Typografické poznámky k matematickým vztahům jsou uvedeny na konci tohoto textu.

Již před 4000 lety babylónští astronomové byli schopni předpovědět zdánlivý pohyb Měsíce, planet a Slunce na obloze a dokonce uměli předpovědět zatmění. Teprve starověcí Řekové sestavili první kosmologický model, který měl vysvětlovat děje na obloze. Ve čtvrtém století př.n.l. se poprvé objevila myšlenka, že hvězdy jsou upevněny na nebeské sféře, která se otáčí kolem kulaté Země, a že planety, Slunce a Měsíc se pohybují mezi Zemí a nebeskou sférou.

Tento model se během následujících století zdokonaloval. Ve 2. stol.n.l. vznikl Ptolemaiův kosmologický systém. Planety a hvězdy se v tomto modelu pohybovaly po kružnicích kolem pevné Země. Aby se vysvětlil složitý zdánlivý pohyb planet, které se pohybují vpřed a nazpět v periodických smyčkách, tak tento model obsahoval myšlenku epicyklů, podle níž se planety pohybují po kružnicích, které se pohybují po kružnicích kolem pevné Země.

Přes značně komplikovanou strukturu Ptolemaios vytvořil model, který úspěšně vysvětloval zdánlivý pohyb planet a přetrval staletí. Až v 16. století Mikoláš Koperník navrhl heliocentrický systém, který ale nedosahoval přesnosti Ptolemaiova systému. Koperník tvrdil, že se Země otáčí kolem vlastní osy a společně s ostatními planetami obíhá kolem Slunce. Pozorovaná fakta ale svědčila spíše pro Ptolemaiův systém.

Existovaly ještě další důvody, proč většina astronomů odmítla Koperníkovu představu Země obíhající kolem Slunce. Tycho Brahe, největší astronom 16. století, tvrdil, že pokud by Země obíhala kolem Slunce, pak by se relativní polohy hvězd musely měnit podle toho, ve kterém bodě své dráhy se Země nachází. Ale pro tento posuv, paralaxu, nebyl žádný důkaz. Proto se Země neotáčí kolem své osy anebo jsou hvězdy neuvěřitelně daleko.

Počátkem 17. století Galileo Galilei díky vynálezu dalekohledu prokázal, že Země není středem vesmíru. Objevil měsíce, které obíhají kolem planety Jupiter. Pokud mohou měsíce obíhat kolem jiných planet, proč by planety nemohly obíhat kolem Slunce?

Ve stejné době Braheův asistent Johannes Kepler nalezl klíč k řešení problémů heliocentrického modelu. Planety se kolem Slunce nepohybují po kružnicích, ale po elipsách. Později Newton dokázal, že eliptický pohyb vyplývá z jeho gravitačního zákona, podle něhož vzájemné gravitační přitahování dvou těles je přímo úměrné součinu jejich hmotností a nepřímo úměrné druhé mocnině jejich vzdálenosti.

Stále však chyběl důkaz pozorovatelné paralaxy hvězd, který by dokázal, že Země skutečně obíhá kolem Slunce. Proto hvězdy musely být značně daleko. Pomocí svého dalekohledu Galilei objevil tisíce nových hvězd, které nebyly viditelné pouhým okem. Newton došel k závěru, že vesmír musí být nekonečným mořem hvězd, které se podobají našemu Slunci.

Teprve v 19. století matematik Friedrich Wilhelm Bessel změřil paralaxu několika nejbližších hvězd. Zjistil, že nejbližší hvězda jiná než Slunce je vzdálena desítky miliard kilometrů.

Většina hvězd, které vidíme, tvoří Mléčnou dráhu, světlejší shluky hvězd pozorované na noční obloze. Immanuel Kant a další zastávali názor, že Mléčná dráha má tvar čočky a představuje vesmírný ostrov hvězd, Galaxii, který musí být obklopen mnoha dalšími galaxiemi.

Astronomové kromě hvězd a planet pozorovali také neurčité oblasti světla, které nazvali mlhovinami. Někteří astronomové se domnívali, že mlhoviny mohou být vzdálenými galaxiemi. Teprve ve 20. letech 20. století americký astronom Edwin Hubble dokázal, že některé tyto mlhoviny jsou skutečně vzdálené galaxie o velikosti srovnatelné s velikostí Mléčné dráhy.

Edwin Hubble učinil významný objev. Zjistil, že všechny galaxie se vzdalují tím rychleji, čím jsou dále. Přirozené vysvětlení podala Einsteinova obecná teorie relativity, podle níž se vesmír rozpíná.

