Termín "složitost" se vztahuje ke studiu složitých systémů, jejichž přesná definice však dosud neexistuje. Zhruba řešeno, systém označíme za složitý, pokud se skládá z řady navzájem interagujících komponent a objevuje se u něj nové chování, které není samozřejmým důsledkem chování jednotlivých komponent.

Tato definice je velmi nepřesná. Použití termínu "samozřejmý" je ovšem odrazem vývojové perspektivy. Například koncem 19. století bylo značným problémem popsat chování látky, na níž působí teplo, protože bylo nutné se zabývat systémy, které obsahují miliardy atomů. Dnes již máme mocné nástroje, jako je termodynamika a statistická mechanika, které umožňují studium systémů v termodynamické rovnováze. Výsledky těchto teorií jsou ve velmi dobrém v souladu s výsledky experimentů. Přestože tyto systémy nelze považovat za složité, nabízejí hodnotné příklady a myšlenky, které pro studium složitých systémů lze použít.

K zajímavým situacím dochází v případech dynamických systémů, které jsou ve stavu daleko od termodynamické rovnováhy a proto jsou silně nelineární. Takové systémy se v přírodě vyskytují zcela běžně, ale teoretické nástroje k jejich studiu nejsou ještě dostatečně vypracovány. Příkladů takových složitých systémů lze nalézt celou řadu: tržní mechanismy v makroekonomice, akciový trh, počasí, kolonie mravenců, zemětřesení, dopravní zácpy, živé organismy, ekosystémy, turbulence, epidemie, imunitní systém, říční sítě, rostlinné porosty v krajině, pruhy a skvrny na kůži některých savců, tvar mořského pobřeží a srdeční rytmy.

Dosud neexistuje žádná jednotná "teorie složitosti" a nelze ani očekávat, že někdy taková teorie vznikne. Spíše očekáváme, že zdánlivě odlišné složité systémy lze popsat pomocí určitých společných vlastností, které objevujeme intuicí a využitím výsledků studia jednoho složitého systému na systémy jiné. Tento postup vede k zajímavému mezioborovému studiu. Některé myšlenky studia složitých fyzikálních systémů se uplatňují v biologii a ve společenských vědách a naopak.

Jak lze složité systémy charakterizovat? U složitých systémů pozorujeme zákony, vzorce, obrazce a jevy, které jsou důsledkem interakcí a kooperativního chování jejich komponent. Přitom tyto zákony nebo jevy nejsou vnitřními vlastnostmi komponent, ale vlastnostmi systému jako celku. Příkladem je "teplota" nebo "zákony chování plynů". Na mikroskopické úrovni tyto pojmy nemají žádný smysl, ale jsou vlastnostmi velkých systémů. Podobnými pojmy může být "inteligence" nebo "vědomí", o nichž nevíme, odkud pocházejí.

Často se objevuje fráze "celek je více než součet jeho částí". Tato fráze znovu odráží nelinearitu systému, kdy výstup není úměrný vstupu a malé změny na vstupu mohou způsobit značné a často neočekávané změny na výstupu.

Vesmír obsahuje řadu hierarchických úrovní složitosti. K sobě přiléhající úrovně jsou navzájem vázány. Každá tato úroveň má vlastní projevy a zákony. Jiné zákony platí pro kupy galaxií, hvězdné soustavy, planety, ekosystémy, organismy, orgány, buňky, molekuly a atomy a pro kvarky a leptony. Takové zákony by nebyly příliš užitečné, pokud by do jisté míry nebyly na dané úrovni složitosti univerzální. Doufáme, že na každé úrovni složitosti lze příslušné zákony použít pro různé systémy. Fyzika a chemie nás přesvědčují, že fyzikální a chemické zákony jsou univerzální, a dávají nám naději, že svět je pochopitelný a že se nám podaří nalézt určitou finální teorii vesmíru. Pro atomy platí zákony kvantové mechaniky, makroskopický svět popisujeme Newtonovou klasickou mechanikou, inženýři a vědci společenských věd často používají empirické zákony dané zkušeností a pozorováním.

