Literatura:

[X1]Turnbull University of St. Andrews.
 

Oliver Heaviside v dětství onemocněl a téměř přišel o sluch. Toto postižení zásadně ovlivnilo jeho život. Ve svém dětství byl nešťastný a obtížně navazoval vztahy s ostatními dětmi. Avšak jeho výsledky ve škole byly dobré a v roce 1865 se umístil jako pátý z 500 žáků.

Zdálo se, že Heaviside se nezajímal o akademickou kariéru, protože v 16 letech opustil školu. Byl zklamán spíše školou, než studiem, protože po opuštění školy pokračoval ve studiu. Naučil se Morseův kód, studoval elektřinu a studoval další jazyky, mezi nimi dánštinu a němčinu. Chtěl být zaměstnán jako telegrafista na doporučení jeho strýce Charlese Wheatstonea, po němž se jmenuje v elektronice Wheatstoneův můstek.

V roce 1868 Heaviside odešel do Dánska, kde se skutečně stal telegrafistou. V tomto zaměstnání se velmi rychle zdokonalil. V roce 1871 se vrátil do Anglie a začal pracovat v Newcastlu v kanceláři společnosti Great Northern Telegraph Company, která se zabývala zámořskou dopravou.

Heaviside se sám zabýval výzkumem elektřiny. Ještě v době, kdy pracoval jako hlavní operátor u zmíněné společnosti, začal publikovat práce o elektřině. První práci publikoval v roce 1872, druhou v roce 1873. Tyto práce natolik zaujaly Jamese Clerka Maxwella, že je zmínil ve druhém vydání své knihy "Treatise on Electricity and Magnetism".

Přestože Heaviside projevil ve své práci hluboké porozumění danému problému, nezajímal se o přesné důkazy svých tvrzení. Jeho nejslabším předmětem ve škole bylo studium Euklida, vyžadující přesné důkazy, které Heaviside nesnášel.

Navzdory jeho odporu k přesným důkazům, Heavisideovi se podařilo zjednodušit Maxwellových 20 rovnic o 20 neznámých tím, že je nahradil dvěma rovnicemi o dvou neznámých. Dnes se tyto rovnice nazývají "Maxwellovy rovnice" a zapomíná se na fakt, že jde ve skutečnosti o "Heavisideovy rovnice".

Heavisideovy výsledky v teorii elektromagnetického pole se opíraly o důležité metody vektorové analýzy, které sám odvodil studiem tohoto oboru. V letech 1880 až 1887 vyvinul operátorový počet, který však byl přijat s rozpaky a vyvolal rozporuplnou odezvu.

Heaviside operátorový počet vyvinul, aby mohl řešit obyčejné diferenciální rovnice, které se objevovaly v teorii elektrických obvodů. Nahradil diferenciální operátor proměnnou p a převedl tak diferenciální rovnici v rovnici algebraickou. Řešení algebraické rovnice pak převedl nazpět pomocí konverzních tabulek na řešení původní diferenciální rovnice. Ačkoliv Heaviside byl při řešení obyčejných diferenciálních rovnic velice úspěšný, správnost jeho metody dokázala teprve Bromwichova práce.

Burnside odmítl jeden z článků o operátorovém počtu, které Heaviside zaslal časopisu Proceedings of the Royal Society. Tvrdil, že článek obsahuje principiální chyby. Tait prosazoval kvaterniony proti Heavisideovým vektorovým metodám a Gibbs zaslal několik dopisů časopisu Nature, v nichž Heavisideovy metody napadal.

Heaviside se však nevzdával a dále pokračoval ve svém studiu osamocen. V roce 1887 technický odborník Preece napsal článek o telefonních obvodech. Heaviside v něm objevil chybu a 3. června 1887 publikoval článek o elektromagnetické indukci a jejím šíření v časopise Electrician.

V tomto článku Heaviside poprvé uvedl podmínky nezbytné pro šíření elektromagnetického signálu bez zkreslení. Jeho myšlenka vycházela z indukční smyčky, která zvyšovala indukci. Tato myšlenka byla v roce 1904 patentována ve Spojených státech. Michael Pupin z Kolumbijské univerzity a George Campbell z firmy AT&T (the American Telephones & Telegraphs) četli Heavisideův článek o indukčních smyčkách umístěných v určitých vzdálenostech na telefonní lince. Nechali si tuto myšlenky patentovat a Pupin byl v roce 1904 za tuto myšlenku oceněn.

V roce 1889 byl Heaviside jmenován prezidentem Ústavu elektrických inženýrů a Thomson v inauguračním projevu ho ocenil jako významnou autoritu v oboru. Lodge napsal do časopisu Nature, že Heaviside významně přispěl k pochopení elektromagnetických vln.

V roce 1891 byl Heaviside přijat do Královské společnosti a Whittaker prohlásil, že Heavisideův operátorový počet byl jedním ze tří největších objevů 19. století.

V roce 1902 Heaviside předpověděl existenci vodivé vrstvy v atmosféře, která umožní šíření rádiových vln nad zakřiveným povrchem Země. Existence této Heavisideovy vrstvy byla dokázána v roce 1923 vysíláním radiových pulsů směrem kolmo vzhůru.

Přes veškerá ocenění, která obdržel, Heaviside nebyl šťastným člověkem. Stále více a více se stranil lidí a v roce 1909 byla u něj prokázána duševní porucha.

Heaviside vstoupil ve všeobecnou známost díky skladbě "Journey to the Heeaviside Layer", kterou napsal Andrew Lloyd Webber pro svůj muzikál "Cats" s textem T. S. Eliota:

Up up up past the Russell hotel
Up up up to the Heaviside layer

Karl Jacobi vytvořil teorii eliptických funkcí.

Jacobiho otec byl bankéřem a rodina proto byla dobře finančně zajištěna. Jacobi získal vzdělání na Univerzitě v Berlíně a v roce 1825 získal doktorát. V letech 1826 až 1844 přednášel na Univerzitě v Königsbergu a v roce 1832 zde získal stálé místo. Zbytek života pak strávil v Berlíně.

Jacobi vytvořil teorii eliptických funkcí založenou na čtyřech q-funkcích. Velkým přínosem k teorii funkcí byla jeho práce "Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum" z roku 1829.

V roce 1834 Jacobi dokázal, že pokud je jednohodnotová funkce jedné proměnné dvojitě periodická, pak poměr těchto period je imaginární. Tento výsledek vyvolal zájem o toto téma. Objevila se řada dalších prací, zejména od Liouvillea a Cauchyho.

Jacobi také dosáhl důležitých výsledků v oblasti parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu a aplikoval tyto rovnice na problémy dynamiky.

Jacobi se dále zabýval studiem determinantů a studoval také funkcionální determinant dnes nazývaný jacobián. Jacobi ale nebyl prvním, kdo tento determinant studoval, protože se tento typ determinantu objevil poprvé v práci Caychyho v roce 1815. Jacobi však v roce 1841 napsal rozsáhlou práci o determinantech "De determinantibus functionalibus". Dokázal, kromě řady jiných věcí, že pokud je množina n funkcí n proměnných funkcionálně vázána, pak je jacobián identicky roven nule. Jestliže jsou funkce nezávislé, pak jacobián nemůže být identicky roven nule.

Jacobiho pověst vynikajícího učitele přitahovala řadu studentů. Jacobi zavedl metodu seminářů, v nichž se studenti učili posledním pokrokům v matematice.

Camille Jordan je znám především díky jeho přínosu k algebře a teorii grup.