Albert Einstein v roce 1915 při řešení rovnic gravitačního pole nalezl řešení, podle něhož se vesmír buď rozpíná nebo smršťuje. Proto zavedl do svých rovnic kosmologickou konstantu, aby získal statický model vesmíru.

Ruský matematik a meteorolog Alexandr Fridmann nalezl řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole pro rozpínající se vesmír. Podle tohoto kosmologického modelu se vesmír začal rozpínat z nekonečně hustého a horkého bodu mohutnou erupcí, kterou Fred Hoyle nazval přiléhavě "velký třesk".

Kosmologický model "steady state", který měl vysvětlit rozpínání vesmíru, obhajovali Bondi, Gold a Hoyle. Tento model předpokládal, že ve vesmíru neustále vzniká nová hmota, aby se vesmír mohl rozpínat a přitom zůstával neměnný.

Řadu let byla otázka, zda vesmír je věčný a neměnný nebo má počátek, čistě akademická. Z vlastnosti Fridmanova řešení vyšel George Gamow, který v letech 1946 až 1956 vyslovil a rozpracoval hypotézu horkého vesmíru, podle níž teplota ve vesmíru v raných stádiích po velkém třesku (singulárním počátku vesmíru, který odpovídal času t=0 ve Fridmanově kosmologickém modelu) dosahovala miliard Kelvinů a během tohoto stádia pomocí jaderné syntézy vznikly všechny chemické prvky. Horký raný vesmír byl zaplněn fotony s vysokou energií. V důsledku expanze vesmíru se energie těchto fotonů snižovala. George Gamow vyslovil hypotézu, že dnes bychom měli pozorovat spektrální rozdělení energie těchto "reliktních" fotonů odpovídající záření absolutně černého tělesa s teplotou několika Kelvinů, což odpovídá záření s vlnami v centimetrovém pásmu. V roce 1948 na základě Gamowova modelu předpověděli existenci reliktního všesměrového záření Ralph Alpher a Robert Herman. Této hypotéze nebyla věnována větší pozornost až do roku 1965, kdy A. Penzias a R. Wilson náhodně při analýze šumu radioteleskopické antény objevili slabé mikrovlnné záření, které přicházelo ze všech směrů oblohy, bylo nepolarizované a časově konstantní. Spektrum tohoto záření odpovídalo záření absolutně černého tělesa o teplotě asi 2,7 Kelvinů.

Až do 70. let 20. století téměř všichni kosmologové přijímali model s počátečním horkým velkým třeskem jako uspokojivý výklad vzniku vesmíru. Objevily se však otázky, které naznačily zásadní nedostatky tohoto standardního kosmologického modelu. Jak vznikly galaxie a kupy galaxií z počáteční expanze, když rozpínání bylo homogenní a izotropní? Proč převažuje hmota nad antihmotou? Co je počáteční singularita vesmíru? Jaká je hodnota kosmologické konstanty? Bude se vesmír trvale rozpínat?

V roce 1992 kosmická sonda CBE (Cosmic Background Explorer) NASA objevila první nepravidelnosti kosmického rádiového pozadí. Odhalila slabé fluktuace teploty záření, které mohou objasnit, jak vznikly galaxie.

Počátkem 80. let 20. století byl zahájen intenzivní výzkum vesmíru pomocí kosmických satelitů, jako je Hubbleův vesmírný dalekohled HST (the Hubble Space Telescope), který umožňuje získat snímky nejvzdálenějších oblastí vesmíru a tak přispět k pochopení jeho vzniku a vývoje. Teoretikové se snaží vytvořit uspokojivější modely, které by spojily kvantovou teorii s obecnou teorií relativity a poskytly ucelený sjednocený model částicové fyziky a relativistické kosmologie.

Všichni matematikové, fyzikové a astronomové, o nichž v tomto seriálu hovoříme, disponovali neobyčejnými schopnostmi myšlení a představivosti. Někteří z nich navíc měli neobyčejnou paměť a schopnost výpočtů. Kromě matematiků se v historii objevila řada lidí bez matematického vzdělání, kteří měli neobyčejnou schopnost počítat zpaměti, která nás dodnes udivuje.

John Wallis byl například schopen zpaměti určit celou část druhé odmocniny čísla 3.10⁴⁰. Výsledek pak zapisoval několik hodin na papír ze své paměti. O dva měsíce později po tomto neobyčejném výkonu byl vyzván, aby vypočetl odmocninu z čísla, které mělo 53 číslic. Celý výpočet Wallis provedl zpaměti.