Zdá se nám, že příroda se chová ekonomicky (nebo je to jen iluze naší pozorovatelné části vesmíru?). Větve stromů, krevní vlásečnice v našich plicích, tvar oblaků, tvar květů a listů rostlin nebo tvar pohoří lze popsat fraktální geometrií. Tvary těchto objektů jsou v různých měřítcích velikosti samopodobné, tedy pro ně platí škálová invariance. V rovnovážných systémech se škálová invariance objevuje v kritickém bodu fázového přechodu druhého řádu, jako je fázový přechod mezi kapalnou a plynnou fází vody. Výše popsané přírodní systémy jsou ale ve stavu daleko od termodynamické rovnováhy a příčinám projevů fraktální geometrie v těchto systémech dosud dobře nerozumíme. Další vlastností systémů daleko od rovnováhy je samoorganizace. Systémy daleko od termodynamické rovnováhy se sami organizují bez vnějších vlivů nebo podnětů do stavu, který je na hranici mezi úplným chaosem a úplným uspořádáním.

Živé systémy jsou příklady nejsložitějších systémů. Jednou z klíčových otázek je, proč a jak tyto systémy při svém vývoji směřují k většímu uspořádání a složitosti navzdory šipce času, která je důsledkem druhého zákona termodynamiky. V uzavřených systémech entropie a neuspořádanost vzrůstá v souladu s druhým zákonem termodynamiky vzrůstá. Živé systémy ale nejsou ani uzavřené ani ve stavu blízkém termodynamické rovnováze. Vyžívají přítok energie a látek pro procesy zvyšující jeho uspořádanost (snižující entropii) a disipují teplo a odpadní látky, které zvyšují entropii vesmíru. Organismy jsou disipativní struktury, které mají tendenci se samoorganizovat a vytvářet struktury v prostoru (např. organizace proteinů v buňkách) a v čase (různé metabolické časové rytmy a rytmy složitých orgánů).

Klasickým příkladem samoorganizace jsou kolonie mravenců. Mravenci nemají žádného vůdce (královna slouží pouze pro tvorbu vajíček), který by organizoval jejich činnost, a nemají žádné inženýrské a sociální znalosti. Řídí se několika jednoduchými zákony, které určují jejich interakce s prostředím a s ostatními mravenci. Ze vzájemných interakcí mezi mravenci vzniká značně složité a organizované společenství, které má schopnost adaptace na vnější podmínky, mechanismy zpětné vazby a synchronizované jednání. V posledních letech řada vědců z oblastí společenských a počítačových věd studuje chování kolonie mravenců s cílem řešit problémy ve vlastním oboru.

Nikoliv všechny systémy v přírodě jsou organizovány nebo vykazují určité obrazce chování v prostoru a v čase. Řada systémů je neuspořádaná nebo se řídí náhodnými jevy. Avšak tato náhodnost může být jen povrchová. Chaosem označujeme vlastnost některých nelineárních dynamických systémů, které jsou velmi citlivé vůči malé změně počátečních podmínek. V dlouhém časovém období chování chaotických systémů nelze předpovědět. Chaotické chování systému může být skryté a může se projevovat pouze ve fázovém prostoru. Fázový prostor je množina všech možných stavů dynamického systému. Může být konečný, spočetný (stavy lze očíslovat) nebo nespočetný (stavy jsou reálná čísla). Souřadnice fázového prostoru představují dynamické proměnné. Například v případě kyvadla jsou dynamickými proměnnými úhel výchylky kyvadla od rovnovážné polohy a okamžitá rychlost kyvadla. Vývoj dynamického systému je ve fázovém prostoru popsán trajektorií.

Chaotické chování řady systémů má určité společné vlastnosti, které nám umožňují do jisté míry předpovídat jejich budoucí vývoj. Náhodné chování některých jevů znamená, že jsme dosud neodhalili deterministický základ tohoto chování.