Jordan studoval matematiku na École Polytechnique a od roku 1873 zde a v Collége de France přednášel.

V roce 1866 zavedl důležité topologické pojmy. Seznámil se s Riemannovu prací o topologii, ale neznal práci, kterou napsal Möbius. Jordan zavedl pojem homotopie drah když zkoumal deformace drah jedné v druhou. Definoval grupu homotopie povrchu bez explicitního použití terminologie teorie grup.

Jordan se speciálně zajímal o teorii konečných grup. V roce 1869 zavedl koncept grup v geometrii, když byl motivován studiem struktury krystalů. Ve své práci zavedl klasifikaci grup na základě pohybu v euklidovském prostoru.

Jeho práce "Traité des substitutions et des équations algebraique" z roku 1870 je přehlednou studií Galoisovy teorie. Za tuto práci byl oceněn Ponceletovou cenou francouzskou akademií věd Académie des Science. Tato práce obsahuje "Jordanův normální tvar" matic nikoliv pro komplexní čísla ale pro konečná pole. Jordan se zasadil o ústřední roli grup permutací.

Jordan je dnes znám především díky svému důkazu, že jednoduchá uzavřená křivka rozděluje rovinu přesně na dvě oblasti. Zavedl koncept funkcí s konečnou variací a definoval délku křivky. Tato definice se poprvé objevila v jeho třísvazkové práci "Cours d'analyse de l'École Polytechnique" z roku 1882. Věta o Jordanově křivce se objevila ve třetím vydání této práce v letech 1909 až 1915.

Jordan zobecnil kritérium konvergence Fourierových řad.

Dva Jordanovy studenti, Marius Sophus Lie a Felix Klein, navázali na jeho práci svými teoriemi spojitých a nespojitých grup.

Wilhelm Killing zavedl Lieovy algebry nezávisle na Lieovi při svém studiu neeuklidovské geometrie.

Killing začal v roce 1865 studovat na univerzitě v Münsteru, ale brzy odešel na Univerzitu v Berlíně, kde byl ovlivněn Kummerem a Weierstrassem. Doktorát pod vedením Weierstrasse získal v roce 1872.

V letech 1868 až 1882 Killing přednášel na školách Berlíně a v Brilonu. Na Weierstrassovo doporučení získal stálé místo v Lyzeum Hosianum v Braunsbergu. Killing zde působil deset let, prakticky odloučen od matematického dění. Během tohoto období přesto publikoval své nejoriginálnější práce.

V roce 1883 publikoval práci o n-rozměrné neeuklidovské geometrii. V roce 1886 publikoval svůj koncept rozšíření prostoru s Killingovou vlastní klasifikací jednoduchých Lieových algeber. Dále publikoval práci o grupách Lieových transformací.

V roce 1892 se vrátil do Münsteru jako profesor matematiky a zbytek života strávil výukou, správou školy a charitativní činností. Killing byl do roku 1918 velkým příznivcem sociálních změn v Německu.

Lieovy algebry poprvé definoval Marius Sophus Lie kolem roku 1870 při práci na diferenciálních rovnicích. Killing definoval Lieovy algebry nezávisle na něm ze zcela jiného důvodu, když se zabýval problémy neeuklidovských geometrií. Hlavním nástrojem klasifikace jednoduchých Lieových algeber jsou Cartanovy superalgebry a Cartanovy matice. Oba pojmy poprvé definoval Killing. Zavedl také myšlenku kořenového systému, který se dnes vyskytuje v moderní algebře.

Konečně Killing zavedl termín "charakteristická rovnice" matice pro výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů.

Gustav Kirchhoff byl Gaussovým studentem. Od roku 1847 přednášel na neplaceném místě v Berlíně a později v Breslau. V roce 1854 byl jmenován profesorem fyziky v Heidelbergu, kde spolupracoval s Bunsenem.

Kirchhoff byl fyzikem, který významně přispěl k teorii obvodů použitím topologie a k teorii pružnosti. Kirchhoffovy zákony z roku 1854, které umožňují vypočítat proudy, napětí a odpory elektrických obvodů, navázaly na Ohmovu práci. Kirchhoffova práce týkající se záření dokonale černého tělesa se stala jedním ze základů rozvoje kvantové teorie.

Kirchhoffova práce v oblasti spektrální analýzy vedla ke studiu slunečního záření. Kirchhoff jako první vysvětlil tmavé čáry ve slunečním spektru jako důsledek absorbce určitých vlnových délek světla procházejícího chladnějším plynem. Zahájil tak novou éru astronomie. Spektrální analýza se stala základním nástrojem studia hvězd, hvězdokup a galaxií.

V roce 1875 byl Kirchhoff jmenován profesorem matematické fyziky na Univerzitě v Berlíně. Kirchhoff měl pohybové obtíže a mohl chodit pouze o berlích nebo sedět ve svém křesle. Jeho nejznámější prací bylo čtyřsvazkové dílo "Vorlesungen über mathematische Physik " z let 1876 až 1894.

Felix Klein je znám především díky své práci v neeuklidovské geometrii, spojení mezi geometrií a teorií grup a výsledkům v teorii funkcí.

Klein navštěvoval gymnázium v Düsseldorfu. Po jeho dokončení začal v letech 1865 až 1866 studovat matematiku a fyziku na Univerzitě v Bonnu. Chtěl se stát fyzikem. Ještě během studií v roce 1866 získal místo laboratorního asistenta u Plückera, který byl matematikem a experimentálním fyzikem. Plücker se velice zajímal o geometrii. Klein získal na Univerzitě v Bonnu v roce 1868 doktorát pod jeho vedením, když napsal disertační práci "'Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form" o geometrii přímky a jejích aplikacích v mechanice.

V roce 1868 Plücker zemřel a nedokončil tak svoji rozsáhlou práci týkající se geometrie přímek. Klein byl jediným, kdo mohl druhou část Plückerovy práce "Neue Geometrie des Raumes" a díky tomu se seznámil s Clebschem. Clebsch v roce 1868 přešel do Göttingenu. Během roku 1869 Klein postupně navštívil Berlín, Paříž a Göttingen. V červenci 1870 Klein byl v Paříži, když pruský kancléř Otto von Bismarck publikoval útočnou řeč proti francouzské vládě. Francie vyhlásila 19. července Prusku válku a Klein byl nucen Paříž kvůli své bezpečnosti opustit. Pak krátce sloužil v armádě jako lékařský zdravotník a počátkem roku 1871 začal přednášet v Göttingenu.

V roce 1872 byl Klein jmenován profesorem v Erlangenu v Bavorsku v jižním Německu díky silné Clebschově podpoře, který v Kleinovi viděl budoucího významného matematika. Klein se stal profesorem ve věku pouhých 23 let. Klein v Erlangenu přednášel jen do roku 1875. Erlangen měl jen velmi málo studentů a Kleinovi bylo nabídnuto místo na Technische Hochschule v Mnichově. Zde se setkal se svým kolegou Brillem a přednášel velkému počtu skvělých studentů. Klein měl velký učitelský talent a plně ho využíval. Mezi jeho studenty v Mnichově patřili budoucí významní vědci, jako byl Hurwitz, von Dyck, Rohn, Runge, Planck, Bianchi a Ricci-Curbastro. V roce 1875 se Klein oženil s Anne Hegelovou, vnučkou významného německého filozofa Georga Wilhelma Friedricha Hegela.