John Wallis se od řady jiných lišil také věkem, neboť zmíněné výkony prováděl ve svých 53 letech. Většina ostatních, kteří byli schopni provádět aritmetické výpočty zpaměti, byli děti, často kolem 10 let věku.

Fenomenální paměť měl John von Neumann, který byl schopen si zapamatovat po jednom přečtení celý článek a zopakovat jej dokonce o několik let později bez jediné chyby. Von Neumann byl také schopen naprosto plynně překládat ze svého rodného jazyka do angličtiny libovolný text. Hermann Goldstine napsal, že jednou testoval jeho paměť tím, aby mu přednesl "Příběh dvou měst" a von Neumann okamžitě začal recitovat první kapitolu a pokračoval až do přerušení asi deset nebo patnáct minut.

Von Neumannova schopnost mentální aritmetiky je zdrojem řady příběhů, u nichž je těžké rozhodnout mezi pravdou a smyšlenkou. Pravdou je, že byl schopen násobit dvě osmimístná čísla zpaměti.

Dalšími matematiky s velkými schopnostmi mentální aritmetiky byli André Marie Ampére, William Rowen Hamilton a Johan Carl Friedrich Gauss. Pouze jediný matematik, Alexander C. Aitken, detailně popsal, jakým způsobem prováděl své neobyčejné výpočty zpaměti. Povšimněme si ale nejprve lidí, kteří neměli žádné matematické vzdělání.

Zerah Colburn se narodil v roce 1804 v Cabutu, Vermont, ve Spojených státech amerických. V roce 1812 předváděl v Evropě své neobyčejné schopnosti, kdy byl schopen vypočítat součin dvou čtyřmístných čísel, ale měl problémy, pokud obě čísla byla větší než 10000. Během několika sekund vypočetl z paměti 16 mocninu čísla 8, ale odpovídal pomaleji, když měl umocňovat dvojmístná čísla, jako je 37 nebo 59. Když měl rozložit číslo 247483 na součin celých čísel, odpověděl správně 941 a 263. Když měl rozložit číslo 171395, odpověděl 5, 7, 59 a 83. Když měl rozložit číslo 36083, odpověděl, že rozložit nelze.

Colburn byl zajímavý z několika důvodů. Především probudil u Hamiltona zájem o matematiku. Dále se jasně ukázalo, že tyto neuvěřitelné schopnosti během dalšího vzdělání postupně zmizí. Příčinou je, že tyto schopnosti vyžadují trénink několik hodin denně a při dalším vzdělávání k tomu není čas. Colburn byl také schopen vysvětlit, jak ke svým výsledkům přicházel.

George Parker Bidder se narodil v roce 1806 v Moreton Hampstead v Devonshire v Anglii. Byl jedním z těch, kteří své schopnosti při dalším vzdělávání neztratili a napsal o nich zajímavé pojednání. Také ostatní členové Bidderovy rodiny měli neobyčejnou paměť a schopnosti počítání. Jeden z bratrů znal celou Bibli zpaměti a další, když přišel o všechny knihy při požáru, je během roku přepsal zpaměti. Jeden z Bidderových synů byl schopen násobit dvě čísla s patnácti ciframi zpaměti, ale byl pomalejší a méně přesný než jeho otec. Bidder popsal, jak je pro něj důležitý zvuk čísel než jejich obrazová reprezentace.

Posledním nematematikem, o němž se zmíníme, byl Dase. Jeho talent zkoumali Gauss, Encke a další matematikové. Příkladem jeho schopností je násobení čísel 79532853 a 93758479, kdy výsledek určil za pouhých 54 sekund. Dvě dvacetimístná čísla byl schopen vynásobit za 6 minut, dvě čtyřicetimístná čísla za 40 minut a dvě stomístná čísla za 8 hodin a 45 minut.

Přestože Dase neměl žádné matematické vzdělání, poskytoval matematikům velmi cenné služby. Například ukázal, jak lze použít výraz

p/4 = tan^-1(1/2) + tan^-1(1/5) + tan^-1(1/8) ,

když s jeho pomocí vypočetl číslo p na 200 desetinných míst za dva měsíce. V letech 1844 až 1847 počítal přirozené logaritmy prvních 1005000 čísel na sedm desetinných míst.

V 19. století bylo oblíbenou zábavou předvádět neobyčejně nadané děti, jak provádějí výpočty zpaměti. Tato zábava přinášela peníze podobně jako jiná kejklířská a kouzelnická čísla.