Často se dnes objevují debaty mezi zastánci redukcionismu a zastánci holismu. Redukcionisté zastávají většinou názor, že celek lze pochopit pomocí studia jeho částí. Jsou přesvědčeni, že chování celku je pouze složitým a nepříliš zajímavým důsledkem použití fundamentálních zákonů na velké systémy. Extrémní názor tvrdí, že pokud pochopíme mikroskopickou úroveň, pochopíme celý vesmír. Fyzikové vysokých energií, kteří studují subatomové částice, jsou častými redukcionisty. Podobně někteří molekulární biologové, kteří se zabývají genomikou.

Nepochybně je pravda, že znalost mikrokomponent nějakého systému a základních interakcí mezi nimi je pro pokrok moderní vědy a techniky klíčová. Na druhé straně je pravdou, že tato znalost sama o sobě k vysvětlení různorodosti a možného vývoje velkých systémů nepostačuje. Klasickým příkladem bylo odvození vlastností supravodivosti ze Schrödingerovy rovnice. Musíme tyto vlastnosti nejprve znát, abychom byly takového odvození schopni. Podobně znalost celého genomu nám nic nevypovídá o vlastnostech organismu.

Problém odvození vlastností velkého systému ze znalostí jeho částí a jejich vzájemných interakcí lze rozdělit přinejmenším na dvě části. Za prvé, máme omezené možnosti výpočtů. Problém velkého počtu stupňů volnosti je pro přesné řešení příliš komplikovaný. Evoluční nelineární rovnice složitých systémů daleko od rovnováhy nelze řešit ani pravděpodobnostními metodami, které se používají pro řešení evolučních rovnic rovnovážných systémů. V 90. letech 20. století díky rostoucímu výpočetnímu výkonu za rozumnou cenu se objevily první nástroje, které umožňují simulace velkých systémů nebo numerické řešení příslušných rovnic. Avšak zůstává druhá část problému. Často úplně neznáme fundamentální dynamiku velkých systémů nebo neznáme počáteční a okrajové podmínky. Tento problém je natolik komplikovaný, že jej nelze řešit ani pomocí současných počítačů.

Aby se podařilo dosáhnout alespoň určitého pokroku, obvykle se příslušný problém redukuje na zjednodušený matematický model, který lze simulovat a testovat na počítačích. Počítačové simulace zjednodušených modelů umožňují rychlé testování předpokladů. Pokud se získané výsledky dostatečně přesně shodují s měřením nebo reálného systému, považuje se model a jeho podmínky za přijatelný. Kvalitativní podobnosti samozřejmě nejsou důkazem, protože k podobným výsledkům mohou vést další modely s různými podmínkami. Přinejmenším však naznačují správný směr modelování.

Zřejmě zatím nejdůležitějším výsledkem počítačových modelů je zjištění, že dokonce velké systémy s velmi jednoduchými lokálními pravidly mohou projevovat kolektivní chování značné složitosti a různorodosti. Tento výsledek naznačuje, že pro popis složitých jevů nepotřebujeme komplikovaná pravidla. Dále vidíme, jak značně složité je odvozovat chování celku pomocí chování jeho komponent bez použití výkonných počítačů a bez znalostí interakcí těchto komponent.

Proto studium celku je stejně důležité jako studium jeho komponent na každé úrovni složitosti. Fyziku supravodičů nelze nahradit studiem superstrun, podobně jako ekologii nelze nahradit studiem molekulární biologie. Naopak pro vysvětlení chování celku potřebujeme porozumět chování jeho komponent. Ani redukcionismus ani holismus nemají úplnou pravdu.

Vyzkoušejte si applet na [X2]. Není velmi realistickou simulací plavání hejna rybek? Pohyb každé jednotlivé rybky není nutné popisovat samostatně, protože každá rybka se řídí třemi jednoduchými lokálními pravidly: soudržností hejna, zařazením a oddělením. Každé z těchto pravidel má svůj biologický význam, proto je model značně věrohodný. Překvapivé je, jak realistické a komplikované kolektivní chování z těchto tří jednoduchých pravidel vychází. Neexistuje žádný vůdce hejna a neexistuje žádný globální plán pohybu nebo perspektiva (pohyb rybek na počátku není nijak zorganizován).

