Objevení základních stavebních kamenů přírody a hluboké pochopení silových interakcí patří k největším úspěchům fyziky 20. století. Nyní teoretičtí fyzikové usilují o popis čtyř základních silových interakcí přírody, silné, slabé, gravitační a elektromagnetické, jednotným matematickým rámcem. Paradigmatem tohoto sjednocení je princip kalibrační symetrie.

Nová teoretická studia vedla k dalšímu sjednocení, které se nazývá supersymetrie, která sjednocuje částice s poločíselným spinem (fermiony) s částicemi s celočíselným spinem (bosony) a umožňuje jejich vzájemné interakce. Bohužel, dosud ale žádná experimentální data existenci této supersymetrie nepotvrzují.

Autor článku [X1] stručně popisuje kalibrační princip, sjednocení a supersymetrii. Zabývá se také pojmem spontánně "narušená" symetrie který by mohl vysvětlit, proč je tak obtížné pozorovat symetrii v experimentech s dosud dostupnými energiemi. Může se zdát, že manifestace narušené symetrie poněkud znevažuje většinu původní přitažlivosti a krásy teorie. Autor článku navrhuje dva možné alternativní pohledy na význam supersymetrie. Existuje důvod, proč je tato symetrie skutečně fundamentální, přestože je narušena.

Autorův článek [X1] byl přednesen na Semináři filozofie vědy v únoru 1998 v Bombay v Indii.

V makroskopickém světě se přímo projevují jeho základní principy v řadě různých kontextů. Většinu jevů lze popsat Newtonovými principy, které jsou doplněny a rozšířeny principy elektromagnetismu, hydrodynamiky a dalšími.

Mikroskopický svět naproti tomu není viditelný s výjimkou několika mocných projevů. Tvary a pevnost hmoty souvisí s Fermiho statistikou. Některé fenomenologické konstanty obsahují Planckovu konstantu nebo Avogadrovo číslo. Vědci se ale museli stát velmi dobrými detektivy, aby odhalili skryté projevy mikrosvěta. Jsou přitom vedeni různými záhadnými projevy mikrosvěta v makrosvětě.

Příkladem může být Mendělejova periodická tabulka, která vyvolala řadu dohadů a rozporů. Tato tabulka vychází z chemické valence prvků. Na jejím základě bylo možno klasifikovat všechny chemické prvky a předpovědět prvky nové. Podstata uspořádání Mendělejevovy tabulky ale byla naprostou záhadou, dokud nebyla objevena elektronová struktura atomu. Teprve Pauliho vylučovací princip umožnil vysvětlit uspořádání chemických prvků v tabulce a jejich valenci. Záhadný makroskopický projev byl vysvětlen na základě fundamentální nerozlišitelnosti kvantových objektů. Kvantová mechanika ukázala, že rozlišitelné jsou pouze stavy kvantových objektů, nikoliv objekty samotné.

Důležitým paradigmatem dalšího teoretického rozvoje fyziky 20. století byl princip symetrie. Objev tohoto principu výrazně kontrastuje například s rozvojem teorie elektromagnetického pole, která se vyvíjela téměř dvě staletí krok po kroku, kdy experiment vedl k teorii a ta zase k dalšímu experimentu. Naproti tomu vysvětlení mikrosvěta začalo objevem radioaktivity. Vědci se potýkaly s nedostatkem dat, s nesnadností přípravy a opakování experimentů.

Vývoj fyziky začínající kolem roku 1880 a vrcholící ve 30. letech 20. století byl provázen hlubokými myšlenkami, které byly inspirovány určitými metafyzickým předpoklady. Tyto předpoklady lze vyjádřit ve formě principů, které nejsou součástí fyziky, ale můžeme je považovat za obecné metafyzické principy přírodních věd, tedy za součást filozofie vědy.

Přírodní vědy univerzálně používají dva základní a hluboké principy:

• univerzální aplikovatelnost konceptů
• konzistence výkladu

Ukázalo se, že výše uvedené principy v kvantové mechanice nejsou spolehlivé. V kvantové mechanice neexistují univerzálně použitelné koncepty, ani konzistence výkladu. Matematicky přesné entity a pravidla byly v některých případech pouze určitým vodítkem. Které koncepty jsou skutečně robustní a která pravidla jsou obecně použitelná, není jasné. Příkladem jsou nové jevy, jako je Hawkingova radiace černých děr. Kvantová mechanika, jak ji známe dnes, je sice konzistentní a kompletní, ale vzbuzuje nedůvěru i u některých významných fyziků.

