D'Alembert byl nechtěným nemanželským synem. Když se narodil, jeho otec Louis-Camus Destouches byl v zahraničí a jeho matka ho zanechala na schodech kostela St. Jean Le ron. Dítě bylo brzy nalezeno a předáno do domu pro děti bez domova. Dítě bylo podle kostela pokřtěno Jean Le Rond.

Když se jeho otec vrátil do Paříže, našel svého syna a nalezl mu vychovatelku Rousseau, která se pro d'Alemberta stala matkou. Svou skutečnou matku nikdy neviděl.

První školou, kterou d'Alembert navštěvoval, byla soukromá škola, jejíž školné hradil otec. V roce 1726 otec zemřel, ale zanechal dostatek peněz. Destouchesova rodina proto dále zajišťovala d'Alembertovo vzdělání. Jean d'Alembert byl přijat do College des Quatre Nations. Zde si změnil jméno na Jean-Baptiste Daremberg a brzy poté na Jean d'Alembert.

Škola College des Quatre Nations poskytla d'Alembertovi možnost studovat matematiku, avšak výuka matematiky zde byla jen základní. Přednášky z matematiky profesora Carrona vycházely z přednášek Varignona. D'Alembert ale mohl využívat vynikající matematickou knihovnu. Zde se d'Alembert během studia seznámil s Descartovými fyzikálními myšlenkami. Když se později formoval jeho vlastní názor, neměl k Descartovým myšlenkám respekt.

Škola College des Quatre Nations připravovala žáky k tomu, aby se stali odborníky v teologii a bojovali proti názorům jezuitů. Ale d'Alembert si zvolil jinou cestu, než bylo studium teologie. Po absolvování školy v roce 1735 se rozhodl se stát právníkem, přestože jeho velkým zájmem byla matematika. V roce 1738 se d'Alembert stal advokátem, ale nebyl rozhodnut věnovat se této práci. Následující rok zkusil d'Alembert studovat medicínu, ale ta se mu zdála ještě horší, než teologie. Stále více se zajímal o matematiku a její vývoj.

V červenci 1739 d'Alembert přednesl v Pařížské akademii věd svůj první článek o některých chybách, které nalezl v Reyneauově textu "Analyse démotrée", který sice neměl příliš velký význam, ale poznamenal začátek jeho matematické kariéry. V roce 1740 napsal svoji druhou práci o mechanice kapalin, o níž se pochvalně vyjádřil Clairaut. V květnu 1741 d'Alembert byl přijat do Pařížské akademie věd za své práce o integrálním počtu.

D'Alembertovu práci ovlivnila jeho osobnost. Jeho život plynul zcela poklidně. Velmi málo cestoval a většinu času trávil při své práci v Pařížské akademii věd a ve Francouzské akademii. Na druhé straně jeho život byl jedním velkým dramatem.

D'Alembert byl vždy rozpornou osobností. Vědeckou práci dělal s bojovností a při argumentaci byl neústupný a prudký. Nedokázal připustit, že by se mohl v něčem mýlit.

D'Alembert přispěl k řešení rozporu matematické fyziky, který se týkal zachování kinetické energie. Ve své práci "Traité de dynamique" z roku 1743 upravil Newtonovu definici síly. Práce obsahuje také d'Alembertův mechanický princip. Byla důležitým předznamenáním d'Alembertova pokusu uspořádat objevy v mechanice. Nebyl fyzikem, ale matematikem a věřil, že mechanika je částí matematiky, stejně jako geometrie nebo algebra. Racionální mechanika je věda založená na jednoduchých principech, které lze odvodit matematickými metodami. D'Alembert doufal, že se mu podaří vytvořit úplný racionální matematický systém, jehož by byla mechanika součástí.

Koncem roku 1742 došlo k d'Alembertově výstupu v Akademii věd, když d'Alembert začal číst části ze své práce "Traité de dynamique" a dověděl se, že po něm bude číst svoji práci o dynamice Clairaut. D'Alembert to ale považoval za rivalství okamžitě se rozzuřil. Oba matematici měli podobné myšlenky a jejich vzájemná rivalita poznamenala několik dalších let.

D'Alembert věřil, že mechanika je založena na metafyzických principech a nikoliv na experimentálních důkazech. Zřejmě nebral při čtení Newtonova díla "Principia" vůbec v úvahu, jaký důraz klad Newton na experimentální důkazy svých zákonů. d'Alembert tyto zákony chápal jako logickou nezbytnost.

V roce 1744 d'Alembert použil své výsledky na rovnováhu a pohyb kapalin ve své práci "Traité de l'equilibre et du mouvement des fluides". Jeho práce byla alternativním zpracováním teorie kapalin, které publikoval Daniel Bernoulli. D'Alembert se samozřejmě domníval, že jeho způsob výkladu je lepší, ale Daniel Bernoulli s ním tento názor nesdílel.

D'Alembert nebyl v Pařížské akademii spokojen kvůli sporům s Clairautem a kvůli nesouhlasu ostatních. Jeho pozice byla ještě nešťastnější v roce 1745, když Maupertuis odešel z Paříže na Berlínskou akademii.

V roce 1746 se d'Alembertův osobní život změnil. Setkal se s Geoffrin, bohatou, panovačnou, nepříliš chytrou majitelkou salónu, do něhož byl d'Alembert pozván. Brzy poznal společenskou vrstvu, v níž překvapivě získal značný úspěch a popularitu.

Zhruba ve stejné době d'Alembert se začal zabývat rozsáhlým projektem Diderotovy"Encyclopédie". Stal se jedním z vydavatelů s úkolem zpracovat oblast matematiky, fyziky a astronomie. Ale jeho práce pokryla širší oblast. První svazek encyklopedie byl vydán v roce 1751.

D'Alembert spolupracoval na projektu "Encyclopédie" řadu let. Většinu svých matematických článků publikoval v tomto 28 svazků velkém díle. Samozřejmě pokračoval ve své vlastní matematické práci. Stal průkopníkem ve studiu parciálních diferenciálních rovnic a jejich aplikací ve fyzice. Jeho první práce na toto téma, která se týkala povahy větrů v atmosféře, byla publikována v roce 1747 a byla odměněna cenou Pruské akademie. Leonhard Euler ale záhy d'Alembertovy metody propracoval mnohem hlouběji. To bylo typické pro celou d'Alembertovu práci. Jeho práce byla matematicky skvěle propracována, ale chyběla jí podpora fyzikálními důkazy. Například d'Alembert předpokládal, že vítr vzniká slapovými jevy v atmosféře a teplo hraje jen velmi okrajovou roli. Clairaut kritizoval d'Alembertovy metody, když napsal, že d'Alembert vytváří matematické teorie, které v přírodě nemají žádnou oporu a neodpovídají povaze věcí.

V roce 1747 d'Alembert publikoval důležitý článek o vibracích strun. Článek obsahuje poprvé vlnovou rovnici, ale její řešení vychází z okrajových podmínek, které nesouhlasí s pozorováním.

Euler se s d'Alembertovou prací seznámil někdy v roce 1743 díky dopisům od Daniela Bernoulliho. Daniel Bernoulli měl vůči d'Alembertově práci vážné výhrady, když si prostudoval jeho práci "Traité de l'equilibre et du mouvement des fluides". Euler a d'Alembert se vzájemně respektovali a korespondovali společně o řadě problémů.