Tento jednoduchý příklad je příkladem samoorganizace. Další příklady lze nalézt v kolektivním chování lidí nebo na akciovém trhu. Ve fyzice je takovým příkladem uspořádání magnetických spinů atomů tvořících feromagnetickou látku.

Podívejte se na nějaký snímek kolonie baktérií. Uvidíte rozvětvenou strukturu, jejíž každá část při zvětšení vypadá podobně jako celek. Kolonie baktérií je příkladem náhodného fraktálu. Přesné fraktály vypadají zcela stejně při libovolném zvětšení, zatímco náhodné fraktály se při zvětšení statisticky podobají.

Fraktály jsou v přírodě všudypřítomné. Dalším příkladem rozvětvené struktury je síť vzduchových kanálků v plicích. Výhodou takové struktury je zvětšení poměru velikosti plochy k velikosti objemu, který maximalizuje účinek za minimální cenu spotřeby materiálu a prostoru.

Fraktální struktura je každá samopodobná struktura v různých měřítcích velikosti.

Existují grafy závislosti počtu požárů na velikosti plochy, kterou postihly, pro různé oblasti Spojených států a Austrálie. Pokud takový graf převedeme transformací jeho souřadnic na logaritmus, dostaneme prakticky lineární závislost, což znamená, že pro vztah počtu požárů N na ploše A platí:

N \approx A^a

kde a je rovno od 1,3 do 1,5. Uvedený vztah platí pro různě velké geografické oblasti a pro rozsáhlá statistická data. Proto je univerzální a vyžaduje jisté obecné vysvětlení.

Mocninné zákony, podobné výše uvedenému, se objevují u řady jevů v přírodě, jako jsou zemětřesení nebo sluneční aktivita. Tyto jevy jsou příkladem samoorganizovaného kritického přechodu, kdy stav systému ve fázovém prostoru je přitahován ke stavu na hranici mezi zcela neuspořádanými a zcela uspořádanými stavy. Termín "kritický" vychází z teorie termodynamicky rovnovážných systémů, v nichž dochází v kritických bodech k fázovému přechodu druhého řádu. Avšak v případě lesních požárů nebo zemětřesení jsou tyto systémy vzdáleny od termodynamické rovnováhy. Kritický stav nevyžaduje nějaké přesné nastavení, ale je samoorganizovaný.

Kvůli složitosti nelze tyto systémy studovat ze základních principů. Proto studujeme zjednodušené modely a testujeme, zda jsou v souladu s realitou.

Mocninné zákony vedou k samopodobnosti v různých měřítcích. Proto je přirozené předpokládat, že samoorganizovaný kritický přechod je společnou vlastností všech dynamických systémů, které vykazují fraktální strukturu.

Jednoduché kyvadlo se skládá z malého těžkého předmětu, připevněného na konec lehké tyčky. Pro malé kmity (bez existence tření) se kyvadlo chová jako harmonický oscilátor. Perioda tohoto pohybu je úměrná druhé mocnině délky kyvadla.

Pro velké kmity je pohyb kyvadla sice ještě periodický, ale již neplatí jednoduchý vztah. Pro velké kmity jsou rovnice pohybu kyvadla nelineární na rozdíl od lineárních rovnic pro malé oscilace. Protože rovnice pro velké kmity jsou nelineární, nelze pohyb kyvadla předpovídat.

Dvojité kyvadlo se skládá ze dvou jednoduchých kyvadel, kdy jedno kyvadlo je připojeno na konec druhého kyvadla. Rovnice pohybu dvojitého kyvadla pro velké kmity jsou nelineární, ale pohyb je zcela nepravidelný a velmi citlivý vůči počátečním podmínkám. Tento druh chování je hlavním příznakem chaosu.