Po pěti letech působení na Technische Hochschule získal Klein profesuru geometrie v Lipsku (Leipzig). Zde působilo již několik mladých přednášejících, jako byl von Dyck, Rohn, Study a Engel. V letech 1880 až 1886, kdy Klein působil v Lipsku, v jeho životě došlo k zásadním změnám.

Klein chtěl v Lipsku vybudovat školu Riemannovy geometrie a teorie funkcí. Ale neočekávané události a jeho zdraví se spikly proti jeho plánům. Na podzim roku 1882 se zdravotně zhroutil a během let 1883 až 1884 propadl těžkým depresím.

Jeho kariéra matematika vědce skončila a Klein odešel v roce 1886 na Univerzitu v Göttingenu, kde působil až do roku 1913. Svoji vůdčí roli v rozvoji školy geometrie, kterou měl v Lipsku, již v Göttingenu neobnovil. V Göttingenu pak přednášel řadu kursů z matematiky i fyziky, jako byla teoretická mechanika nebo teorie potenciálu.

Klein v Göttingenu vytvořil výzkumné středisko, které později sloužilo jako model pro nejlepší matematická výzkumná střediska všude ve světě. Zavedl jednou týdně diskusní zasedání, zřídil matematickou čítárnu s matematickou knihovnou. Klein přesvědčil Davida Hilberta, který působil v Königsbergu, aby odešel v roce 1895 do Göttingenu.

Kleinovy matematické a organizátorské schopnosti se projevily mimo jiné ve vynikajícím matematickém časopise Mathematische Annalen. Časopis původně založil Clebsch, ale teprve Kleinovi se podařilo, aby časopis úspěšně konkuroval Crelleovu časopisu. Za oběma časopisy stály dva soupeřící týmy berlínské školy matematiků. Klein vytvořil malý tým vydavatelů, kteří měli právo demokratického rozhodování. Časopis se specializoval na problémy komplexní analýzy, algebraické geometrie a teorie invariantů. Přispěl také k reálné analýze a k nové oblasti teorie grup.

V roce 1913 Klein ze zdravotních důvodů odešel z univerzity, ale pokračoval během první světové války ve výuce matematiků doma.

Je poněkud obtížné zhodnotit význam Kleinova přínosu v geometrii. Nejde ani tak o to, že dnes jsou nám jeho výsledky poněkud cizí, přestože se staly součástí našeho matematického myšlení. Jde však o to, že jeho výsledky nikdy nebyly přijaty všemi jeho současníky.

Klein učinil první důležité matematické objevy v roce 1870 společně s Liem. Objevili zásadní vlastnosti asymptotických křivek na Kummerově povrchu. Další spolupráce s Liem vyústila v objev W-křivek, křivek invariantních vůči grupě projektivních transformací. Lie sehrál důležitou roli v Kleinově rozvoji, neboť ho přivedl k myšlence teorie grup, která sehrála velkou roli v Kleinově pozdější práci. Je třeba připomenout, že svoji roli sehrál také Camille Jordan.

V roce 1871 Klein v Göttingenu učinil významné objevy, které se týkaly geometrie. Publikoval dva články o neeuklidovské geometrii, v nichž ukázal, že euklidovskou a neeuklidovskou geometrii lze považovat za speciální případy projektivních ploch. Důležitým výsledkem bylo Kleinovo tvrzení, že neeuklidovská geometrie je konzistentní právě tehdy, když je konzistentní euklidovská geometrie. Tehdejší názor, že neeuklidovská geometrie je vnitřně nekonzistentní, byl překonán. Přesto např. Cayley nikdy Kleinovy myšlenky nepřijal, protože Kleinovy argumenty považoval za cyklické.

Kleinova syntéza geometrie jako studium vlastností prostoru, který je invariantní vůči určité dané grupě transformací, je známa jako Erlangenský program z roku 1872. Tento program zásadně ovlivnil další rozvoj matematiky. Vznikl v roce 1872 v Erlangenu u příležitosti Kleinova jmenování profesorem. Erlangenský program vytvořil jednotný pohled na geometrii a dodnes je standardně využíván.

Transformace hrají významnou roli v moderní matematice a Klein ukázal, jak základní vlastnosti určité geometrie lze reprezentovat grupou transformací, vůči níž jsou tyto vlastnosti invariantní. Tímto způsobem Erlangenský program definoval jak geometrii euklidovskou, tak neeuklidovskou.

Sám Klein za svůj největší přínos k matematice považoval svoji práci v teorii funkcí. Přispěl významně k jejímu rozvoji rozvojem Riemannových myšlenek. Tento vývoj se později odrazil v konceptu teorie invariantů, v teorii čísel, v algebře, v teorii grup, ve vícerozměrných algebrách, v teorii diferenciálních rovnic a zejména v oblastech, o něž se Klein zajímal, jako byly eliptické modulární funkce a automorfní funkce.

Klein studoval akci modulární grupy v komplexní rovině. V roce 1879 studoval akci projektivní unimodulární grupy PSL(2,7), jíž chápal jako obraz modulární grupy. Získal tak explicitní reprezentaci Riemannovy plochy. Ukázal, že rovnice

x³.y+y³.z+z³.x = 0

je křivkou v projektivním prostoru a její grupa symetrie je PSL(2,7) řádu 168. V roce 1882 napsal práci "Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrals", v níž popsal teorii funkcí geometrickým způsobem, propojením teorie potenciálu a konformního zobrazení. V této práci použil určité fyzikální myšlenky, zejména z dynamiky kapalin.

Klein se zabýval rovnicemi stupně vyššího než 4 a mimo jiné se zajímal o použití transcendentálních metod pro řešení obecné rovnice pátého stupně. Své řešení založil na metodách, které vytvořili Hermite a Kronecker. Dospěl k podobným výsledkům jako Brioschi a nalezl úplné řešení použitím grupy ikosahedronu. Jeho práce vedla k úvahám o eliptických modulárních funkcích, které pak studoval v řadě článků.

Klein vyvinul teorii automorfních funkcí. Své algebraické a geometrické výsledky shrnul v roce 1884 v důležité knize o ikosahedronu. Poincaré publikoval svoji teorii automorfních funkcí již v roce 1881, což vedlo k soutěžení obou mužů. Klein pak korespondoval s Poincarém a oba muži se pokoušeli dokázat velkou uniformizační větu, která byla základem této teorie.

Během této práce se ale Klein zdravotně zhroutil. S Robertem Frickem, který přišel do Lipska v roce 1884 napsal rozsáhlé dnes klasické dílo o automorfních a eliptických modulárních funkcích.

Je třeba se také zmínit o Kleinově láhvi, uzavřené plochy s jedinou stranou. Kleinovu láhev nelze vytvořit v Euklidovském prostoru. Lze si ji nejsnáze představit jako válec obrácený sám do sebe tak, že oba jeho konce jsou spojeny. V tomto případě však nejde o spojitý povrch v trojrozměrném prostoru. Kleinovu láhev lze spojitě zkonstruovat pouze v neeuklidovském prostoru.

V 90. letech 19. století se Klein začal zabývat matematickou fyzikou, ačkoliv nikdy předtím se touto oblastí nezabýval. Díky svému zájmu napsal společně se Sommerfeldem důležitou práci o gyroskopech.

V závěru své kariéry se Klein začal zajímat o výuku na školní úrovni. Snažil se o modernizaci výuky matematiky v Německu a prosadil, aby na střední škole se vyučovaly základy teorie funkcí a základy diferenciálního a integrálního počtu.