Dalším velmi nadaným chlapcem byl Truemen Henry Stafford z Royaltonu, Vermont ve Spojených státech amerických. Stafford své schopnosti nepředváděl, ale v deseti letech měl schopnosti, které mohly soutěžit s ostatními zde zmíněnými dětmi. O něco déle než za jednu minutu byl schopen nalézt druhou mocninu čísla 365365365365365365.

Stafford později vystudoval Univerzitu v Princetonu a stal se profesionálním astronomem. S věkem se jeho schopnosti začaly postupně zpomalovat.

Nejzajímavějším matematikem s neobyčejnými schopnostmi byl Alexander C. Aitken. Když bylo Aitkenovi 15 let, sám se rozhodl provádět výpočty z paměti pomocí mentálních cvičení brahmanské jógy. Postupoval krůček za krůčkem a postupně to, co bylo zpočátku složité, bylo stále snazší a snazší.

Aitken se stal vynikajícím profesionálním matematikem a působil na Univerzitě v Edinburgu ve Skotsku. Svoji vynikající paměť využíval jako matematik řadou způsobů. Když např. studoval nové vydání nějakého matematického časopisu, pouze prošel jednu stránku za druhou rychlostí, za níž běžný čtenář byl schopen přečíst jen několik řádků. Co jednou viděl, již nezapomněl.

Aitkenovy mentální schopnosti studoval také jeden psycholog z Edinburgu. Zvláštním aspektem Aitkenovy schopnosti mentálních výpočtů byla jeho schopnost kombinovat svoji neobyčejnou paměť s hlubokým pochopením metod numerické matematiky.

Hunter popsal Aitkena, když recitoval prvních 1000 číslic čísla pí. Uvedl, že Aitken prvních 500 číslic přeříkal bez chyby a jakéhokoliv zdržení. Pak udělal krátkou přestávku, aby se nadechl. Všech 1000 číslic přeříkal za 150 sekund. Hunter také uvedl, že Aitken u druhých 500 číslic několikrát zaváhal a také se opravoval. Když se ho Hunter ptal, proč druhých 500 číslic bylo pro něj obtížnější, Aitken jednak uvedl, že byl poněkud unaven, ale především, že se musel druhých 500 číslic naučit znovu, protože se v prvních 707 číslicích nalezla chyba. Aitken nebyl schopen zapomenout prvních nesprávných 180 číslic.

Aitken uvedl, že každé číslo si představoval hned v několika potřebných tvarech. Například

1961 = 37.53 = 44² + 5² = 40² + 19² .

Velmi rychle se pak rozhodl, který tvar pro konkrétní výpočet použije. Když například potřeboval desetinný rozvoj čísla 1/851, představil si 851 jako 23.37. Když potřeboval odmocninu z 851, představil si toto číslo jako 29² + 10.

Čísla vyplňovala Aitkenův svět. Vyprávěl, že když šel třeba na procházku a viděl automobil s registračním číslem 731, hned si představil, že toto číslo je 17.43. Některá čísla nemají žádné zvláštní vlastnosti, jako je 811 nebo 41, ale tato čísla mají zvláštní postavení v některých matematických větách.

Aitken měl schopnost čísla dělit a byl proto schopen počítat desetinné rozvoje racionálních čísel, kterou ostatní počtáři neměli. Aitken na rozdíl od počtářů používal různé matematické triky pro usnadnění výpočtů. Díky těmto trikům byl schopen svoji rychlost výpočtu několikanásobně zrychlit.

Když měl Aitken vysvětlit, jaký je rozdíl mezi ním a běžným člověkem, uvedl, že on si pamatuje všechny již provedené výpočty a později jich jen užívá, zatímco běžný člověk tyto výpočty zase zapomene.

Aitken také uvedl, že pokud si musí čísla představovat, jeho výpočty jsou mnohem pomalejší, přestože číslo pí si pamatoval právě tímto způsobem.

Když Aitken sloužil během 1. světové války v Otago Company v Armentiéres, byla zničena kniha čety. Aitken byl schopen zpaměti přeříkat všechna jména a čísla příslušníků čety.

Ve 30. letech 20. století Aitkenovy schopnosti testoval Ústav psychologie v Edinburgu. Jeden test spočíval v zapamatování 25 náhodně vybraných slov ze slovníku. Když s Aitkenem v roce 1961 hovořil Hunter, Aitken si vzpomněl na tento test a recitoval všech 25 slov po téměř 30 letech.