Existuje ještě jeden metafyzický princip, jímž se fyzika často řídí. Velmi volně bychom mohli říci, že požaduje, aby rovnice byly matematicky elegantní a obsahovaly jistou symetrii. Na tomto principu byla založena Einsteinova speciální a obecná teorie relativity (jako teorie gravitace) a Diracova teorie relativistického elektronu. Fyzikové tyto teorie přijali mimo jiné také kvůli jejich matematické eleganci a symetrii. Tyto teorie se dnes dále vyvíjejí a proto vyžadují přesně matematicky formulovatelné principy symetrie.

Původ tohoto metafyzického principu pochází z 19. století, když James Clerk Maxwell elegantně sjednotil zákony elektřiny a magnetismu. Stanovil několik zákonů a pravidel, které popisují chování intenzit elektrického a magnetického pole. Tyto zákony jsou popsány čtyřmi rovnicemi, přičemž dvě rovnice popisují chování intenzity elektrického pole a dvě rovnice popisují chování intenzity magnetického pole.

Maxwellovy zákony vyjádřené ve formě matematických rovnic umožňují snadnou geometrickou představu. Jeden z významných Maxwellových kolegů prohlásil podle Goetha: "byl to snad Bůh, kdo psal tyto řádky?" Význam symetrie v těchto rovnicích se ještě více zdůraznil, když se ukázalo, že jsou vůči transformacím speciální teorie relativity invariantní.

Pokusme se nyní tento princip matematické elegance a symetrie upřesnit. Budeme se zabývat použitím principů symetrie, které vedou k omezeným teoriím s méně fenomenologickými parametry, než je tomu u teorií bez principů symetrie. Taková symetrie se nazývá kalibrační symetrie. Kalibrační symetrie použil Albert Einstein při formulaci relativisticky konzistentních zákonů gravitace. Později kalibrační symetrie umožnila sjednotit slabou a silnou jadernou interakci. Kalibrační symetrie obecné teorie relativity a kalibrační teorie pole silné a slabé jaderné interakce mají určité technické rozdíly. Ale jejich podobnost spočívá v tom, že vyjadřují stejný základní princip.

Nejběžnějším příkladem matematicky formulovatelného principu symetrie ve fyzice je myšlenka rotace. Neznáme žádné výsledky experimentů, které by závisely na směrové orientaci přístroje. Rotaci lze popsat v pevném souřadnicovém systému soustavou lineárních rovnic. Kolem osy se otáčí průvodič bodu, který přechází v nový bod, jehož souřadnice se vztahují ke zmíněnému pevnému souřadnicovému systému. V tomto případě se hovoří o tzv. aktivním pojetí transformace. Všechny tyto vlastní rotace tvoří grupu SO(3), jejíž jednou reprezentací jsou ortogonální reálné matice s determinantem rovným jedné.

Princip speciální teorie relativity využívá zobecněné rotace ve čtyřrozměrném prostoročase. Grupa SO(3) tedy tvoří podgrupu této větší Lorentzovy grupy O(3,1). Ale Albert Einstein tento pojem symetrie v obecné teorii relativity významně posunul vpřed. Tato teorie je zobecněním Newtonovy teorie gravitace a je přitom konzistentní s rotacemi ve speciální teorii relativity. Obecná teorie relativity se opírá o dvě základní části.

• Prostoročas je zakřivený. Gravitační působení lze popsat jako soustavu časoprostorově závislých funkcí, které specifikují vzdálenost a úhly v procesu měření. V zakřiveném prostoročase se Pythagorova věta mění bod od bodu.
• V zakřiveném prostoročase neexistuje globální kartézská soustava souřadnic, ale existují pouze křivočaré souřadnice v daném bodě a jeho okolí. Přitom fyzikální zákony musí být invariantní vůči změně těchto souřadnic při přechodu od jednoho bodu k druhému. Tato vlastnost se označuje jako princip obecné kovariance.