Tyto dobré vztahy se ale zhoršily. V roce 1752 byl d'Alembert vyzván, aby se stal prezidentem Berlínské akademie. d'Alembert byl znepokojen tím, že Euler jeho myšlenkám nepřikládá příliš velkou váhu. Na jedné straně d'Alembert byl v právu, ale na druhé straně jeho práce byla tak nepřehledná a nejasná, že Euler ji nebyl schopen a ochoten prostudovat.

D'Alembert se nemohl shodnout se svými kolegy v Pařížské akademii věd a přestal zde publikovat své matematické články. Začal je zhruba od roku 1850 zasílat Berlínské akademii. Euler nechtěl tyto články publikovat a proto d'Alembert vytvořil během let 1761 až 1780 sebrané dílo o osmi svazích "Oposcules mathématique".

Pruský král Frederick II. vyzval znovu d'Alemberta, aby přijal nabízené místo prezidenta Berlínské akademie. Euler byl silně proti tomu. Nevěděl však o tom, že d'Alembert tři měsíce navštěvoval krále, aby ho přesvědčil, že prezidentem Berlínské akademie se má stát Euler. Odmítl rovněž pozvání Kateřiny II., aby odejel do Ruska vyučovat jejího syna.

D'Alembert přispěl k matematice ještě několika dalšími důležitými články, které dosud nebyly zmíněny. V článku "Différentiel" ve 4. svazku díla "Encyclopédie", publikovaného v roce 1754, zpracoval teorii limit a byl prvním matematikem, který pochopil význam funkcí. V tomto článku definoval derivaci funkce jako limitu přírůstku funkce. Jeho myšlenka vedla k testu konvergence, který se dnes nazývá d'Alembertovo kritérium. Tento test byl popsán v 5. svazku díla "Oposcules mathématique".

Ke konci svého života se d'Alembert začal více zabývat literaturou a filozofií. D'Alembertova hlavní filozofická práce je shrnuta v pěti svazcích díla "Mélanges de littérature et de philosophie", které bylo publikováno v letech 1753 až 1767. Toto dílo vyjadřuje d'Alembertův skepticismus týkající se metafyziky. Přijímá myšlenku existence Boha na základě víry, že inteligence nemohla vzniknout sama z hmoty. Tato skutečnost naznačuje, že d'Alembert se přiklonil k materialismu až pod vlivem Diderota.

28. listopadu 1754 byl d'Alembert přijat za člena Francouzské akademie. V roce 1772 byl pak jmenován doživotním tajemníkem Francouzské akademie.

Od roku 1765 se d'Alembert kvůli nemoci, která mu zabraňovala se soustředit na práci, přestal zabývat matematikou. Jeho zdraví se postupně řadu let zhoršovalo a d'Alembert zemřel na onemocnění krve. Jako známý bezvěrec byl pohřben ve společném neoznačeném hrobě.

Otec Thomase Bayese byl vysvěcen knězem. Thomas měl soukromé učitele, což bylo tehdy pro rodinu s takovým postavením nutností. O jeho učitelích není nic známo, ale uvádí se, že ho učil také Moivre, který v té době pobýval v Londýně.

Thomas Bayes byl vysvěcen jako jeho otec a nejprve svému otci asistoval v Holbornu. Koncem 20. let 18. století se stal knězem v Kapli presbyteriánů v Tunbridge Wells, 35 mil jihovýchodně od Londýna.

V roce 1749 se Bayes rozhodl své místo opustit. Zůstal však knězem v Tunbridge Wells až do roku 1752, kdy své místo opustil, ale zůstal ve městě.

Bayes se zabýval teorií pravděpodobnosti, konkrétně problémem pravděpodobností různých možností. Svoji první práci publikoval v "Philosophical Transactions" Královské společnosti v Londýně v roce 1764.

Bayes své metody založil na dlouho nepřijatelné myšlence, že lze určit pravděpodobnost určitého jevu při určitých podmínkách na základě pozorování, kolikrát za těchto podmínek tento jev již nastal a kolikrát za těchto podmínek nenastal.

Bayesovy závěry přijal až Simon Laplace ve své práci z roku 1781, kdy Bayesovy metody znovu objevil Condorcet. Ale i po té byly Bayesovy metody předmětem sporů.

Bayes dále napsal článek "An Introduction to the Doctrine of Fluxions" a v roce 1736 "Defence of the Mathematicians Against the Objection of the Author of The Analyst", kde kritizoval Berkeleyho za jeho útok proti objevům v logice.

V roce 1742 byl Bayes přijat za člena Královské společnosti, přestože do té doby nepublikoval žádnou práci z matematiky a navíc žádná z jeho prací nebyla během jeho života publikována pod jeho jménem. Po jeho smrti byl vydán článek o asymptotických řadách.

Otec Alexise Clairauta, Jean-Baptiste Clairaut, byl matematikem v Paříži a o jeho kvalitách svědčí, že byl přijat do Berlínské akademie. Alexisova matka, Catherine Petit, měla celkem dvanáct dětí, ale pouze Alexis dospěl.

Jean-Baptiste Clairaut učil svého syna doma a kladl na něj neuvěřitelně vysoké nároky. Alexis se učil Euklidovy Elementy již v době, kdy se učil číst. Když mu bylo devět let, naučil se základy diferenciálního a integrálního počtu a základy analytické geometrie. V deseti letech Clairaut začal studovat L'Hospitalovy knihy, zejména jeho práci "Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes".

Když bylo Clairautovi třináct let, zaslal svůj první článek Akademii a v roce 1726 Clairaut sám přednesl svoji práci "Quatre problemes sur de nouvelles" v Pařížské akademii. Jeho mladší bratr přednesl v Pařížské akademii svoji první matematickou práci v roce 1730, když mu bylo čtrnáct let, ale v roce 1732 zemřel.

Clairaut se začal zabývat křivostí křivek a svoji práci na toto téma dokončil v roce 1729. Díky této práci byl 4. září 1729 zvolen za člena do Pařížské akademie, ale král jeho přijetí až do roku 1731 nepotvrdil. V červenci 1731 se Clairaut stal vůbec nejmladším členem Pařížské akademie věd. Zde pracoval v malé skupině, jíž vedl Pierre Louis Maupertuis, který zastával Newtonovou přírodní filozofii. Maupertuis byl jen o 15 let starší než Clairaut.

Clairaut se stal blízkým přítelem Maupertuise, Voltaira a du Chateleta. Šlo nejen o osobní přátelství, ale díky tomu vznikla důležitá společná práce. Clairaut pomáhal du Chateletovi přeložit Newtonovo dílo "Principia" do francouzštiny. Tuto společnou práci začali před rokem 1745 a dokončili ji v roce 1756. Do knihy byla zařazena řada Clairautových vlastních teorií.

Společně s Maupertuisem Clairaut v roce 1734 navštívil Basilej, kde několik měsíců studoval u Johanna Bernoulliho. V Basileji se Clairaut stal přítelem Samuela Königa. Oba pak po řadu let vědecky korespondenčně spolupracovali.