Klein byl jmenován předsedou Mezinárodní komise pro vyučování matematiky na Mezinárodním matematickém kongresu v Římě v roce 1908. Pod jeho vedením bylo publikováno několik publikací o výuce matematiky na všech úrovních v Německu.

Dalším významným projektem byla rozsáhlá "Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften". Klein se projektu aktivně účastnil a společně s vydavatelem K. Müllerem napsal čtyři části o mechanice.

V roce 1885 byl Klein přijat do Královské společnosti a v roce 1912 obdržel Copleyovu medaili.

Rodiče Leopolda Kroneckera byli dobře finančně zajištěni. Otec Isidor Kronecker byl úspěšným obchodníkem a matka Johanna Prausnitzerová pocházela z bohaté rodiny. Rodina byla židovského původu a židovské náboženství si Kronecker udržel až téměř do konce života, kdy konvertoval ke křesťanství. Jeho rodiče najali soukromé učitele, kteří ho vyučovali, dokud nezačal studovat na gymnáziu v Liegnitzu. Soukromí učitelé mu poskytli velmi dobrý základ vzdělání.

Na gymnáziu v Liegnitzu přednášel matematiku Kummer, který brzy poznal Kroneckerův zájem a schopnosti a poskytl mu hlubší základy. Ačkoliv Kronecker pocházel z židovské rodiny, na gymnáziu získal evangelické náboženské vyznání, což dokazuje, že jeho rodiče v náboženských věcech byli tolerantní.

V roce 1841 začal Kronecker studovat na Berlínské univerzitě, kde mimo jiné přednášeli Dirichlet a Steiner. Kronecker se neomezoval pouze na studium matematiky, ale studoval také další obory, jako byla astronomie, meteorologie a chemie. Zejména se zajímal o filozofii a studoval filozofické práce Descartese, Leibnize, Kanta, Spinozy a Hegela. Léto roku 1843 strávil na Univerzitě v Bonnu spíše kvůli svému zájmu o astronomii než kvůli matematice. V zimním semestru 1843 až 1844 studoval na Univerzitě v Breslau (dnes Wroclaw, Polsko), kde studoval matematiku znovu u Kummera, který sem přišel v roce 1842.

V Breslau Kronecker studoval rok a zimní semestr 1844 až 1845 studoval opět v Berlíně. Svoji doktorskou práci o algebraické teorii čísel psal pod vedením Dirichleta. Práci "O komplexních jednotkách" předal 30. července 1845 a 14. srpna vykonal ústní zkoušku. Jeho studijní kolegové byli překvapeni, když se dověděli, že Kronecker při ústní zkoušce odpovídal na otázky z řady oblastí včetně pravděpodobnosti aplikované na astronomická pozorování, z teorie určitých integrálů, řad a diferenciálních rovnic a na otázky z historie filozofie a řečtiny.

Jacobi, který měl zdravotní problémy, byl nucen opustit své místo v Königsbergu a vrátil se do Berlína, kde přednášel také nemocný Eisenstein. Kronecker se s oběma muži seznámil a to ovlivnilo jeho další matematický vývoj. Ale již na počátku své akademické kariéry byl Kronecker nucen Berlín opustit a zabývat se rodinnými záležitostmi. Pomáhal bratrovi své matky s finančními záležitostmi a v roce 1848 se oženil s dcerou svého strýce, s Fanny Prausnitzerovou. Ačkoliv se zabýval rodinnými záležitostmi, stále si dokázal najít čas, aby pokračoval ve své matematické práci.

Kronecker nepotřeboval placené zaměstnání, protože se stal bohatým mužem. Jakmile mu to ale okolnosti v roce 1855 dovolily, rozhodl se opustit Liegnitz a vrátil se do Berlína. Nepotřeboval místo na univerzitě, ale potřeboval se účastnit akademického života a stýkat se s ostatními matematiky.

V roce 1855 do Berlína přišel Kummer a převzal uvolněné místo po Dirichletovi, který odešel do Göttingenu. Od roku 1855 v Berlíně přednášel Borchardt, který v roce 1855 po Crelleově smrti převzal jeho časopis. V roce 1856 přišel do Berlína také Weierstrass. Tak zde vznikla významná skupina matematiků, jejímiž členy byli Kummer, Borchardt, Weierstrass a Kronecker.

Protože Kronecker nezastával univerzitní místo, nemohl na univerzitě přednášet. Celý svůj čas proto věnoval publikování řady svých prací. Zabýval se teorií čísel, eliptickými funkcemi a algebrou. Nejdůležitějším Kroneckerovým přínosem však bylo propojení těchto oblastí. V roce 1860 Kummer navrhnul, aby Kronecker byl přijat do Berlínské akademie. Tento návrh podpořili Borchardt a Weierstrass. 23. ledna 1861 se Kronecker stal členem Berlínské akademie věd.

Členové Berlínské akademie věd měli právo přednášet na Berlínské univerzitě. Kummer přesvědčil Kroneckera, aby svého práva využil a Kronecker začal přednášet v říjnu 1862. Témata jeho přednášek úzce souvisela s jeho výzkumem: teorie čísel, teorie rovnic, teorie determinantů a teorie integrálů. Ve svých přednáškách se pokusil zjednodušit a zpřesnit existující teorie a představit je z nových perspektiv.

Jeho přednášky byly i pro nejlepší studenty sice náročné, ale zároveň stimulující. Kronecker nebyl oblíbeným přednášejícím mezi studenty a na přednáškách měl jen několik posluchačů, kteří byli schopni sledovat rozlet jeho mysli. Jen několik z nich vydrželo do konce semestru.

Kronecker se v Berlíně cítil dobře a proto v roce 1868 zdvořile odmítl nabídnuté místo v Göttingenu. Nepřijal ani takové ocenění, jako bylo přijetí za člena Pařížské akademie. Řadu let měl velice dobré vztahy s kolegy v Berlíně. Ale v 70. letech 19. století se tyto vztahy postupně zhoršovaly. Příčiny je třeba hledat v jeho matematickém přínosu.

Kronecker se zabýval především teorií rovnic a vyšší algebrou a významně přispěl k teorii eliptických funkcí, algebraických rovnic a k teorii algebraických čísel. Kronecker se však při studiu těchto témat domníval, že matematiku lze zredukovat na spočetný nebo konečný počet kroků. Je dobře známa Kroneckerova poznámka: "Bůh tvořil v celých číslech, všechno ostatní je prací člověka".

Kronecker věřil, že matematika by se měla zabývat pouze konečnými čísly a konečnými počty operací. Byl prvním, kdo začal pochybovat o významu nekonstruktivních existenčních důkazů. Zřejmě proto od počátku 70. let 19. století zpochybňoval použití iracionálních čísel, horní a dolní meze, a Bolzano-Weierstrassovu větu kvůli jejich nekonstruktivní podstatě. Podle Kroneckerovy filozofie matematiky neexistovala ani transcendentální čísla.

V roce 1870 Heine publikoval v Crelleově časopise článek "O trigonometrických řadách", ale Kronecker se pokusil tento článek odmítnout. Podobně v roce 1877 se Kronecker pokusil zabránit publikování Cantorovy práce v Crelleově časopise, nikoliv však kvůli osobním nesympatiím (jak tvrdí někteří autoři Cantorovy biografie), ale kvůli Kroneckerově postoji, že Cantorův článek nemá smysl. Cantor publikoval výsledky o matematických objektech, které podle Kroneckera neexistovaly. Kronecker byl v té době členem vydavatelské rady Crelleova časopisu a proto mohl ovlivnit, jaké články se v časopise publikovaly. Po Borchardtově smrti v roce 1880 Kronecker převzal nad časopisem kontrolu jako vydavatel a jeho vliv ještě zesílil.