V roce 1930 myšlenku rotační symetrie rozšířil velmi zvláštním způsobem Werner Heisenberg. Je známo, že silná jaderná síla nezávisí odděleně na fyzikálním stavu protonu nebo neutronu. V kvantové mechanice je fyzikální stav systému popsán komplexní vlnovou funkcí y. Heisenbergův návrh spočíval v použití vlnové funkce y_p pro protony a funkce y_n pro neutrony. Při transformaci

y'_p = c₁ y_p + c₂ y_n

y'_n = c₃ y_n + c₄ y_p

se fyzikální zákony kvantové mechaniky nezmění. Zde c₁ až c₄ jsou komplexní čísla, která splňují určité podmínky. Výše uvedené vztahy lze chápat jako komplexní rotaci, abstraktní realizaci případu reálných vektorů. Tato rotace, nazývaná isospin, je symetrií (ačkoliv přibližnou) silné jaderné interakce.

O několik desetiletí později Yang a Mills navrhli kalibrační teorie pole. Zobecnili myšlenku isospinu v podstatě stejným způsobem, jako obecná teorie relativity zobecňuje speciální teorii relativity.

Přesné matematické principy byly použity jako strategie vedoucí k teorii s nedostatečným experimentálním zázemím. Tato teorie se ukázala jako chybná. K podobné situaci došlo již dříve několikrát, jako v případě původní Kaluzovy-Kleinovy teorie. Ale pokud předpoklad kalibrační symetrie bude experimentem prokázán, teorie dosáhne značného úspěchu.

Překvapivou vlastností kalibračních symetrií je skutečnost, že v řadě případů se experimentálně neprojevuje. Mohou existovat dvě základní příčiny. Především symetrie může být pouze přibližná a má význam jen tehdy, pokud ignorujeme určité hodnoty měření nebo dosahujeme jen určité přesnosti. Symetrie se projevuje jen tehdy, pokud jsou rušivé jevy v kvantitativním smyslu nepatrné. Tento případ neprojevující se symetrie ale není zajímavý.

Zajímavější jsou systémy, jejichž rovnice, které je popisují, vykazují určité symetrie. Složitost interakcí ale vede systém k řešení, v nichž se symetrie neprojevuje. Tento případ se nazývá spontánně narušená symetrie. V případě slabé jaderné interakce existuje kalibrační invariance, která se podobá principu obecné kovariance v obecné teorii relativity. Kalibrační invariance ale vede k nehmotným intermediálním částicím. Je však známo, že intermediální bosony slabé jaderné interakce jsou hmotné. Řešením tohoto paradoxu jsou dodatečné částice, Higgsovy bosony, jejichž složitá dynamika vede k tomu, že základní stav systému neodráží kalibrační symetrii. Za těchto podmínek interakce kalibračních částic a Higgsových bosonů vede k jejich hmotnosti.

Druhým typem narušené symetrie je symetrie, která je sice trvale přítomná, ale je pro nás neviditelná kvůli stavu, v němž se pozorovaný systém nachází. V tomto případě je obtížné nalézt příslušné rovnice a symetrie může být jediným řídícím principem.

Výše uvedený historický přehled byl úvodem k popisu návrhu supersymetrie. Původ této poněkud bizarní symetrie leží ve dvou vzájemně nesouvisejících motivacích. První motivace souvisela s otázkou, zda foton a neutrino, v 60. letech 20. století dvě známé nehmotné částice, mají kromě hmotnosti ještě něco společného. Nejde jen o dva různé projevy jediné částice? Druhá motivace souvisela s hledáním nejobecnějšího typu symetrie, která by umožňovala interakce vzhledem k základní rotaci a vzhledem k symetriím prostoročasu ve speciální teorii relativity. Záhadou zůstával také zásadní rozdíl mezi kalibrační symetrií gravitace, která působí na samotný prostoročas, a kalibrační symetrií jaderných sil, která působí jen na abstraktní prostor vlnových funkcí. Obecná kovariance gravitace tak představuje vnější kalibrační invarianci, zatímco kalibrační symetrie jaderných sil představuje vnitřní kalibrační invarianci. Všechny možné typy vnitřních symetrií byly brzy popsány pomocí matematické teorie Lieových grup. Otázkou zůstalo, jaké existují nejobecnější typy vnějších symetrií a zda se mohou vnitřní a vnější symetrie mísit.

Výše uvedená otázka byla zodpovězena s určitým stupněm konečnosti pomocí tzv. "no-go" teorému, který vznikl koncem 60. let 20. století. Tento teorém tvrdí, že všechny možné symetrie, které lze získat, aby byly konzistentní s kvantovou mechanikou, jsou ty, které již známe. Tedy máme vnitřní symetrie, jako je isospin a již známé vnější symetrie, které se vyskytují ve speciální teorii relativity. Žádná nová vnější symetrie již neexistuje.