Clairaut publikoval v letech 1733 až 1743 několik významných prací. V roce 1733 napsal práci "Sur quelques questions de maximis et minimis" o variačním počtu, kterou napsal ve stylu Johanna Bernoulliho. V témže roce publikoval práci o geodézii kvadrik rotací, v níž pokračoval ve studiu problematiky, jíž začal studovat Johann Bernoulli. V roce 1734 Clairaut studoval diferenciální rovnice, které se dnes nazývají Clairautovy. Kromě obecného integrálu rovnice nalezl také singulární řešení. V letech 1739 a 1740 a publikoval další práce o integrálním počtu. Mimo jiné dokázal existenci integračních faktorů pro řešení diferenciálních rovnic prvního řádu. Touto otázkou se již zabývali Johann Bernoulli, Reyneau a Euler. V roce 1742 Clairaut publikoval důležitou práci o dynamice, ale v dalším roce svoji pozornost zaměřil zcela jiným směrem. Začal se zabývat řešením teoretických problémů, které vyplývaly z praktických výsledků expedic, uskutečněných o několik let dříve.

Od 20. dubna 1736 do 20. srpna 1737 se Clairaut účastnil expedice na Lapland, jíž vedl Maupertuis. Účelem expedice bylo měření zeměpisné délky. Expedici zorganizovala Pařížská akademie věd, která tak pokračovala v programu započatém Cassinim. Cílem bylo ověřit Newtonův teoretický důkaz, že Země má tvar zploštělé koule. Kromě Maupertuise a Clairauta se expedice účastnili další mladí vědci, jako byl Lemonnier, Camus a Celsius.

V roce 1743 Clairaut publikoval článek "Théorie de la figure de la Terre", který potvrzoval Newtonovu a Huygensovu víru, že Země je na pólech zploštělá. Clairautova kniha byla teoretickou studií na základě experimentálních dat, která expedice získala na ostrově Lapland. Kniha se stala důležitým základem hydrostatiky. Práce vycházela z Newtonovy a Huygensovy teorie, podle níž je Země zploštělá na pólech, a z Maclaurinovy práce o slapech, na níž Clairaut postavil své závěry o hydrostatice.

V roce 1745 začal Clairaut pracovat na problému tří těles, který je mimo jiné problémem přesného určení dráhy Měsíce kolem Země při gravitačním působení Slunce. Dospěl k závěrům, že Newtonova teorie gravitace není správná a že gravitační zákon, podle něhož dvě tělesa na sebe působí gravitační silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti, neplatí. Euler s Clairautem souhlasil. 30. září 1747 Clairautovi napsal, že je schopen podat několik důkazů, podle nichž se Měsíc nepohybuje přesně podle Newtonových zákonů.

Clairaut s Eulerovou podporou oznámil 15. listopadu 1747 Pařížské akademii, že Newtonův gravitační zákon neplatí. Těsně před Clairautem d'Alembert předal Akademii článek, podle něhož jeho výpočty souhlasí s Claitautovými.

V té době nikoliv všichni matematici věřili Newtonově teorii. Někteří z nich uznávali Descartovy vírové teorie. Oznámení, že Newtonova teorie je nesprávná, potěšilo většinu Descartových příznivců. Dokonce Euler začal uznávat Descartovu teorii. Někteří naopak na Clairautovo ohlášení útočili různými argumenty, jako například Buffon, který se opíral o metafyzický argument jednoduchosti Newtonova zákona.

Na jaře roku 1748 Clairaut zjistil, že rozdíly mezi pozorovaným pohybem Měsíce a pohybem předpovězeným jeho teorií jsou způsobeny chybami aproximací a nikoliv neplatností Newtonova gravitačního zákona. Clairaut 17. května 1749 oznámil, že jeho teorie je nyní v souhlasu s Newtonovým gravitačním zákonem. Pak následoval období soutěže d'Alemberta a Eulera, kteří zopakovali Clairautovy výpočty.

Euler stále cítil, že nepochopil Clairautovy důkazy a proto se přiměl Akademii v St. Petersburgu, aby na řešení problému pohybu Měsíce vypsala cenu pro rok 1752. Clairaut pak zaslal Akademii svoji práci, díky níž Euler plně pochopil Clairautovu metodu. Euler přiznal svoji porážku a uvedl, že Clairaut učinil nejvýznamnější objev v celé matematice.

Clairaut publikoval v roce 1752 práci "Théorie de la lune" a o dva roky později publikoval tabulky aspektů Měsíce.

Na základě řešení problému tří těles se Clairaut rozhodl použít svoji metodu pro výpočet dráhy Halleyovy komety a chtěl předpovědět přesné datum jejího návratu. Vypočetl, že Halleyova kometa bude v perihéliu 15. dubna 1759 a svoji předpověď oznámil Pařížské akademii 14. listopadu 1758. Halleyova kometa prošla perihéliem 13. března 1759, což byl v té době vynikající úspěch a Clairaut získal veřejnou popularitu.

Clairaut opravil své výsledky, když použil jinou metodu, než použil ve své práci pro Akademii v St. Petersburgu. Do řešení problému zahrnul perturbace dráhy způsobené Jupiterem a Saturnem.

Kvůli práci o dráze komet došlo ke sporu mezi Clairautem a d'Alembertem. Když Clairaut psal hodnocení d'Alembertovy knihy obsahující tabulky aspektů Měsíc, nebyl zcela objektivní a naopak vyzdvihl své vlastní tabulky.

D'Alembert naopak kritizoval Clairautovo řešení problému tří těles, které podle jeho názoru více vycházelo z pozorování než z teoretických závěrů. Clairaut ostře zaútočil na d'Alemberta a tento jejich spor trval prakticky po celou dobu jejich života. Dnes lze obtížně rozhodnout, který z obou matematiků měl pravdu. Clairaut však měl na své straně veřejné mínění kvůli své úspěšné předpovědi datumu návratu Halleyovy komety.

Clairaut přispěl k rozvoji i dalších oblastí vědy, zejména přispěl k objasnění aberace světla. Ke svým závěrům dospěl díky řadě pozorováním v expedici na Lapland. Clairaut určil korekce kvůli aberaci světla, které je třeba použít při výpočtu drah planet a komet. Clairaut se také zajímal o vývoj dalekohledu, k němuž přispěl sestrojením čoček ze dvou různých typů skla. Napsal také několik důležitých prací na toto téma, které obsahují jak teoretické závěry tak popis optických experimentů. Tuto práci ale do své smrti nedokončil.

V matematice se Clairaut zajímal o celou řadu problémů. V roce 1749 napsal knihu o algebře "Elements d'algebre" a v roce 1765 napsal knihu o geometrii "Elements de géometrie".

Clairautova kniha o algebře byla dobrou učebnicí a zabývala se řešením rovnic až čtvrtého řádu. Tato učebnice se používala na francouzských školách řadu let.

Clairaut zemřel ve věku 52 let po krátké nemoci. Byl na vrcholu svých sil. Clairaut byl přijat do Královské společnosti v Londýně, do Akademie v Berlíně, do Akademie v St. Petersburgu, v Bologni a v Uppsale.

Leohnard Euler byl synem Paula Eulera, který studoval teologii na Univerzitě v Basileji a navštěvoval zde přednášky Jacoba Bernoulliho, u něhož Paul Euler a Johann Bernoulli během studií v Basileji bydleli. Paul Euler se stal protestantským knězem a oženil se s Margaret Bruckerovou, dcerou protestantského kněze. Jejich syn Leonhard se narodil v Basileji, ale rodina se přestěhovala do Riehenu nedaleko Basileje, kde Leonhard vyrůstal. Paul Euler měl určité matematické vzdělání a svého syna učil kromě jiných předmětů také základům matematiky.