Nevíme, kdy poprvé byla studována perfektní čísla, ale můžeme se domnívat, že perfektní čísla se objevila jako kuriozita. Některé doklady nasvědčují, že perfektní čísla mohli znát již starověcí Egypťané. Perfektní čísla studoval Pythagoras a jeho následovníci spíše kvůli jejich mystickým vlastnostem a nikoliv kvůli jejich vlastnostem teorie čísel.

Alikvotní (obsažená beze zbytku) část určitého čísla je vlastní podíl tohoto čísla. Například alikvotními částmi čísla 10 jsou 1, 2 a 5, protože platí:

1 = 10/10, 2 = 10/5, 5 = 10/2

Číslo 10 není alikvotní částí čísla 10, protože není vlastním podílem, tj. neodlišuje se od čísla samotného. Perfektní číslo je takové číslo, které je rovno součtu svých alikvotních částí.

Příkladem perfektních čísel jsou čísla 6, 28, 496 a 8128, protože platí:

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

První výsledky týkající se perfektních čísel jsou známy z Euklidovy práce "Elementy" napsané kolem roku 300 př.n.l. Možná je trochu překvapením, že kniha o geometrii se zabývala také teorií čísel. Euklidés ale čísla reprezentoval jako úsečky, které měly určité vlastnosti a geometrický význam. Perfektní čísla byly takovými významnými čísly.

Euklidés ukázal, že pokud součet po sobě jdoucích druhých mocnin čísla 2 dává prvočíslo, pak součin poslední druhé mocniny v součtu a tohoto prvočísla je perfektní číslo. Příklady tohoto tvrzení jsou

1 + 2 + 4 = 7 (prvočíslo)
7.4 = 28 (perfektní číslo)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (prvočíslo)
16.31 = 496 (perfektní číslo)

Euklidés podal přesný důkaz svého tvrzení, které je prvním významným výsledkem týkajícím se perfektních čísel. Pokud použijeme vztah

1 + 2 + 4 + ... + 2^k-1 = 2^k - 1 ,

pak Euklidovo tvrzení v moderním pojetí zní následovně:

Je-li pro nějaké k > 1 číslo 2^k - 1 prvočíslem, pak číslo

2^k-1.(2^k - 1)

je perfektní číslo.

Dalších významnějších výsledků týkajících se perfektních čísel dosáhl Nicomachus z Gerasy kolem roku 100 n.l., kdy napsal dílo "Introductio Arithmetica", v němž popsal klasifikaci čísel na základě myšlenky perfektních čísel. Nicomachus rozdělil čísla do tří skupin. Supernadbytečné číslo má součet svých alikvotních částí větší než je toto číslo. Nedostatečné číslo má součet svých alikvotních částí menší než je toto číslo. Perfektní číslo má součet alikvotních částí rovný samo sobě. Ve své práci uvádí, že mezi jednoduchými sudými čísly jsou některá supernadbytečná a jiná nedostatečná. Tyto dvě třídy jsou jako dva extrémy vůči sobě. Čísla, která leží mezi nimi jsou perfektní.

Nicomachus neuvažoval pouze o teorii čísel, ale zabýval se také morálními vlastnostmi, které vyjadřoval dnes neobvyklým matematickým způsobem. Číslům přiřadil různý morální význam a pak hledal biologické analogie. Například napsal, že supernadbytečná čísla se podobají zvířatům s desíti ústy nebo se třemi řadami zubů nebo s příliš mnoha prsty na jedné ruce. Naopak nedostatečná čísla se podobají zvířatům s jedním okem nebo s jednou rukou.

Nicomachus ve své práci také popsal určité významné výsledky týkající se perfektních čísel. V moderním pojetí je lze shrnout následovně:

1. n-té perfektní číslo má n cifer.
2. Všechna perfektní čísla jsou sudá.
3. Všechna perfektní čísla končí střídavě cifrou 6 nebo 8.
4. Euklidův algoritmus pro generování perfektních čísel (viz výše) vede ke všem perfektním číslům.
5. Existuje nekonečně mnoho perfektních čísel.

Dnes již víme, že tvrzení 1 a 3 nejsou pravdivá. Tvrzení 2, 4 a 5 nejsou dodnes dokázána, ani vyvrácena. Přestože Nicomachus svá tvrzení nedokázal, řadu let byla přijímána jako fakt. K tomu vedly také určité náboženské důvody. Číslo 6 je počet dní, za něž Bůh stvořil svět. Můžeme se domnívat, že toto číslo bylo zvoleno právě proto, že je perfektní. Bůh zvolil číslo 28 pro počet dní, za něž Měsíc oběhne Zemi. Svatý Augustin (354 - 430) napsal ve svém díle "Město Boží", že číslo 6 je perfektní samo o sobě a nikoliv kvůli tomu, že Bůh stvořil svět v šesti dnech. Opak jest pravdou. Bůh stvořil svět v šesti dnech právě proto, že číslo 6 je perfektní.