Tento teorém ale představuje problém. Abychom tomuto problému porozuměli, podívejme se na matematické vyjádření vnitřní konzistence některých operací symetrie. Snadno lze experimentálně ukázat, že malé otočení kolem osy x následované malým otočením kolem osy y není totéž, jako malé otočení kolem osy y následované malým otočením kolem osy x. Výsledek obou těchto operací se liší o malé otočení kolem osy z. První vyjádření této skutečnosti ve formě rovnic uvedl William Hamilton v polovině 19. století. Matematicky lze psát

L_x L_y - L_y L_x = L_z

L_x představuje operaci malého otočení kolem osy x. Levá strana vztahu se nazývá komutátor operátorů L_x, L_y.

Komutátor dvou operátorů bude nulový, pokud jsou tyto dva operátory na sobě nezávislé. Příkladem takových operátorů je přímočarý pohyb ve směru osy x a přímočarý pohyb ve směru osy y. V tomto případě platí:

P_x P_y - P_y P_x = 0

V kvantové teorii formulované pomocí prostoročasově závislých polí existují různé typy "komutátorů". Od 30. let 20. století je známo, že konzistentní kvantová teorie částic s poločíselným spinem (fermionů) vyžaduje antikomutační vztah. Nezávislost operátorů kvantových polí pro fermiony je vyjádřena vztahem

y(x) y(y) + y(y) y(x) = 0

Tento antikomutační vztah těsně souvisí s Pauliho vylučovacím principem, podle něhož dvě částice se spinem 1/2 nemohou zaujímat stejný kvantový stav (nemohou mít shodná všechna kvantová čísla).

Pro částice s celočíselným spinem (bosony) platí komutační vztah:

y(x) y(y) - y(y) y(x) = 0

Tyto algebraické operace byly uvažovány speciálně v kvantové teorii pole, kde představují chování reálných částic a nesmí být proto zaměňovány s operacemi symetrie. Teorém "no-go" by byl vyvrácen například možností "fermionové" algebry pro operace symetrie. Uvažujme proto lineární posunutí ve dvou směrech, která jsou vzájemně nezávislá. Požadujme, aby platilo

q₁ q₂ + q₂q₁ = 0

Zde 1 a 2 jsou určité "směry", jejichž význam bude ještě upřesněn a q jsou odpovídající operátory. Jakým způsobem lze tyto operátory zviditelnit a v jakém smyslu jsou nezávislé není snadné odpovědět. V tomto okamžiku používáme symboly a jejich algebru jen jako vodítko a zkoumáme vnitřní konzistenci různých operací. Tímto mechanismem lze rozšířit algebru generátorů speciální teorie relativity, jejíž nové generátory budou fermionové, nikoliv bosonové. Tuto možnost autoři "no-go" teorému neuvažovali.

Nyní se pokusíme trochu vysvětlit myšlenku supersymetrie. Supersymetrie byla původně formulována jako množina operací v kvantové teorii pole. Později byla formulována interpretace bližší obvyklým symetriím speciální teorie relativity. Jedním z průkopníků tohoto směru byl Abdus Salam. Každé ze čtyř dimenzí (t,x,y,z) odpovídá dimenze superprostoru, které jsou označeny (q₁, \bar{q}, q₂, \bar{q}₂). Předpokládá se, že tyto proměnné tvoří antikomutativní algebru. Matematika klasických (nekvantových) proměnných tohoto druhu se nazývá Grassmannova algebra. Rotace vedou k záměně os a supersymetrická translace vede k záměně obyčejných a superprostorových os. Například jestliže q₁ se posune na q₁ + a, pak se osa x posune

x    ------>   x - i a \bar{q}₂

Tento vztah se nepodobá ničemu, co by odpovídalo obvyklé intuici. Naznačuje, jakými způsoby probíhají jevy v mikrosvětě. Z těchto abstraktních operací s poli vychází další kompatibilita s běžnou představou prostoročasu, tedy s metafyzickým principem konzistence výkladu. Možná budoucí objevy nových jevů pomohou tyto abstraktní operace osvětlit lépe.