Leonhard pak začal chodit do školy v Basileji a bydlel u své babičky z matčiny strany. Škola ale byla chudá a Euler se v té době nenaučil z matematiky nic nového. Ale zájem o matematiku u něj neustále rostl díky základům, které získal od svého otce. Leonhard začal studovat matematické texty a chodil na soukromé hodiny matematiky. Eulerův otec chtěl, aby Leonhard studoval na Univerzitě v Basileji na kněze. Leonhard v roce 1720 ve věku 14 let proto začal studovat na Univerzitě, kde měl nejprve získat všeobecné vzdělání. Johann Bernoulli brzy objevil Eulerův talent pro matematiku a poskytoval mu soukromé lekce. Leonhard Euler později o svém učiteli napsal, že sice byl velmi zaneprázdněn a občas soukromé lekce zrušil, ale poskytl mu potřebné základy pro vlastní studium obtížných matematických knih.

V roce 1723 Leonhard Euler se stal magistrem filozofie za svoji práci, ve které porovnal filozofické názory a myšlenky Descartese a Newtona. Na podzim roku 1723 začal studoval teologii podle otcova přání. Přestože po celý život byl oddaným křesťanem, pro studium teologie, řečtiny a hebrejštiny nenašel potřebné nadšení, které měl pro matematiku. Johann Bernoulli přesvědčil Eulerova otce, aby se Leonhard mohl věnovat matematice.

Leonhard Euler dokončil studium na Univerzitě v Basileji v roce 1726. Během svého studia prostudoval řadu matematických prací Varignona, Descartese, Newtona, Galilea, von Schootena, Jacoba Bernoulliho, Hermanna, Taylora a Wallise. V roce 1726 publikoval svůj krátký článek o isochronních křivkách v médiu kladoucím odpor. V roce 1727 Euler publikoval další článek o recipročních trajektoriích a zaslal Pařížské akademii svoje řešení problému nejlepšího umístění stožárů na lodi, na který akademie vypsala Velkou cenu.

Cenu Pařížské akademie získal Bouguer, odborník zabývající se matematikou lodních konstrukcí. Druhé místo získala Eulerova práce. Když v roce 1726 zemřel Nicolaus Bernoulli, Euler dostal nabídku na uvolněné místo v St. Petersburgu a začal vyučovat aplikace matematiky a mechaniky ve fyziologii. Místo získal sice v listopadu 1726, ale rozhodl se odcestovat do Ruska až na jaře. Jedním z důvodů bylo, že si chtěl předem prostudovat témata, která měl přednášet. Druhým důvodem bylo, že usiloval o získání místa profesora fyziky na Univerzitě v Basileji, které se zde uvolnilo. Euler napsal článek o akustice, ale na místo v Basileji vybrán nebyl, protože měl příliš nízký věk.

Když se Euler dověděl, že na místo profesora fyziky nebyl jmenován, 5. dubna 1727 z Basileje odejel. Cestoval lodí dolů po Rýnu, hranice německých států překročil v poštovním vagóně a pak cestoval lodí z Lübecku. Do St. Petersburgu přijel 17. května 1727. Členem Akademie věd v St. Petersburgu se stal dva roky po jejím založení Kateřinou I., manželkou Petra Velikého. Na základě žádostí Daniela Bernoulliho a Jakoba Hermanna byl Euler jmenován do matematicko-fyzikálního oddělení Akademie místo do původně nabídnutého oddělení fyziologie.

V letech 1727 až 1730 Euler sloužil jako poručík zdravotní služby ruského námořnictva. V St. Petersburgu se Euler stýkal s Danielem Bernoullim, který zde také nebyl spokojen a vozil Eulerovi čaj, kávu, brandy a další lahůdky ze Švýcarska. V roce 1730 se Euler stal profesorem fyziky na Akademii věd a díky tomu se mohl stát řádným členem akademie, což mu umožnilo odejít ze služeb ruského námořnictva.

V roce 1733 se Daniel Bernoulli rozhodl odejít z Ruska zpět do Basileje a Euler po něm převzal uvolněné místo matematika v Akademii. Vyšší finanční příjem mu umožnil, aby se oženil 7. ledna 1734 s Katharinou Gsellovou, dcerou malíře z gymnázia v St. Petersburgu. Katharina Gsellová, podobně jako Euler, pocházela ze švýcarské rodiny. Během jejich manželství měli třináct dětí, ale jen pět z nich se dožilo dospělosti. Euler později uvedl, že některé ze svých největších objevů učinil s dítětem v náručí a dalšími dětmi kolem sebe.

Po roce 1730 se Leonhard Euler zabýval kartografií, vědeckým vzděláváním, magnetismem, mechanickými stroji a stavbou lodí. Jádrem jeho vědeckého zájmu byla ale teorie čísel, diferenciální rovnice, variační počet a racionální mechanika. Všechny tyto oblasti Euler chápal v těsných souvislostech. Studium čísel považoval za základ počítání, speciální funkce a diferenciální rovnice za základ racionální mechaniky, která slouží pro řešení konkrétních problémů.

V letech 1736 až 1737 Leonhard Euler publikoval řadu článků a knihu "Mechanica", která popisovala Newtonovou dynamiku pomocí matematické analýzy.

V roce 1735 ale Eulera postihly vážné zdravotní problémy, které ho poznamenaly po zbytek života. Ve své autobiografii Euler napsal, že jeho problémy se zrakem začaly v roce 1738. Euler musel zanechat kartografických prací, protože oslepl na jedno oko a zrak druhého oka měl ohrožen.

Calinger ale uvádí, že Eulerovy problémy se zrakem začaly po vážné horečce v roce 1735, která byla zřejmě příznakem přílišného namáhání zraku. Portrét Eulera z roku 1753 naznačuje, že jeho pravé oko bylo v té době v pořádku, ale levé oko bylo silně krátkozraké. Calinger také uvádí, že Euler na levé oko oslepl nikoliv kvůli nadměrné námaze, ale kvůli šedému zákalu.

V roce 1740 Euler dosáhl značného věhlasu poté, co v roce 1738 a v roce 1740 vyhrál Velkou cenu Pařížské akademie. V obou případech se o první místo dělil s dalšími vítězi. Díky svému věhlasu Euler dostal nabídku z Berlína, avšak rozhodl se zůstat v St. Petersburgu. Politická situace v Rusku brzy postavení cizinců značně ohrozila a Euler své mínění změnil. Vědeckou společnost v Berlíně měla nahradit nově vznikající Akademie věd. Euler přijal pozvání a 19. června 1741 opustil St. Petersburg a do Berlína dorazil 25. července.

V Berlíně Euler pobíral také část platu z Ruska. Euler v Berlíně nakupoval vědecké knihy a přístroje pro Akademii v St. Petersburgu, pokračoval ve své vědecké práci a vzdělával mladé Rusy.

V roce 1744 byla v Berlíně založena Akademie věd a Maupertuis se stal jejím prvním prezidentem. Euler byl jmenován ředitelem oddělení matematiky. V době nepřítomnosti Maupertuise ho Euler zastupoval a oba matematikové se brzy stali přáteli.