V roce 1861 Kummer a Weierstrass společně založili v Berlíně matematický seminář a když v roce 1883 Kummer odešel, na vedení semináře se podílel Kronecker, což posílilo jeho vliv v Berlíně. Kronecker byl uznávaným matematikem také ve světě. 31. ledna 1884 byl přijat za zahraničního člena Královské společnosti v Londýně. Mezi německými matematiky měl významné postavení. Často jezdil do zahraničí a setkával se zde s vědeckými kolegy.

V 70. a 80. letech 19. století byl Kroneckerův postoj mezi jeho kolegy dobře znám, ale teprve v roce 1866 se o něj začala zajímat veřejnost V tomto roce Kronecker vystoupil proti teorii iracionálních čísel, kterou používali Dedekind, Cantor a Heine.

V roce 1882 Lindemann dokázal, že Ludolfovo číslo pí je iracionální. V roce 1886 ve své přednášce sice Kronecker složil poklonu jeho neobyčejnému důkazu, ale tvrdil, že se jednou podaří dokázat neexistenci transcendentálních čísel. Většina matematiků byla Kroneckerovými názory silně znepokojena, protože cítila, že se Kronecker pokouší zvrátit budoucí vývoj matematiky. Tento názor potvrzoval Kroneckerův program z roku 1887 "Über den Zahlbergriff" založený na studiu matematických objektů, které lze zkonstruovat konečným počtem operací z celých čísel.

Kronecker začal mít sklony osobně odmítnout kohokoliv, kdo s jeho matematickými názory nesouhlasil. Například naprosto odmítal Cantorovu převratnou práci o teorii množin. Pro Kroneckera byla nepřijatelná práce Dedekinda, Heineho a Cantora. Weierstrass měl pocit, že se Kronecker snaží ovlivnit budoucí generaci matematiků tak, že jejich práce přestane mít smysl.

V roce 1883 odešel z Berlína Kummer a na jeho místo nastoupil Kronecker. V roce 1888 odešel z Berlína do Švýcarska Weierstrass, který cítil, že s Kroneckerem nelze dále spolupracovat.

Kronecker byl muž malé postavy a cítil se velice dotčen, když někdo narážel na jeho výšku. V roce 1885 mu Schwarz poslal přání, ve kterém byla věta, jíž mínil jako dobrý vtip, ale Kroneckera velice urazila.

V roce 1890 vznikla Deutsche Mathematiker-Vereinigung a první zasedání této asociace se konalo v Halle v září 1891. Přes veškeré spory Cantor pozval Kroneckera, aby se zasedání zúčastnil jako významná postava německé matematiky. Kronecker se ale zasedání nezúčastnil, protože jeho manželka byla těžce zraněna po vážné nehodě a 23. srpna 1891 zemřela. Kronecker zemřel o několik měsíců později, v prosinci 1891.

Závěrem je třeba říci, že Kroneckerova práce rozhodně nebyla zcestná, jak se může zdát. Ačkoliv většina matematiků s jeho názory nesouhlasila, Kroneckerovy myšlenky rozvinuli Poincaré a Brouwer, kteří ukázali, že není možné definovat vlastnosti matematických objektů pouze výběrem určitého počtu axiómů.

Otec Eduarda Kummera, Carl Gotthelf Kummer byl lékařem. Zemřel však, když měl Eduard tři roky. Eduard byl vychováván svým bratrem, který pomáhal matce. Eduard měl soukromou výchovu a ve věku devíti let se začal učit na gymnáziu v Sorau. V roce 1828 Kummer začal studovat na Univerzitě v Halle s úmyslem vystudovat protestantskou teologii. Kummer však dobře ovládal matematiku a začal ji studoval jako součást svého studia filozofie. Kummer matematiku začal studovat u H. F. Scherka, který Kummera brzy přesvědčil, aby matematiku studoval jako svůj hlavní předmět.

V roce 1831 Kummer získal ocenění za svoji matematickou práci pod Scherkovým vedením. V témže roce získal certifikát, na jehož základě měl právo vyučovat ve škole. Díky tomu, že jeho práce byla oceněna, získal také doktorát. Během let 1831 a 1832 Kummer přednášel na gymnáziu v Sorau, kde získal středoškolské vzdělání. Poté získal učitelské místo na gymnáziu v Leignitz, dnes Legnici v Polsku.

Kummer vyučoval na gymnáziu v Leignitz deset let. Přednášel matematiku, fyziku a některá další témata. Někteří jeho žáci měli velké nadání a měli štěstí, že jejich učitelem byl právě Kummer, který je inspiroval k dalšímu studiu matematiky. Mezi Kummerovy nejvýznamnější žáky patřili Kronecker a Joachimsthal, kteří pod Kummerovým vedením se začali zabývat matematickým bádáním ještě ve škole.

Kummer se zabýval matematickým výzkumem ještě během svého působení v Leignitz. Publikoval Crelleho časopisu v roce 1836 článek o hypergeometrických řadách a zaslal jeho kopii Jacobimu. Díky tomu Jacobi a později Dirichlet začali korespondovat s Kummerem o matematických tématech a brzy objevili jeho velký potenciál v nejvyšších úrovních matematiky. V roce 1839, když Kummer ještě vyučoval na střední škole, byl díky Dirichletovu doporučení přijat do Berlínské akademie. Jacobi pomohl Kummerovi nalézt profesorské místo na univerzitě.

V roce 1840 se Kummer oženil s příbuznou Dirichletovy ženy, ale v roce 1848 jeho manželka zemřela. Během let svého manželství Kummer dosáhl svých velkých úspěchů. V roce 1842 díky značné podpoře Jacobiho a Dirichleta byl jmenován řádným profesorem na Univerzitě v Breslau (nyní Wroclav v Polsku). Brzy prokázal své výjimečné schopnosti při výuce matematiky a začal se zabývat teorií čísel. Po smrti své manželky v roce 1848 se Kummer brzy znovu oženil.

Během nepokojů 22. až 24. února 1848 v Paříži byl král Ludvík Filip svržen. To záhy vedlo v řadu povstání vůči vládě německé konfederace. Některé nepokoje, jako útoky na Berlín, byly značně krvavé. V té době řada lidí zastávala vyhraněné politické názory. Kummer během revoluce v roce 1848 podporoval konstituční monarchii a stál proti republice. 13. března 1848 Metternich, symbol stávající vlády, byl donucen odstoupit z rakouské vlády. Princezna brzy obnovila mír s opozicí, aby zabránila republikánským a socialistickým experimentům, k nimž došlo ve Francii.

V roce 1855 Dirichlet následoval Gausse a odešel z Berlína do Göttingenu. Doporučil, aby uvolněné místo převzal Kummer. Kummer poté použil úspěšného politického triku, když zajistil, aby do Berlína přišel také Weierstrass, který měl přejít na uvolněné místo v Breslau. Do Breslau doporučil svého bývalého studenta Joachimsthala. Weierstrass získal místo v Berlíně v roce 1856. V roce 1855 získal díky Kummerovi místo v Berlíně také Kronecker. Kummer tak díky svým politickým schopnostem vybudoval jedno z vedoucím matematických středisek ve světě.