Také Arabové byli očarováni perfektními čísly. Thabit ibn Quara napsal "Pojednání o přátelských číslech", v němž studoval čísla tvaru 2^p.p, kde p je perfektní číslo. Ibn al'Haitam dokázal určitou modifikaci Euklidova tvrzení ve své nepublikované práci "Pojednání o analýze a syntéze". Ukázal, že perfektní čísla splňující určité podmínky jsou tvaru 2^k-1(2^k - 1), kde 2^k - 1 je prvočíslo.

Mezi řadou dalších arabských matematiků, kteří navázali na myšlenky řeckých matematiků v oblasti perfektních čísel, byl také Ismail Ibrahim ibn Fallus (1194 - 1239). Napsal pojednání vycházející z Nicomachovy práce "Úvod do aritmetiky". Přijal Nicomachovu klasifikaci čísel ale čistě na matematickém základě bez morálních úvah. Ibn Fallus ve svém pojednání uvedl tabulku deseti čísel, která by měla být perfektní. Prvních sedm čísel je perfektních, zbývající tři nikoliv.

Počátkem renesance v Evropě kolem roku 1500 byla Nicomachova tvrzení přijímána jako pravdivá a nebyly známy ani další arabské práce. Někteří věřili nesprávnému výsledku, že 2^k-1(2^k - 1) je perfektní pro každé liché číslo k. Tomuto omylu věřil zřejmě také matematik Pacioli. Filozof a teolog Charles de Bovelles publikoval v roce 1509 knihu o perfektních číslech. Tvrdil v ní, že 2^k-1(2^k - 1) je perfektní číslo pro každé liché celé číslo k.

Regiomontanus při svém pobytu na Univerzitě ve Vídni ve svém rukopisu z roku 1461 znovu objevil prvních pět perfektních čísel v době, kdy ještě nebyly známy arabské práce. Dále byly objeveny rukopisy napsané kolem roku 1458 a krátce po roce 1460, v nichž je popsáno prvních pět a šest perfektních čísel. O autorovi je známo pouze to, že žil ve Florencii a byl studentem Domenica d'Agostina Vaiaia.

V roce 1536 Hudalrichus Regius učinil průlom svojí prací "Utriusque Arithmetices", v níž faktorizací 2¹¹ - 1 = 2047 = 23.89 nalezl první prvočíslo p, pro něž výraz 2^k-1(2^k - 1) není perfektním číslem. Dále ukázal, že 2¹³ - 1 = 8191 je také prvočíslo a že 2¹²(2¹³ - 1) = 33550336 je perfektní číslo. Tím vyvrátil Nicomachovo první tvrzení, protože páté perfektní číslo má 8 cifer. Nicomachovo tvrzení o tom, že každé perfektní číslo končí střídavě cifrou 6 nebo 8, ale Regius nevyvrátil. Přestože Hudalrichus Regius učinil významný průlom, dodnes se o něm téměř nikdo z historiků nezmiňuje.

V roce 1555 J. Scheybl popsal ve svém komentáři k Euklidovým "Elementům" šesté perfektní číslo. Tento fakt byl objeven až v roce 1977 a proto neovlivnil studium perfektních čísel.

Další krok ve studiu perfektních čísel učinil v roce 1603 Cataldi, který nalezl rozklady všech čísel do čísla 800 a uvedl tabulku všech prvočísel do čísla 750 (celkem 132 prvočísel). Cataldi ukázal, že 2¹⁷ - 1 = 131071 je prvočíslo a objevil tak šesté perfektní číslo 2¹⁶(2¹⁷ - 1) = 8589869056. Tím však vyvrátil Nicomachovo tvrzení, že perfektní čísla končí střídavě cifrou 6 nebo 8, protože páté a šesté perfektní číslo končí cifrou 6. Konečně Cataldi nalezl sedmé perfektní číslo, když zjistil, že 2¹⁹ - 1 = 524287 je prvočíslo a

2¹⁸(2¹⁹ - 1) = 137438691328 .

Historie perfektních čísel byla provázena řadou omylů a chyb. Také Cataldi přes veškerý přínos se dopustil omylů. Ve své práci "Utriusque Arithmetices" uvedl, že exponenty p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 vedou k perfektním číslům 2^p-1(2^p - 1). Pro čísla p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 tento výsledek dokázal pomocí svých tabulek prvočísel. Pro čísla p = 23, 29, 31, 37 tento výsledek platí ale pouze pro jedno číslo.