Euler v Akademii věd nepůsobil pouze jako ředitel oddělení matematiky, ale staral se také o observatoř, botanickou zahradu, přijímal nové zaměstnance a dohlížel na publikování různých kalendářů a geografických map, jejichž prodej byl jedním ze zdrojů příjmu Akademie. Král pověřil Eulera také některými praktickými úkoly, jako byl v roce 1749 projekt úpravy říčního kanálu Finow. Euler v té době dohlížel na provoz čerpadel a potrubí hydraulického systému v Sans Sourci, kde bylo letní královské sídlo.

Euler také řídil výbor Akademie pro knihovnu a vědecké publikace. Dále pracoval jako poradce vlády pro státní loterie, pojištění, úroky, důchody a dělostřelectvo.

Během 25 let působení v Berlíně Leonhard Euler napsal kolem 380 článků. Napsal knihy o variačním počtu, o výpočtech drah planet, o dělostřelectvu a balistice, o analýze, o stavbě lodí, o námořní navigaci, o pohybu Měsíce. Dále napsal přednášky o diferenciálním počtu a v letech 1768 až 1772 populárně vědeckou knihu ve třech svazcích "Dopisy princezně Německa".

V roce 1759 Maupertuis zemřel a Euler fakticky převzal vedení Akademie věd, ale nebyl jmenován prezidentem. Euler v té době u krále Fredericka nebyl v oblibě, navzdory Eulerovým předchozím zásluhám. V roce 1763 král nabídl funkci prezidenta Akademie d'Alembertovi, který ale nechtěl odejít do Berlína. Eulerovy spory s králem pokračovaly a Euler se rozhodl z Berlína odejít.

V roce 1766 Euler odejel do St. Petersburgu, což krále značně rozzlobilo. Krátce po svém návratu do St. Petersburgu Euler po nemoci zcela oslepl. V roce 1771 Eulerův dům byl zničen požárem a Euler zachránil holý život a své matematické rukopisy.

V roce 1771 se Euler podrobil operaci šedého zákalu, ale protože neměl dostatečnou zdravotní péči, znovu oslepl. Díky své výjimečné paměti Euler pokračoval ve své práci zabývající se optikou, algebrou a pohybem Měsíce. Je neuvěřitelné, že téměř polovinu své vědecké práce Euler vytvořil po svém návratu do St. Petersburgu, přestože byl slepý.

Euler by samozřejmě nemohl nikdy dosáhnout takových výsledků, nebýt pomoci jeho synů a členů akademie. Johann Albrecht Euler získal v roce 1776 místo fyzika na Akademii, a Christoph Euler působil v ruské armádě. Eulerovi dále pomáhali dva členové Akademie, W.L. Krafft a A.J. Lexell, a mladý matematik N. Fuss, který byl v roce 1772 Eulerem pozván do Švýcarska. Vědci, kteří Eulerovi pomáhali, nebyli pouhými asistenty, ale diskutovali s Eulerem o obecném schématu jeho práce a rozvíjeli jeho myšlenky, počítali tabulky a někdy připravovali příklady.

N. Fuss pomohl Eulerovi během sedmi let připravit více než 250 článků pro publikování, včetně Eulerovy důležité práce o pojišťování, která byla publikována v roce 1776.

18. září 1783 Euler strávil první polovinu dne jako obvykle. Věnoval hodinu matematiky jednomu ze svých vnoučat, provedl několik výpočtů o pohybu balónů křídou na dvou tabulích, pak diskutoval s Lexellem a Fussem o nedávném objevu planety Uran. Kolem páté hodiny odpoledne ho postihlo krvácení do mozku a řekl jen "umírám", než ztratil vědomí. Zemřel kolem jedenácté hodiny večer.

Po Eulerově smrti v roce 1783 Akademie v St. Petersburgu publikovala Eulerovy dosud nepublikované práce zhruba ještě dalších padesát let.

Eulerova celoživotní práce je velice rozsáhlá a nelze ji v krátkosti shrnout. Euler byl nejproduktivnějším autorem textů z matematiky všech dob. Euler posunul hranice studia analytické geometrie a trigonometrie, kde jako první zavedl funkce sinus, cosinus a další.

Euler sjednotil Leibnizův diferenciální počet a Newtonovu metodu fluxonů do matematické analýzy. Zavedl beta a gama funkci a integrační faktor diferenciálních rovnic. Studoval mechaniku kontinua, s Clairautem lunární teorii, problém tří těles, pružnost, akustiku, vlnovou teorii světla, hydrauliku a hudbu. Je zakladatelem analytické mechaniky díky své práci "Teorie pohybu pevných těles" z roku 1765.

V roce 1734 Euler zavedl zápis funkce f(x), v roce 1727 zavedl základ přirozených logaritmů e, v roce 1777 imaginární jednotku i pro odmocninu z -1, v roce 1755 číslo pí a symbol pro součet řady. Dále zavedl označení pro první a druhou diferenci a řadu dalších symbolů.

Eulerova teorie čísel byla zřejmě motivována Goldbachem, ale zájem o tuto teorii u Eulera probudil Bernoulli. V roce 1729 se Goldbach dotázal Eulera, zda zná Fermatovu domněnku, kdy číslo

2ⁿ + 1

je vždy prvočíslo, je-li n mocnina čísla 2. Euler tuto domněnku uvěřil pro n = 1,2,4,8,16. Prokázal ale, že číslo

2³² + 1 = 4294967297

je dělitelné číslem 641 a proto není prvočíslem. Euler studoval další nedokázané Fermatovy výsledky a zavedl Eulerovu funkcí f(n) jako počet celých čísel k mezi čísly 1 až n, kde k a n jsou nesoudělná. V roce 1749 Dokázal Fermatovo tvrzení, že pokud a, b jsou nesoudělná, pak a² + b² nemá dělitel tvaru 4n + 1.

Největší věhlas Eulerovi získalo řešení tzv. Basilejského problému. Šlo o nalezení součtu řady

z(k) = \sum{n=1}{\infty} 1/n^k   pro k=2,

problém, který trápil řadu významných matematiků, včetně Jacoba Bernoulliho, Johanna Bernoulliho a Daniela Bernoulliho. Problém studovali neúspěšně také Leibniz, Stirling, de Moivre a další. Euler v roce 1735 nejenže ukázal, že součet této řady je p²/6, ale dokázal také, že z(4) = p⁴/90, z(6) = p⁶/945, z(8) = p⁸/9450, z(10) = p¹⁰/9355 a z(12) = p¹²/638512875. V roce 1737 Euler dokázal souvislost mezi zeta funkcí a řadami prvočísel.

V roce 1739 Euler nalezl racionální koeficienty C ve vztahu

z(2n) = C.p²ⁿ.

Další Eulerova práce týkající se nekonečných řad, vedla v roce 1735 k zavedení Eulerovy konstanty gama jako limity řady

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln n

pro n jdoucí k nekonečnu. Euler vypočet Eulerovu konstantu na 16 desetinných míst. Euler studoval také Fourierovy řady a v roce 1744 jako první v dopise Goldbachovi vyjádřil algebraickou funkci pomocí této řady:

p/2 - x/2 = sin x + (sin 2x)/2 + (sin 3x)/3 + ...