Z předpokladu supersymetrie v přírodě vycházejí dva hlavní výsledky. Prvním je skutečnost, že ke každému fermionu dané hmotnosti existuje boson stejné hmotnosti a naopak. To znamená, že například k fotonu musí existovat supersymetrická částice s poločíselným spinem zvaná fotino. Podobně k elektronu musí existovat částice s nulovým spinem zvaná selektron (skalární elektron).

Dosud ale neznáme žádné dvě částice, které lze považovat za supersymetrickou dvojici částic. Nelze přitom ani využít původní motivaci supersymetrie, kdy supersymetrickým partnerem fotonu mělo být neutrino. Foton a neutrino mají totiž různá kvantová čísla a nesplňují tedy princip supersymetrie.

Druhým velmi silným důsledkem supersymetrie je, že překonává běžný princip kalibrační symetrie a předpovídá všechny možné formy interakcí mezi částicemi. Tento důsledek je velmi žádaný a přitažlivý a měl by být hlavním přínosem principů symetrie. Protože jsme dosud nenalezli žádnou supersymetrickou dvojici, čeká hypotéza supersymetrie na své potvrzení nebo vyvrácení.

Existuje řada dalších přitažlivých vlastností supersymetrie z matematického hlediska, ale jejich vysvětlení je náročnější. Přitom supersymetrie nemá žádné, ani nejjednodušší předpovědi. Mohlo by se proto zdát, že se v přírodě nevyskytuje. Zkušenosti z kalibrační symetrie slabé interakce ovšem naznačují, že musíme ponechat tuto možnost otevřenou, protože se supersymetrie nemusí vyskytovat ve své jednoduché verzi, ale pouze v narušené formě.

Problém narušené supersymetrie je matematicky zpracován lépe než problém narušených známých kalibračních symetrií. V určitém smyslu je to kvůli tomu, že tento princip je velmi silný. Není ale dosud známo, proč dochází k spontánnímu narušení symetrie. Tato oblast představuje výzvu teoretikům.

Supersymetrie a její možné projevy vzbuzují značnou vědeckou pozornost. Existuje několik hypotetických modelů pro narušenou supersymetrii a staví se několik velkých urychlovačů, které mají tyto modely experimentálně ověřit. Protože tyto modely zahrnují fyziku elementárních částic, měly by nám poskytnout představu o vzniku vesmíru a jeho počátečním období vývoje. Platnost těchto modelů se také ověřuje současným kosmologickým výzkumem.

Estetická přitažlivost symetrií tkví v eleganci matematické struktury. Symetrie rozšiřují běžnou představu o nezávislosti na vztažné soustavě. Dále dovolují vzájemné mísení nebo "rotaci" různých druhů elementárních částic vzájemně, čímž ustanovují určitý řád do současného seznamu částic. Sjednocení tohoto typu vede k menšímu počtu vazebních konstant, protože některé jsou buď identické a jiné jsou násobky základních hodnot. Úspěch teorie supersymetrie zatím nelze objektivně zhodnotit. Standardní model elementárních částic sice přináší různé výhody a obsahuje méně vazebních konstant, ale na druhé straně obsahuje řadu neznámých parametrů. Příkladem jsou dosud neznámé hmotnosti fermionových a skalárních druhů částic.

Supersymetrie přitahuje pozornost také díky své eleganci. Ale současně vyžaduje zavedení velkého počtu nových druhů částic. Protože většina z nich je fermionových a skalárních, opět jejich hmotnost je neznámá a vyžaduje řadu parametrů. Celý obraz se navíc komplikuje tím, že symetrie může být narušená. Mechanismus, který vysvětlí příčiny spontánního narušení symetrie, zřejmě povede ke zcela nové teorii v dosud neznámé oblasti fyziky. O některých nových druzích částic se předpokládá, že jsou v našem vesmíru nepozorovatelné a jejich vliv na vesmír spočívá pouze v tom, že supersymetrie je narušená. Pro takové částice se budou z principu obtížně hledat nějaké experimentální důkazy.

Jaká jsou východiska ze současné situace? Je jen několik možností. Může se ukázat, že supersymetrie je skutečně hlubokým principem přírody. Může se ukázat, že bude nezbytné provést řadu zcela nových experimentů na podporu tohoto principu. Konečně se může ukázat, že supersymetrie je sice velmi pěknou, ale neplatnou hypotézou o přírodě.