V roce 1861 Kummer a Weierstrass založili první čistě matematický seminář v Německu. Kummerovy přednášky byly vždy pečlivě připraveny a týkaly se analytické geometrie, mechaniky, teorie povrchů a teorie čísel. Jasnost a přehlednost Kumerových přednášek přilákala zhruba 250 studentů. Weierstrass a Kronecker přednášeli své nejnovější výsledky.

Kummerova popularita jako profesora byla založena nejen na jasnosti jeho přednášek, ale také na jeho šarmu a smyslu pro humor. Kummer rád pobýval mezi studenty a pomáhal jim při studiu obtížnějších částí přednášek.

Ačkoliv Kummer byl vynikajícím učitelem matematiky, nikdy nenapsal žádnou učebnici. Publikoval své matematické přednášky a řadu velmi významných matematických článků.

Kummer v letech 1863 až 1878 byl tajemníkem matematické a fyzikální sekce Akademie. Na Univerzitě v Berlíně byl jmenován do vysoké funkce a v letech 1857 až 1858 a v letech 1865 až 1866 byl jmenován děkanem. V letech 1868 až 1869 byl jmenován rektorem univerzity.

Během svého působení v Berlíně Kummer vedl řadu doktorandů, z nichž řada později získala místa na univerzitách. Mezi nimi byli např. Bachmann, Cantor, du Bois-Reymond, Gordan, Schönflies a Schwarz. Schwarz se stal Kummerovým příbuzným, když se oženil s jednou z jeho dcer. Kummer podporoval jmenování řady mladých přednášejících, jako byl Clebsch, Christoffel a Fuchs. Fuchs v roce 1883 nastoupil na místo Kummera, který odešel kvůli selhávání paměti, o němž věděl ale jen on sám.

Během prvního období své matematické práce se Kummer zabýval teorií funkcí. Navázal na Gaussovu práci o hypergeometrických řadách a dosáhl určitých výsledků, které mají význam v teorii diferenciálních rovnic. Kummer byl prvním, kdo vypočetl grupy monodromie těchto řad.

V roce 1843 se Kummer pokusil neúspěšně dokázat Fermatovu poslední větu. Nepodařilo se mu provést jednoznačný rozklad, který se pokoušel zajistit zavedením "ideálních" čísel místo aby provedl rozšíření na okruhy komplexních čísel. Řada dalších Kummerových prací umožnila vývoj teorie okruhů a abstraktní algebry.

Pařížská akademie věd v roce 1857 ocenila Kummera Velkou cenou za jeho práci. Původně cena 3000 franků měla náležet tomu, kdo nalezne řešení Fermatovy poslední věty, ale když po dlouhou dobu řešení nebylo nalezeno, byla cena předána Kummerovy.

Brzy poté byl Kummer přijat do Pařížské akademie věd. V roce 1863 se Kummer stal členem Královské společnosti v Londýně. Během svého života Kummer přijal řadu dalších ocenění.

Ve svém "geometrickém" období Kummer studoval systémy paprsků, kterými se zabýval Hamilton. Kummer tyto problémy řešil algebraicky. Kummer objevil v roce 1864 plochu čtvrtého řádu, která dnes nese jeho jméno. Tato plocha obsahuje 16 izolovaných kónických dvojitých bodů a 16 singulárních tečných rovin.

Po dobu asi dvaceti let spolupracovala trojice velkých matematiků a současně blízkých přátel, jimiž byli Kummer, Weierstrass a Kronecker. V roce 1875 se ale objevily neshody mezi Weierstrassem a Kroneckerem. Kummer ale i nadále spolupracoval s Kroneckerem.

Lacroixovy rodiče byli chudí a Lacroix měl štěstí, že byl Mongeovým studentem, který ovlivnil jeho další život. Díky Mongeově vlivu byl po ukončení studií jmenován v roce 1782 profesorem matematiky na École Gardes de Marine v Rochefortu.

Později Lacroix získal místo na École Normale, ještě později na École Centrale des Quatre Nations. V roce 1799 byl jmenován profesorem matematiky na École Polytechnique a zastával zde místo na katedře analýzy. Ve stejném roce se stal členem Ústavu. V roce 1810 se stal profesorem na Faculté des Sciences.

V roce 1815 odešel z École Polytechnique a přijal místo na Sorbonně a na Collége de France.

Lacroix napsal důležité učebnice matematiky, čímž významně přispěl k výuce matematiky v celé Francii. V letech 1797 až 1800 publikoval knihu o třech svazcích "Traité de Calcul differéntiel et intégral". V letech 1797 až 1799 publikoval knihu o deseti svazcích "Cours de Mathématique".

Tyto knihy přesáhly svým významem Francii díky svému překladu do angličtiny a jako "nová kontinentální matematika" se dostaly na univerzity ve Velké Británii.

Lacroix zastával názor, že algebra a geometrie by měly být studovány odděleně, aby se výsledky studia obou oborů vzájemně doplňovaly.

Edmon Laguerre navštěvoval École Polytechnique v Paříži, ale nebyl vynikajícím studentem. Po ukončení studia byl v letech 1854 až 1864 důstojníkem dělostřelectva a poté se vrátil na École Polytechnique, kde působil až do konce života.

Svoji nejvýznamnější práci vykonal v oblastech analýzy a geometrie. Jeho práce v oblasti geometrie měla význam v jeho době, ale byla překonána teorií Lieových grup, Cayleyovou prací a Kleinovou prací.

Laguerre studoval aproximační metody a dnes je znám díky zvláštním funkcím, Laguerrovým polynomům, které jsou řešením Laguerrovy diferenciální rovnice.

Otec Horace Lamba byl předákem v přádelně bavlny a vešel ve známost díky svým úpravám přádelních strojů. Horace studoval na střední škole ve Stockportu. V roce 1866, když mu bylo 17 let, získal stipendium na Queen's College v Cambridge, ale stipendium využil k ročnímu studiu na Owens College v Manchesteru.

Na Owens College se Lamb začal natolik zajímat o matematiku, že následujícího roku přešel na Trinity College v Cambridge, kde se věnoval studium matematice. Lamb docházel na přednášky Stokese a Maxwella a absolvoval v roce 1872. V témže roce získal Smithovu cenu a stal se přednášejícím na Trinity College.

V roce 1875 získal místo matematika v Adelaide v Austrálii, kde zůstal následujících deset let. Adelaide mělo pro Lambovu kariéru značný význam, protože jako jediný profesor matematiky brzy získal velkou vážnost. Jeho jasné a přehledné přednášky byly brzy známé v celé Austrálii.

V roce 1885 Lamb odešel z Austrálie a přijal místo v Anglii na Victoria University (dnes Univerzita v Manchesteru). Jeho četné přednášky a knihy popisující jeho metody významně posílily postavení této školy. Mnoho jeho studentů byli inženýři, kteří ocenili jasný a přehledný výklad, díky němuž překonali potíže se studiem matematiky a byli schopni matematiky aplikovat v různých oblastech mechaniky.

Lamb zastával své místo v Manchesteru až do roku 1920, kdy ve věku 70 let odešel do Cambridge. Zde získal čestný post, který mu umožnil pokračovat ve výzkumu.

Lamb napsal důležité práce o aplikované matematice, zejména o akustice a dynamice kapalin. Mezi jinými napsal v roce 1878 práci "Mathematical Theory of the Motion of Fluids" o matematické teorii pohybu kapalin. Jeho kniha "Hydrodynamics" z roku 1895 byla řadu let standardní učebnicí hydrodynamiky. Lambovy knihy sehrály na řadu let významnou roli při výuce matematiky na britských univerzitách.