8. června 1736 Euler napsal Jamesi Stirlingovi o svých výsledcích součtu recipročních mocnin, harmonických řad, Eulerově konstantě a dalších výsledcích. Mimo jiné napsal, že pro součet velmi pomalu konvergujících řad objevil zvláštní metodu, pomocí níž lze najít součet řady dostatečně přesně a s malou námahou.

Euler také popsal vztah, který se dnes nazývá Eulerův Maclaurinův součtový vzorec. O dva roky později Eulerovi napsal Sterling, že Maclaurin bude publikovat knihu o fluxonech, ve které jsou dvě věty pro součet řad s derivacemi členů, které mu Euler již dříve zaslal. Euler odpověděl, že nechce nic ubírat ze slávy Mclaurina, který objevil některé věty o řadách před ním, a že si zaslouží být označován za jejich objevitele.

Některé výsledky z teorie čísel již byly zmíněny dříve. Dalším důležitým výsledkem z teorie čísel byl důkaz Fermatovy poslední věty pro n = 3. Zřejmě důležitějším výsledkem, než byl samotný důkaz, bylo zavedení čísla ve tvaru a + b \sqrt(-3) pro celá čísla a, b. Tento nový tvar čísla zřejmě vedl ke Kummerově významné práci o Fermatově poslední větě a k zavedení pojmu okruh.

Bezesporu lze tvrdit, že vznik matematické analýzy lze spojit s Leonhardem Eulerem. Ve své práci z roku 1748 "Introductio in analysin infinitorum" Euler zpřesnil myšlenky Johanna Bernoulliho týkající se funkcí a naznačil, že matematická analýza je studiem funkcí. Tato práce položila základy teorie elementárních funkcí. Obsahuje také vztah

e^ix = cos x + i sin x

V práci "Introductio in analysin infinitorum" se Euler zabýval logaritmy pouze kladných hodnot, ačkoliv v roce 1727 objevil vztah

ln(-1) = p.i

Úplnou teorii logaritmů komplexních čísel publikoval v roce 1751.

Analytické funkce komplexní proměnné Euler objevil v řadě různých souvislostí, včetně studia ortogonálních trajektorií a v kartografii. Cauchyho-Riemannovy podmínky objevil v roce 1777, D'Alembert je objevil již v roce 1752 při studiu hydrodynamiky.

V roce 1755 Euler publikoval práci "Institutiones calculi differentialis", která se zabývala studiem počtu konečných diferencí. Přínosem této práce byl popis chování diferencí při různých substitucích.

V práci "Institutiones calculi integralis" z let 1768 až 1770 se Euler zabýval integrály, které lze vyjádřit ve tvaru elementárních funkcí. Dále studoval vlastnosti beta a gama funkce, které Euler definoval v roce 1729. Legendre tyto funkce nazýval "Eulerovy integrály prvního a druhého druhu", zatímco Binet a Gauss je nazývaly beta a gama funkce. Euler dále objevil dvojné integrály, když se zabýval obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi.

Další oblastí, jíž se Euler zabýval a učinil zásadní objevy, byl variační počet. Ve své práci "Methodus inveniendi lineas curvas..." z roku 1740 začal své vlastní studium variačního počtu.

Problémy matematické fyziky přivedly Eulera k rozsáhlému studiu diferenciálních rovnic. Zabýval se lineárními rovnicemi s konstantními koeficienty, diferenciálními rovnicemi druhého řádu s proměnnými koeficienty, řešením diferenciálních rovnic pomocí mocninných řad, metodou variace konstant, integračními faktory, metodou aproximací řešení a řadou dalších problémů. Když se Euler zabýval vibrujícími membránami, využil Besselovu rovnici a jako její řešení Besselovy funkce.

Euler se také zabýval diferenciální geometrií. Studoval teorii ploch a křivost ploch. Řada jeho nepublikovaných výsledků byla znovu objevena Gaussem. Díky svému studiu geometrie Euler dospěl k některým základním myšlenkám topologie, jako je Eulerova charakteristika mnohostěnu. Jestliže je mnohostěn konvexní, pak platí:

v + f - e = 2

kde "v" je počet vrcholů, "e" je počet hran a "f" je počet stěn.

V roce 1736 Euler publikoval práci "Mechanica", v níž shrnul své výsledky z mechaniky získané systematickým použitím metod matematické analýzy. Práce všech dřívějších autorů o mechanice vycházely z geometrických představ. Euler byl první, kdo zavedl do mechaniky jednotné analytické metody.

V práci "Mechanica" se Euler zabýval pohybem hmotného bodu ve vakuu a v prostředí kladoucím odpor. Analyzoval pohyb hmotného bodu při působení dostředivé síly a pohyb hmotného bodu po ploše.

Na svoji práci "Mechanica" Euler později navázal důležitou prací o racionální mechanice, která se zabývala teoretickou a praktickou mechanikou. Euler se v té době zabýval lodním pohonem. Použil variační principy pro výpočet optimálního tvaru lodního trupu a jako první stanovil principy hydrostatiky. Euler se v této práci také zabýval kinematikou a dynamikou pevných těles a popsal diferenciální rovnice jejich pohybu.

V roce 1765 Euler publikoval ještě další významnou práci o mechanice "Theoria motus corporum solidorum", v níž rozložil pohyb tělesa na přímočarou a rotační složku pohybu. Euler zde definoval Eulerovy úhly a studoval rotační problémy, když se zajímal o precesi setrvačníků.

Euler se také zabýval mechanikou kapalin. V 50. letech 18. století publikoval několik významných prací na toto téma. Popsal základní rovnice, rovnici kontinuity, Laplaceovu potenciální rovnici rychlosti a Eulerovu rovnici pohybu nestlačitelní kapaliny.

V astronomii se Euler zabýval určením dráhy komet a planet na základě několika pozorování, metodou výpočtu paralaxy Slunce, teorií refrakce, úvahami o fyzikální povaze komet. Jeho významné práce, které byly několikrát oceněny pařížskou Académie des Sciences, se týkaly zejména nebeské mechaniky a zaujaly řadu vědců tehdejší doby.

Eulerovu lunární teorii využil Tobias Mayer při vytváření tabulek elementů dráhy Měsíce. V roce 1765 Tobias Mayer obdržel od britské vlády 3000 liber za své tabulky a řešení problému měření zeměpisné délky, zatímco Euler obdržel jen 300 liber za teoretický přínos.

Euler publikoval také práce o teorii hudby. V roce 1739 publikoval svoji práci "Tentamen novae theoriae musicae", v níž se pokusil hudbu popsat matematicky pomocí různých principů. Pro hudebníky byla práce ale příliš matematická a pro matematiky naopak příliš hudební.

Euler se zabýval také kartografií a v roce 1735 byl jmenován ředitelem geografického oddělení Akademie v St. Petersburgu. Mimo jiné se podílel na přípravě map celého Ruského impéria. Výsledkem spolupráce s Delislem byl "Ruský atlas" z roku 1745, který obsahoval 20 map.

Joseph-Louis Lagrange je obvykle považován za francouzského matematika, ale Italská encyklopedie o něm hovoří jako o italském matematikovi. Potvrzením jeho italského původu je jeho místo narození a jeho křestní jméno Giuseppe Lodovico Lagrangia. Jeho otec Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia byl pokladníkem Úřadu veřejných prací a opevnění v Turíně, jeho matka Teresa Grosso byla dcerou lékaře z Cambiana nedaleko Turína. Lagrange byl jedním z jejich jedenácti dětí, z nichž pouze dvě se dožila dospělosti.