Řada matematiků se zajímala o problém perfektních čísel. René Descartes ve svém dopise Mersennovi v roce 1638 napsal, že je schopen dokázat, že neexistují lichá perfektní čísla a že neexistují perfektní čísla jiného tvaru, než uvedl Euklidés.

K teorii perfektních čísel významně přispěl Pierre de Fermat. V roce 1636 hovořil s Robervalem, který pracoval na tomto tématu s velmi složitými problémy. Roberval své pojednání o perfektních číslech nakonec nenapsal, ale díky němu se Fermat dověděl o problematice perfektních čísel. V červnu 1640 napsal Mersennovi o svých objevech týkajících se perfektních čísel.

Fermat uvažoval součty

R = \sum_{k=1}^{n} 2^k-1 = 2ⁿ - 1

tj. dostal tabulku
 

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
R	1	2	7	15	31	63	127	255	511	1023

a čísla R nazval radikály perfektních čísel, protože pokud je R prvočíslo, vede k perfektnímu číslu. Čísla n nazval exponenty. Fermat pak tvrdil:

• Kdykoliv je exponent n složeným číslem, je také radikál R složeným číslem (kompozitem). Protože exponent 6 je kompozit, je také radikál 63 kompozitem.
• Když je exponent n prvočíslem, pak jeho radikál R zmenšený o jednu je dělitelný dvojnásobkem exponentu n. Exponent 7 je prvočíslem, jeho radikál zmenšený o jednu je 126, který je dělitelný číslem 2.7 = 14.
• Pokud je exponent n prvočíslem, jeho radikál není dělitelný jiným prvočíslem s výjimkou těch, které jsou větší o jednu než je dvojnásobek exponentu.

Použitím speciálního případu Fermatovy malé věty byl Fermat schopen vyvrátit dvě z Cataldiho tvrzení. V dopise Mersennovi z června 1640 ukázal, že číslo 2²³ - 1 je kompozitní a že číslo 2³⁷ - 1 je také kompozitní.

Fermat využíval tří vět:

• Je-li n kompozitní, pak 2ⁿ - 1 je kompozitní.
• Je-li n prvočíslo, pak 2ⁿ - 2 je násobkem čísla 2n.
• Je-li n prvočíslo, p prvočíselný dělitel čísla 2ⁿ - 1, pak p - 1 je násobkem čísla n.

Další významný pokrok v problematice perfektních čísel učinil Leonhard Euler. V roce 1732 dokázal, že osmé perfektní číslo je

2³⁰(2³¹ - 1) = 2305843008139952128

Šlo o první perfektní číslo objevené po 125 letech. V roce 1738 Euler vyvrátil Cataldiho tvrzení, když dokázal, že 2⁹ - 1 není prvočíslo.

Ve dvou rukopisech nepublikovaných během Eulerova života Euler dokázal obrácené Euklidovo tvrzení, když ukázal, že každé perfektní číslo lze zapsat ve tvaru 2^p-1(2^p - 1). Dále ověřil Nicomachovu domněnku, že všechna perfektní čísla končí cifrou 6 a 8, ale nikoliv střídavě. Euler se také zabýval otázkou, zda existují lichá perfektní čísla. Byl schopen dokázat Descartesovu domněnku z jeho dopisu Mersennovi v roce 1638. Leonhard Euler pokročil ale o něco dále, když ukázal, že liché perfektní číslo lze zapsat ve tvaru

(4n + 1)^{4k + 1}.b²

kde 4n + 1 je prvočíslo. Přes veškeré výsledky se také Euler v některých svých předpovědích zmýlil. Tvrdil například, že 2^p-1(2^p - 1) je perfektní číslo pro p = 41 a p = 47. V roce 1753 ale svůj omyl napravil.

Hledání perfektních čísel bylo nyní vedeno snahami potvrdit nebo vyvrátit Mersennovu domněnku v jeho práci "Cogitata physica mathematica". Eulerovo perfektní číslo 2³⁰(2³¹ - 1) ale dalších 150 let zůstalo posledním. Matematik Peter Barlow ve své knize "Teorie čísel" z roku 1831 napsal, že toto perfektní číslo je zatím největším, které bylo objeveno a jen díky tomu, že jde o neužitečnou kuriozitu, se nikdo nepokusil najít číslo větší.