Lamb se dále zabýval šířením vln, elektrickou indukcí, zemětřesením a teorií přílivu a odlivu. Napsal důležitou práci o oscilacích pružného sféroidu, o vibracích pružných kulových povrchů, o vlnách v pružných tělesech, o elektrických vlnách a o absorpci světla. Ve své skvělé práci v časopise Proceedings Londýnské matematické společnosti Lamb ukázal, jak Rayleighovy výsledky týkající se vibrací tenkých vrstev souhlasí s obecnými rovnicemi jeho teorie. Další práce se zabývala Lambovým studiem šíření vln po povrchu pružných těles. Lamb se pokusil vysvětlit způsoby, jakým se šíří seizmické vlny po povrchu Země.

Kromě zmíněných prací Lamb napsal v roce 1897 "Infinitesimal Calculus" týkající se infinitezimálního počtu, v roce "Dynamical Theory of Sound" o dynamické teorii zvuku a v roce 1920 "Higher Mechanics" o mechanice.

V roce 1884 byl Lamb přijat do Královské společnosti, stal se členem výboru Společnosti a dvakrát byl viceprezidentem Společnosti. V roce 1902 obdržel Královskou medaili Královské společnosti a v roce 1923 obdržel Copleyovu medaili. Významně podporoval Londýnskou matematickou společnost a v letech 1902 až 1904 byl jejím prezidentem a v roce 1911 obdržel De Morganovu medaili.

Lamb se stal členem řady matematických společností v Evropě a v roce 1931 byl královnou povýšen do rytířského stavu.

Sophus Lie se zabýval zejména teorií spojitých grup transformací a diferenciálními rovnicemi. Lieovy grupy a Lieovy algebry nesou jeho jméno.

Lie studoval matematiku na škole u Sylowa a pak navštěvoval Sylowovy přednášky o teorii grup na Univerzitě v Christianii, kde v roce 1865 školu úspěšně absolvoval. Několik následujících let se rozhodoval o své budoucí kariéře.

V roce 1868 Lie studoval práce Ponceleta a Plückera. V roce 1869 se rozhodl odejít do Berlína, kde se setkal s Felixem Kleinem. Setkal se s ním znovu v Paříži a začal pracovat na teorii grup transformací. Spolupracoval s Kleinem a publikoval s ním několik článků. Jejich společná práce vedla v roce 1872 ke Kleinově charakterizaci geometrie pomocí grup transformací. Lie v Paříži objevil transformace, které umožňovaly vzájemně jednoznačné a prosté zobrazení mezi přímkami a plochami tak, že tečny plochy odpovídaly protínajícím se přímkám.

V roce 1870 kvůli francouzsko-německé válce byl Klein a Lie donuceni Francii opustit. Lie se rozhodl odejít do Itálie. Na cestě byl však zatčen jako německý špión a jeho matematické poznámky byly považovány za tajné kódované zprávy. Jen díky přímluvám Darbouxa byl Lie z vězení propuštěn a vrátil se do Christianie, kde později získal doktorát.

V té době opustil svoji původní myšlenku věnovat se parciálním diferenciálním rovnicím a začal se zabývat Lieovými algebrami. Killing studoval Lieovy algebry nezávisle na Lieovy a Cartan v roce 1900 publikoval klasifikaci Lieových algeber.

Celkem devět let Lie spolupracoval s Engelem a společně s ním publikoval v roce 1893 dílo "Theorie der Transformationsgruppen" o třech svazcích, významnou Lieovu práci o spojitých grupách transformací. Engel byl Kleinovým studentem, kterého Klein poslal studovat k Lieovi.

V roce 1886 Lie následoval Kleina do Lipska a Engel byl jeho asistentem. V roce 1892 ale dlouhé přátelství mezi Liem a Kleinem skončilo.

V roce 1898 se Lie vrátil do Christianie, kde získal místo, které bylo speciálně pro něj zřízeno a zastával ho až do doby, kdy mu to zdraví již nedovolilo.

Lie přispěl také k diferenciální geometrii, avšak jeho hlavní přínos leží v matematickém výzkumu teorie diferenciálních rovnic.

Joseph Liouville je znám díky své práci z roku 1844 o existenci transcendentálních čísel, kdy zkonstruoval nekonečnou třídu těchto čísel.

Josephův otec byl kapitánem v Napoleonově armádě a proto Joseph strávil prvních několik let života u svého strýce. Jeho otec válku přežil a když byl Napoleon poražen, vrátil se k rodině. Rodina se pak usídlila v Toul, kde Joseph navštěvoval školu. Z Toul pak Joseph odešel na College St. Louis v Paříži, kde studoval nejpokročilejší matematiku. Po prostudování článků v Gergonneově časopisu dokázal některé geometrické výsledky, které popsal ve svých článcích, aniž je publikoval.

V roce 1825 Liouville začal studovat na École Polytechnique a v letech 1825 až 1826 navštěvoval Ampérovy přednášky Cours d'analyse et de mécanique. Dále navštěvoval Aragovy přednášky na École Polytechnique a další Ampérovy přednášky na College de France. Ačkoliv Liouville nikdy nenavštěvoval Cauchyho přednášky, měla na něj Cauchyho práce značný vliv. V roce 1827 Liouville studium úspěšně dokončil.

Po absolvování školy École Polytechnique Liouville začal působit na École des Pont et Chaussées. Začal pracovat na různých inženýrských projektech, ale onemocněl a nějakou dobu strávil doma v Toul. Zjistil, že pro rozvoj své akademické kariéry nemůže studovat mimo Paříž. Přesto Paříž několikrát opustil a při jedné takové přestávce se oženil. V říjnu 1830 své působení na École des Ponts et Chaussées ukončil. V té době Liouville napsal několik článků o elektrodynamice, parciálních diferenciálních rovnicích a teorii tepla, které zaslal Akademii.

V roce 1831 byl Liouville přijat na svůj první akademický post jako asistent Clauda Mathieua, který byl jmenován na Ampérovo místo na École Polytechnique. Liouville navíc přednášel na École Centrale a na několika soukromých školách. Během tohoto období přednášel 35 až 40 hodin týdně. Některé z přednáškových kursů ale měly pro méně schopné studenty příliš vysokou úroveň.

V roce 1836 Liouville založil matematický časopis Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Tento časopis, označovaný někdy jako Journal de Liouville, byl významným přínosem pro francouzskou matematiku 19. století. Liouville sice získal mezinárodní postavení díky svým článkům publikovaným v Crelleově časopisu, ale v té době kvalita tohoto časopisu byla zatížena jistými nedostatky a časopis nesplňoval požadavky francouzských matematiků.

V roce 1836 po Navierově smrti byl Liouville jedním z horkých kandidátů na jeho místo na École Polytechnique. Místo však získal nakonec Duhamel. V roce 1837 Liouville začal přednášet na College de France jako Biotův zástupce. V roce 1838 byl jmenován profesorem analýzy a mechaniky na École Polytechnique.

V roce 1839 byl přijat do astronomické sekce francouzské akademie Académie des Sciences přes značný odpor Libriho. Po Liouvilleově zvolení do akademie se rozpory mezi ním a Librim ještě prohloubily. V roce 1840 po smrti Poissona byl Liouville jmenován do úřadu Bureau des Longitudes.