Turín (Torino) byl hlavním městem knížectví Savojsko. V roce 1720 se Turín stal hlavním městem království Sardinie. Lagrangeova rodina měla francouzské příbuzenské vztahy z otcovy strany. Jeho praděd byl francouzským kapitánem jízdy, který opustil Francii a našel si práci v Savojsku. Lagrange vždy tíhnul ke svým francouzským předkům a své jméno uváděl jako Lodovico LaGrange nebo Luigi Lagrange jako francouzskou podobu svého příjmení.

Ačkoliv Lagrangeův otec zastával významné místo ve službách královského dvora Sardinie, rodina nebyla příliš bohatá. Lagrangeův otec přišel o značnou sumu peněz v neúspěšné finanční spekulaci. Otcovy plány, aby se Lagrange stal právníkem, proto ztroskotaly. Lagrange studoval Univerzitu v Turíně a jeho oblíbeným předmětem byla latina. Zpočátku neprojevoval zájem o matematiku, protože řeckou geometrii považoval za hloupou.

Lagrange se začal o matematiku zajímat když si přečetl kopii Halleyovy práce z roku 1693 o použití algebry v optice. Začala ho také přitahovat fyzika díky vynikající výuce Beccarii na Univerzitě v Turíně a rozhodl se zabývat se matematikou profesionálně. Svět matematiky vděčí finančnímu neúspěchu Lagrangeova otce, protože Lagrange později napsal, že pokud by byl bohatý, tak by se matematikou nikdy nezabýval.

23. července 1754 Lagrange publikoval svůj první článek napsaný italsky ve formě dopisu Guiliu Fagnanovi. Tento dopis Lagrange podepsal jako Luigi D la Grande Tournier. Článek ještě není vynikajícím dílem a naznačuje, že v té době Lagrange ještě pracoval bez pomoci zkušenějšího matematika. Článek popisuje analogii mezi binomickou větou a derivací součinu funkcí. Měsíc poté, co byl článek publikován, Lagrange zjistil, že stejný výsledek se objevil v korespondenci mezi Johannem Bernoullim a Leibnizem. Lagrange byl tímto zjištěním velmi znepokojen, protože se obával, že bude považován za někoho, kdo kopíruje výsledky od jiných. Nic takového se však nestalo. Lagrange si ale uvědomil, že své výsledky musí publikovat odpovídajícím způsobem. Začal pracovat na studiu tautochrony, křivky, po níž se pohybuje hmotná částice tak, aby do určitého pevného bodu dorazila za stejný čas nezávisle na její počáteční poloze. Koncem roku 1754 Lagrange učinil významné objevy o tautochroně, které vedly ke vzniku nového matematického oboru, variačního počtu (v té době se ještě nenazýval "variačním počtem", až v roce 1766 toto označení poprvé použil Euler).

Lagrange své výsledky o tautochroně obsahující metody výpočtu maxima a minima zaslal Eulerovi. Dopis zaslal 12. srpna 1755. Euler na dopis odpověděl 6. září a vyjádřil v něm zaujetí novými Lagrangeovými myšlenkami. Přestože Lagrangeovi bylo jen 19 let, byl 28. září 1755 jmenován profesorem matematiky na Královské dělostřelecké škole. Díky tomu Lagrange mohl dále rozvíjet svůj nevídaný matematický talent.

V roce 1756 Lagrange zaslal Eulerovi své výsledky získané aplikací variačního počtu na mechaniku. Tyto výsledky zobecňovaly Eulerovu práci a Euler proto o významném mladém matematikovi referoval prezidentovi Akademie Maupertuisovi. Lagrange svojí prací definoval princip nejmenší akce, který se brzy stal jedním ze základních nástrojů formulace fyzikálních teorií. Maupertuis navrhl Eulerovi, aby Lagrange přesvědčil, že profesura v Prusku by byla pro něj významnější než profesura, kterou měl v Turíně. Lagrange ale netoužil po slávě a velikosti. Chtěl pouze veškerý čas věnovat matematice a nabízené místo v Prusku odmítl.

Euler také navrhl, aby byl Lagrange přijat do Berlínské akademie. Lagrange se stal členem Berlínské akademie 2. září 1756. Následujícího roku se stal zakládajícím členem vědecké společnosti v Turíně, která se později stala Královskou akademií věd v Turíně. Nová společnost začala publikovat vědecký časopis Mélanges des Turin, v něm se objevovaly články ve francouzštině a v latině. Lagrange významně přispěl do prvních svazků časopisu v letech 1759, 1762 a 1766.

Lagrangeovy články naznačují jeho zájmy o různé problémy. Lagrange publikoval zajímavé výsledky o variačním počtu a krátkou práci o počtu pravděpodobnosti. Svoji práci o základech dynamiky Lagrange založil na principu nejmenší akce a kinetické energie.

V časopise Mélanges des Turin Lagrange publikoval rozsáhlou studii o šíření zvuku, která se stala základem teorie vibrací strun. Lagrange sám studoval práce Newtona, Daniela Bernoulliho, Taylora, Eulera a d'Alemberta. Lagrange pro vibrující struny použil diskrétní hmotnostní model, obsahující n hmotností, které jsou přiřazeny nehmotným strunám. Podařilo se mu vyřešit výsledný systém n+1 diferenciálních rovnic. Pak nechal n růst nade všechny meze a získal stejné funkcionální rovnice jako Euler. Jeho zcela odlišná cesta k řešení ale jasně ukazuje, že Lagrange vycházel ze zcela odlišných metod než Euler, jehož si velice vážil.

V článcích ve třetím svazku časopisu Mélanges des Turin se Lagrange zabýval integrací diferenciálních rovnic a nalezl různé aplikace těchto metod např. v mechanice kapalin (kde se poprvé objevuje Lagrangeova funkce). V článcích se poprvé objevují metody řešení systému lineárních diferenciálních rovnic pomocí charakteristických hodnot lineární substituce. Své metody také použil na studium dráhy planety Jupiter a Saturn.

V roce 1762 vyhlásila pařížská Akademie věd (Académie des Sciences) soutěž na řešení problému librací Měsíce. Librace Měsíce je pohyb, při němž se nepatrně mění poloha přivrácené strana Měsíce. Lagrange se této soutěže zúčastnil a svoji přihlášku poslal v roce 1763, která do Paříže dorazila nedlouho předtím, než do Paříže dojel on sám. V listopadu Lagrange odjel z Turína na svoji první dlouhou cestu, kdy doprovázel Marquise Caraccioliho, vyslance v Turíně, který měl působit v Londýně. D'Alembert byl zklamán tím, že Paříž přijala Lagrange poměrně chladně. Lagrange v Paříži onemocněl a zůstal zde bez finančních prostředků.

Počátkem roku 1765 se Lagrange vrátil do Turína. Zaslal pařížské akademii Académie des Sciences svoji práci o pohybu měsíců Jupitera. D'Alembert navštívil Berlínskou akademii a díky svému přátelství s Frederickem II. v Prusku získal pro Lagrange nabídku členství v Berlínské akademii. Lagrange ale tuto nabídku znovu odmítl, dokud v Berlíně působí Leonhard Euler, kterému zřejmě nechtěl nijak konkurovat.