Chaos se objevuje u řady nelineárních systémů. Dokonce systémy jen s několika stupni volnosti, o nichž se domníváme, že jsou jednoduché, mohou projevovat složité chování, které nelze v dlouhých časových intervalech předpovědět. Avšak tento chaos se od náhodnosti zásadním způsobem odlišuje. Chaotické systémy jsou deterministické, zatímco náhodné systémy jsou nedeterministické již ze své vnitřní podstaty. Rozdíly mezi chováním obou typů systémů lze sledovat ve fázovém prostoru.

Jak vznikají skvrny na kůži leoparda, pruhy na kůži zebry nebo tygra? Existují obecná pravidla, jimiž se vznik těchto obrazců řídí? Tyto obrazce se nazývají Turingovy struktury, pojmenované po britském matematikovi Alanu Turingovi.

Některé chemické systémy ve stavu daleko od termodynamické rovnováhy vykazují chemické oscilace. V roce 1968 se západní vědci poprvé dověděli o existenci tzv. Bělousovovy-Žabotinského reakce a začali ji porovnávat s oscilacemi vyskytujícími se v biologii. Takovými oscilujícími reakcemi jsou mimo jiné glykolýza a fotosyntéza. V roce 1968 Ilya Prigogine a René Lefever ve svém článku, který publikovali v časopise Journal of Chemical Physics 48, str. 1695, formulovali a analyzovali model chemického reakčního systému, který měl zabudované mechanismy nutné pro vznik jevu prostorové samoorganizace. Tento model nazval John Tyson v roce 1973 "bruselátor" podle místa vzniku. Prigogine a Levefer ukázali, že samoorganizace se objevuje v souhlase s Glansdorf-Prigoginovým kritériem pro termodynamickou evoluci. Jejich model byl tím nejjednodušším modelem, jaký bylo možno definovat. Později Lefever a Nicolis ukázali, že bruselátor je schopen vykazovat pravidelné oscilace v koncentracích některých sloučenin.

Bruselátor je standardním modelem pro studium disipativních struktur v nelineárních chemických systémech. Lze jej popsat pomocí následujících chemických reakcí, kde A a B jsou výchozí sloučeniny a E je výsledný produkt:

k₁:     A ---> X
k₂:     B + X ---> Y + D
k₃:     2X + Y ---> 3X
k₄:     X ---> E

Předpokládá se, že koncentrace výchozích produktů A, B je zcela konstantní (jsou dodávány z vnějšího prostředí) a koncentrace všech ostatních látek závisí na uvedených reakcích. Nelineární povaha bruselátoru se projevuje v reakci k3, kdy dvě molekuly X vedou ke vzniku tří molekul X.

Takto definovaný bruselátor je popsán soustavou vázaných diferenciálních rovnic, v nichž X představuje koncentrace látek X, Y a v(X) představuje rychlosti změn koncentrací.

Podrobný matematický popis řešení je obtížný, ale snadno si jej lze přiblížit barevně, pokud by látka X byla například červená a Y byla modrá. V rovnovážném stavu vznikne fialová směs molekul. Malé změny koncentrace A, B od rovnovážných hodnot nezpůsobí vychýlení systému z rovnovážného stavu. Pokud ale přísun látek A, B přesáhne určitou úroveň, začne výsledná reagující směs měnit svoji barvu v pravidelných časových intervalech od červené k modré. Tato oscilace se nazývá Hopfova nestabilita. Pokud nejsou do směsi přidávány látky A, B, směs přestane měnit barvy a vznikne znovu fialová směs molekul.

Bruselátor je pochopitelně pouze matematickým modelem, ale chování popsané bruselátorem je pozorovatelné u řady jevů, mimo jiné v Bělousovově-Žabotinského reakci.

Odkazy:

[X1] Rajesh R. Parwani: Complexity: An Introduction. University Scholars Programme, National University of Singapore. 28 Jan 2002. physics/0201055 e-Print archive. Los Alamos National Laboratory. US National Science Foundation.

[X2] A fish schooling applet.

[X3]The double pendulum applet.