Existuje několik matematických důvodů, proč by supersymetrie vskutku měla být fundamentálním principem přírody. Například vysvětluje záhadu narušení supersymetrie elektroslabé interakce.

K chování fermionů neexistuje klasická analogie. Ještě před několika desítkami let fermiony představovaly záhadu klasické kvantové mechaniky. Jejich vlnové funkce se od sebe vzájemně liší otočením o p a 2p. Pozdější teorie nalezla určité paralely mezi bosony a fermiony. Při aplikaci dráhového integrálu lze fermiony elegantně zahrnout do teorie definováním pravidel pro integraci přes fermionové proměnné. Důležitější je ovšem to, že tato jednoduchá pravidla vyplývají ze samotného formalismu. Poprvé tak klasické fermionové proměnné vedly k požadovaným výsledkům.

Původní kvantová mechanika byla vyvinuta pouze pro takové systémy, které mají klasickou analogii. Nebylo možné "kvantovat" jiné systémy. Tato situace ale již neplatí. Během desetiletí vývoje kvantové teorie se zdálo, že kvantovat je třeba již jen fermionový systém. Mikrosvět vedl k rozšíření klasického významu kvantové mechaniky o Grassmanovu algebru. Superprostor zavedl další paritu mezi bosonovými a fermionovými dimenzemi. V případě, že fermionové dimenze neexistují, bosony přesto budou mít v teorii zvláštní postavení.

Pokud je supersymetrie skutečně tak fundamentálním principem, proč ji nemůžeme pozorovat v její čisté formě? Může nás fakt, že v přírodě nepozorujeme žádné ideální principy, odradit od hledání supersymetrie? Lze přijmout sice méně elegantní, ale pragmatický přístup. Obvyklý argument na podporu supersymetrie lze vyjádřit následovně. Novější urychlovače o vyšších energiích stavíme se zvláštním úmyslem. Hledáme určité rozsahy energií a detekujeme částice s očekávaný produkty jejich rozpadu. K tomu potřebujeme určité vodítko a supersymetrie se zdá takovým vodítkem být, neboť překonává kalibrační symetrii.

Předpokládejme, že supersymetrii skutečně objevíme. Může se projevit ve velmi zvláštní a nerovnoměrné formě. Bude tím, co skutečně hledáme? Je možné, že je projevem dalších principů. Supersymetrii ale můžeme považovat za "organizační princip", asi jako tímto principem jsou valence u chemických prvků. Tento koncept nám umožnil v chemii porozumět možnému složení prvků. Empirické studium vedlo k objevu, že některé prvky mají více valenčních stavů. Valence tedy není fundamentálním principem, ale představuje přísná omezení druhů molekul, které mohou existovat.

Projevy supersymetrie mohou být podobným principem. Může představovat určitá přísná omezení existence typů fundamentálních částic a jejich interakcí. Valence chemických prvků byla později vysvětlena uspořádáním elektronů v atomu. Podobně se může ukázat, že supersymetrii lze vysvětlit dalšími principy.

Porozumění mikrosvětu představuje jeden z největších dluhů teoretické fyziky 20. století. Odpovědí na tuto výzvu byl vznik metafyzických principů. Jeden z těchto principů vychází ze symetrie. Kalibrační symetrie vedl k pochopení základních sil v přírodě počínaje obecnou teorií relativity. Supersymetrie je dalším podobným principem, který sice není podpořen empirickými daty, ale existuje řada důvodů pro jeho správnost. Očekává se, že pokud bude supersymetrie objevena, bude se projevovat ve své spontánně narušené formě. Přesto existují velmi obecné důvody, proč tuto symetrii považovat za fundamentální. Jedním z těchto obecných důvodů je představa, že jde o organizační princip přírody, podobně jako je valence chemických prvků.

Literatura autora článku [X1]:

[1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. John Wiley Pub. (1973)

[2] P. A. M. Dirac, Principles of Quantum Mechanics. 4th ed., Oxford University Press (1957)

Literatura:

[X1] U. A. Yajnik: Supersymmetry: A new organizing principle for the microworld? 26 Apr 1999. physics/9904058 e-Print archive. Los Alamos National Laboratory. US National Science Foundation.

[1] Motl, Luboš; Zahradník, Miloš: Pěstujeme lineární algebru. Vydavatelství Karolinum Univerzity Karlovy, Praha 1995. ISBN: 80-7184-186-2