V březnu 1766 se d'Alembert dověděl, že Euler se vrátil do St. Petersburgu a znovu napsal Lagrangeovi nabídku, aby přijal místo v Berlíně. V dubnu 1766 Lagrangeovi napsal Frederick II. a Lagrange konečně místo přijal. V dubnu 1766 opustil Turín a při své cestě navštívil d'Alemberta v Paříži, pak Caraccioliho v Londýně a v říjnu 1766 dorazil do Berlína. Lagrange se stal po Eulerovi 6. listopadu 1766 ředitelem oddělení matematiky Berlínské akademie věd.

Lagrange byl většinou členů Akademie vřele přijat a stal se blízkým přítelem Lamberta a Johanna Bernoulliho. Ne všichni však byli nadšeni tím, že Lagrange získal v mladém věku tak prestižní místo. Zejména Castillon, který byl o 32 let starší než Lagrange, nebyl nadšen tím, že po Eulerovi byl jmenován Lagrange. Asi o rok později se Lagrange oženil s jednou ze svých sestřenic Vittorií Conti. Nikdy však neměli děti, snad proto, že si je nepřáli, jak Lagrange napsal d'Alembertovi v jednom ze svých dopisů.

Turín stále litoval ztráty Lagrange a čas od času se snažil ho přesvědčit k návratu, jak tomu bylo v roce 1774. Lagrange ale zůstal pracovat v Berlíně dvacet let, produkoval nepřetržitý sled vynikajících vědeckých článků a pravidelně získával cenu Académie des Sciences v Paříži. V roce 1772 obdržel tuto cenu společně s Eulerem za problém tří těles, v roce 1774 za pohyb Měsíce, v roce 1780 za problém perturbace drah komet a planet.

V Berlíně se Lagrange zabýval řadou témat, astronomií, stabilitou sluneční soustavy, mechanikou, dynamikou, mechanikou kapalin a pravděpodobností. Pracoval také na teorii čísel a v roce 1770 dokázal, že každé celé kladné číslo je součtem čtyř druhých mocnin. V roce 1771 dokázal Wilsonovu větu (větu Johna Wilsona), kdy n je prvočíslo tehdy a jen tehdy když (n-1)!+1 je dělitelné číslem n. V roce 1770 publikoval svoji důležitou práci "Réflexions sur la résolution algébrique des équations", která obsahovala důležité závěry o tom, proč rovnice čtvrtého stupně lze řešit rozkladem na kořenové činitele. Tato práce jako první chápe kořeny rovnice za abstraktní objekt a nikoliv pouze za numerickou hodnotu. Lagrange studoval také permutace kořenů a tak jako první započal vývoj teorie grup, na který navázali Ruffini, Galois a Cauchy.

Ačkoliv Lagrange svými články významně přispěl k rozvoji mechaniky, nikdy nenapsal žádnou souhrnnou práci. K této práci se rozhodl v roce 1782, když o tom napsal 15. září 1782 Laplaceovi. V dopise se uvádí, že již téměř dokončil práci "Traité de mécanique analytique", která byla založena na principu skutečných rychlostí.

Caraccioli, který pobýval na Sicílii, si přál, aby se Lagrange vrátil do Itálie a nabídl mu v roce 1781 místo ředitele oddělení filozofie v Neapolské akademii. Ale Lagrange nabídku odmítl, protože se chtěl zabývat výlučně matematikou a místo v Berlíně mu poskytovalo k tomu ideální podmínky. Bohužel, jeho zdraví se zhoršilo a jeho manželka vážně onemocněla a v roce 1783 po několika letech nemoci zemřela. Lagrange upadl do hluboké deprese. V roce 1786 Frederick II. zemřel a Lagrangeovo místo v Berlíně bylo ohroženo. Řada italských představitelů očekávala, že se Lagrange vrátí do Itálie.

Lagrange ale přijal až nabídku z Paříže. 18. května 1787 opustil Berlín a stal se členem pařížské Académie des Sciences, jímž zůstal až do konce své kariéry. Lagrange bez úhony přežil Francouzskou revoluci a pokračoval ve své vědecké práci.

V roce 1788 byla publikována práce "Traité de mécanique analytique", kterou Lagrange napsal ještě v Berlíně. Práci k vydání připravil výbor Académie des Sciences, jehož členy byli Laplace, Cousin, Legendre a Condorcet. Legendre prostudoval všechny důkazy a byl vydavatelem této práce. "Traité de mécanique analytique" byla souhrnem veškerých znalostí v oblasti mechaniky od doby Newtona. V celé práci je využívána teorie diferenciálních rovnic. Lagrange tímto způsobem mechaniku přeměnil v oblast matematické analýzy.

V květnu 1790 se Lagrange stal členem výboru Académie des Sciences pro standardizaci vah a měr. Komise pracovala na metrickém systému a prosazovala jeho desítkový základ. V roce 1792 se Lagrange podruhé oženil s Renée-Francoise-Adélaide Le Monnier, dcerou jednoho kolegy astronoma z Académie des Sciences. Lagrange ale krutě zasáhly politické události. V roce 1793 vypukl ve Francii teror a Académie des Sciences, podobně jako ostatní vědecké společnosti, byla uzavřena. Povolena byla pouze komise pro váhy a míry. Lagrange se stal jejím předsedou poté, co chemik Lavoisier, Borda, Laplace, Coulomb, Brisson a Delambre byly z komise odvoláni.

V září 1793 ale byl ustanoven zákon, podle něhož měli být zatčeni všichni cizinci narození v nepřátelských zemích a veškerý jejich majetek měl být zabaven. Lavoisier intervenoval ve prospěch Lagrange, který tomuto zákonu podléhal, a byla mu zaručena výjimka. Po převratu 8. května 1794 ale revoluční tribunál odsoudil Lavoisiera, který zachránil Lagrange z vězení, a 27 dalších k trestu smrti. Lavoisier byl popraven na gilotině. Lagrange o smrti Lavoisiera napsal: "Trvalo jen okamžik, než jeho hlava byla sťata, ale bude trvat stovky let, než se vytvoří to, co by ještě udělal."

11. března 1794 byla založena École Polytechnique a otevřena byla v prosinci 1794 (pod názvem École Centrale des Travaux Publics). Lagrange byl při otevření v roce 1794 jmenován prvním profesorem analýzy. V roce 1795 byla založena École Normale za účelem dalšího vzdělávání učitelů. Lagrange zde přednášel základy matematiky. Revoluční změny tak Lagrange donutily, aby začal také vyučovat. Lagrange ale nebyl dobrým přednášejícím jako Fourier, který navštěvoval jeho přednášky na École Normale v roce 1795. Lagrange studentům přednášel příliš abstraktně. Jeho hlas byl slabý, navíc se silným italským akcentem.

Lagrange publikoval dva svazky svých přednášek. V roce 1797 publikoval "Théorie des fonctions analytique" o teorii funkcí reálné proměnné, ale nevěnoval dostatečnou pozornost otázce konvergence funkcí.

Svoji druhou práci o této problematice "Lecons sur le calcul des fonctions" publikoval Lagrange v roce 1800.

V roce 1808 Napoleon udělil Lagrangeovi Řád čestné legie. 3. dubna 1813 obdržel velký kříž Ordre Impérial de la Réunion. Zemřel o dva týdny později.

- pokračování -