První chybu v Mersennově seznamu objevil v roce 1876 Lucas, když ukázal, že číslo 2⁶⁷ - 1 není prvočíslem, ačkoliv jeho metoda neumožňovala nalézt rozklad tohoto čísla. Lucas dále ukázal, že číslo 2¹²⁷ - 1 je Mersennovým prvočíslem, tedy 2¹⁶⁶(2¹⁶⁷ - 1) je perfektním číslem. Lucas modifikoval Lehmerovu metodu z roku 1930 takovým způsobem, že se později stala základem hledání Mersennových čísel a perfektních čísel pomocí výpočetní techniky. Catalan vyslovil domněnku, že je-li m = 2^p - 1 prvočíslem, pak 2^m - 1 je také prvočíslem. Tato Catalanova posloupnost je 2^p - 1, kde

p = 3, 7, 127, 1701411833460469231731687303715884105727, ...

Pokud je tato domněnka správná, pak lze vyřešit problém, zda Mersennových čísel je nekonečně mnoho a tím, zda je perfektních čísel nekonečně mnoho. Ověřit ale čtvrtý a další člen uvedené posloupnosti je zatím technicky nemožné.

V roce 1883 Pervusin ukázal, že 2⁶⁰(2⁶¹ - 1) je perfektní číslo. Nezávisle na něm totéž o tři roky později dokázal Seelhoff. Řada matematiků obhajovalo Mersennovu domněnku tím, že číslo 67 bylo chybně zapsaným číslem 61.

V roce 1903 Cole se pokusil rozložit číslo 2⁶⁷ - 1, o němž Lucas dokázal, že je kompozitní. V říjnu 1903 Cole publikoval článek "O faktorizaci velkých čísel" na zasedání Americké matematické společnosti. Uvádí se, že Cole napsal na tabuli

2⁶⁷ - 1 = 147573952589676412927

a pak napsal čísla 761838257287 a pod něj 193707721. Beze slov obě čísla začal násobit, až obdržel výše uvedené číslo. Když si odcházel sednout, sklidil potlesk obecenstva.

V Mersennově domněnce byly objeveny další chyby. V roce 1911 Powers ukázal, že číslo 2⁸⁸(2^⁸⁹ - 1) je perfektní číslo, o dva roky později pak ukázal, že 2¹⁰¹ - 1 je prvočíslo a že 2¹⁰⁰(2¹⁰¹ - 1) je perfektní číslo. V roce 1922 Kraitchik ukázal, že Mersenne se také zmýlil ve svém dalším tvrzení, neboť 2²⁵⁷ - 1 není prvočíslem.

Kromě hledání největších perfektních čísel se objevily také pokusy dokázat, že neexistují žádná lichá perfektní čísla. V roce 1888 Sylvester dokázal, že liché perfektní číslo musí mít nejméně čtyři vzájemně různé prvočíselné faktory rozkladu. Později svůj výsledek opravil na pět různých faktorů. Dnes víme, že liché perfektní číslo by muselo mít nejméně osm vzájemně různých prvočíselných faktorů a nejméně 29 prvočíselných faktorů, které nemusí být nutně různé. Dále je známo, že takové číslo by muselo mít nejméně 300 cifer a prvočíselný dělitel větší než 10⁶. Problém existence lichých perfektních čísel ale dosud není vyřešen.

Dnes je známo celkem 37 perfektních čísel. Poslední perfektní číslo získané manuálním výpočtem bylo v roce 1911 číslo 2⁸⁸(2⁸⁹ - 1). Všechna další perfektní čísla byla získána pomocí počítačů. V září 1998 bylo největším známým Mersennovým prvočíslem číslo 2^3021377 - 1, které je současně největším známým prvočíslem a odpovídající perfektní číslo bylo objeveno 27. ledna 1998 a má 1819050 cifer.

Literatura:

[1] Mrázek, Jiří: Taje matematiky. Vydavatelství Práce, Praha 1986

[2] Bartsch, Hans Jochen: Matematické vzorce. SNTL, Praha 1987

[I1] From: baalke@kelvin.jpl.nasa.gov (Ron Baalke) Subject: Clyde Tombaugh, discoverer of Pluto, dies. Date: 21 Jan 1997 16:16 UT

[N1] Milan Kunz: Zenonovy grafy. Natura 9/1999.

[X1] Turnbull University of St. Andrews.

[X2] arXiv.org e-Print archive. Los Alamos National Laboratory. Nina Byers: E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws. Physics Department, UCLA, Los Angeles, CA 90024. July 16, 1998. UCLA/98/TEP/20