Rok 1840 byl pro něj rozhodujícím rokem. Během dlouhého letního období Liouville pobýval v Toul, kde se věnoval výzkumu, psal vědecké články a věnoval se svým nakladatelským povinnostem. Od listopadu do července pak pobýval v Paříži, kde se věnoval výuce a administrativním povinnostem.

Když v roce 1843 zemřel Lacroix, Liouville kandidoval na jeho místo na College de France, kde dosud zastupoval Biota. Místo něj byl ale jmenován Libri. Liouville okamžitě odešel z College de France, protože Libriho jmenování považoval za nesprávné.

Liouville působil také v politice. Jedním z jeho přátel a matematických kolegů byl Arago, který byl v roce 1831 jmenován do Poslanecké sněmovny a stal se vedoucím Republikánské strany. Několik Liouvilleových kolegů také působilo v politice. Například Catalan měl podobné republikánské smýšlení jako Liouville, ale politika nakonec zničila jeho matematickou kariéru.

Na Aragův podnět se Liouville v roce 1848 rozhodl kandidovat do Zákonodárného shromáždění. 23. dubna 1848 byl Liouville zvolen a zasedal tak mezi významnou republikánskou většinou. Ale dělníci byli s revolucí nespokojeni, protože cítili, že byli buržoazií podvedeni.

V roce 1849 se volby do Zákonodárného shromáždění opakovaly, ale Liouville tentokrát nebyl zvolen. Tato porážka překvapivě ovlivnila jeho osobnost. Stal se nesnášenlivým, dokonce vůči svým starým přátelům. Nebyl schopen matematicky pracovat a začal se věnovat poezii a filosofii.

Během revoluce v roce 1848 Libri utekl z Francie, aby se vyhnul uvěznění za své knihy a rukopisy. Do roku 1850 zůstalo jeho místo volné než se o ně utkali Cauchy a Liouville. Velmi těsně zvítězil Liouville a od roku 1851 začal na College de France přednášet.

Ačkoliv během revolučních let Liouville se matematice věnoval jen okrajově, v 50. letech 19. století se začal matematice znovu naplno věnovat navzdory zdravotním problémům. Roky 1856 a 1857 patřily k jeho nejproduktivnějším. V roce 1857 získal místo na katedře mechaniky na Faculté des Sciences. Liouville byl značný perfekcionista a snažil se své přednášky zdokonalit. Proto začal znovu publikovat. Jeho nejvýznamnější výsledky pocházejí z roku 1856, avšak kvůli nedostatku času je nebyl schopen dokázat.

V roce 1859 zemřel Dirichlet, který byl Liouvilleovým blízkým přítelem a jeho hlavním korespondentem.

Liouvilleova matematická práce postihuje širokou oblast od matematické fyziky přes astronomii k čisté matematice. Jednou z prvních oblastí, jíž se Liouville v letech 1832 až 1837 zabýval, byly práce v teorii elektromagnetismu.

V letech 1832 až 1833 Liouville objevil kritéria pro integrály algebraických funkcí. Ve čtyřech článcích se Liouville zabýval obecným problémem integrace algebraických funkcí. Zpočátku tato práce byla nezávislá na Abelově práci, ale později Liouville využil některé Abelovy myšlenky.

Další oblastí, jíž se Liouville zabýval, a jeho přínos je dodnes znám, byla práce o transcendentálních číslech. Tento jeho zájem vycházel ze studia korespondence mezi Goldbachem a Danielem Bernoullim. Liouville se pokusil neúspěšně dokázat, že Eulerovo číslo e je transcendentální. Naopak se mu podařilo v roce 1844 dokázat existenci transcendentálních čísel, když zkonstruoval nekonečnou třídu těchto číslo pomocí zlomků. V roce 1851 Liouville publikoval své výsledky o transcendentálních číslech nezávisle na zlomcích. Zkonstruoval mimo jiné Liouvilleovo číslo

0.1100010000000000000000010000...

kde 1 je na místě n! a 0 jinde.

Dále se Liouville zabýval problémem okrajových podmínek diferenciálních rovnic, dnes nazývaný Sturmovou-Liouvilleovou teorií a používaný pro řešení integrálních rovnic. Tato teorie, která vznikla v letech 1829 až 1837, měla značný význam v matematické fyzice. Sturm a Liouville studovali obecné lineární diferenciální rovnice druhého řádu a vlastnosti jejich vlastních hodnot, vlastních funkcí a rozvojů funkcí pomocí těchto vlastních funkcí.

Liouville dále přispěl k rozvoji diferenciální geometrie studiem konformních transformací. Dokázal větu týkající se míry zachovávající vlastnost hamiltonovské dynamiky. Tento výsledek má význam jak ve statistické mechanice, tak v teorii míry.

V roce 1842 Liouville začal studovat Galoisovy nepublikované články. V září 1843 francouzské akademii oznámil, že v těchto článcích objevil některé velmi významné výsledky a slíbil, že bude Galoisovy články publikovat se svým komentářem. Proto měl značný vliv na přijetí Galoisovy práce, kterou publikoval v roce 1846 ve svém matematickém časopise. Své komentáře ale nakonec nepochopitelně nepublikoval, přestože tyto komentáře, které vyplnily některé mezery v Galoisových důkazech, jistě napsal. Liouville také o Galoisově práci přednášel a tyto přednášky navštěvoval Bertrande a Hermite.

O teorii čísel Liouville napsal asi 200 článků a celkově publikoval asi 400 článků.

Rudolf Lipschitz se zabýval kvadratickými diferenciálními formami a mechanikou. Jeho práce na Hamiltonově-Jacobiho metodě integrace rovnic pohybu obecného dynamického systému vedla k důležitým aplikacím této metody v nebeské mechanice.

Lipschitz je znám díky Lipschitzově podmínce, nerovnosti, která zaručuje existenci jednoznačného řešení diferenciální rovnice tvaru y' = f(x,y). Peano dokázal existenční větu pro tento typ diferenciální rovnice za podmínek, které zaručují nejméně jedno řešení.

Lipschitz znovu objevil Cliffordovy algebry a jako první tyto algebry použil na reprezentaci rotací Euklidovských prostorů. Definoval tak grupu spinů Spin(n).

Jules Lissajous začal v roce 1841 studovat na École Normale Supérieure. Po dokončení studia se stal profesorem matematiky v lyceu Lycée Saint-Louis. V roce 1850 za svoji práci o vibracích tyčí s použitím metody Chladniho obrazců v písku, aby určil uzlové pozice, obdržel doktorát. V roce 1874 se stal rektorem Akademie v Chambéry a v roce 1875 byl jmenován rektorem Akademie v Besanconu.

Lissajous se zajímal o vlnění a vyvinul optickou metodu pro studium vibrací. Jako první studoval vlny vznikající při ponoření zvukové ladičky do vody. V roce 1855 popsal metodu studia akustických vibrací pomocí odrazu paprsku světla od zrcadla, které je upevněno na vibrujícím objektu.

Duhamel se pokusil demonstrovat tyto vibrace s mechanickou vazbou, ale Lissajous se chtěl problému této vazby vyhnout. Získal tak Lissajousovy obrazce odraženého světla ze zrcadel upevněných na dvou vibrujících ladičkách svírajících vzájemně pravý úhel.

Lissajous studoval obrazce v případě dvou ladiček se slabě odlišnými frekvencemi a zjistil, že vznikají rotující elipsy.

V roce 1873 Lissajous získal Lacazeovu cenu za svoji práci při optických pozorováních vibrací.

Helmholtz později použil Lissajousovy metody pro studium vibrací strun.

- pokračování -