Typografické poznámky k matematickým vztahům jsou uvedeny na konci tohoto textu.

Počátky teorie matic a determinantů lze nalézt ve 2. století př.n.l. Některé stopy sahají až do 4. století př.n.l. Teprve koncem 17. století ale byla teorie matic a determinantů znovu objevena a došlo k jejímu skutečnému vývoji.

Asi nikoho nepřekvapí, že počátky teorie matic a determinantů souvisí se studiem soustav lineárních rovnic. Již Babylóňané studovali problémy, které vedli k několika lineárním rovnicím. Některé tyto problémy se zachovaly na jejich hliněných tabulkách.

Starověcí čínští matematici v období 200 př.n.l. až 100 př.n.l. měli k maticím blíže, než Babylóňané. V textu "Devět kapitol o matematickém umění" napsaném během dynastie Han jsou uvedeny první známé příklady maticových metod.

Cardan ve svém díle "Ars Magna" z roku 1595 uvedl pravidlo pro řešení soustavy dvou lineárních rovnic, které nazval regula de modo (matka pravidel). Cardanovo pravidlo pro řešení soustav o dvou lineárních rovnicích odpovídá Cramerovu pravidlu, ale Cardan neučinil poslední krok a nedospěl k definici determinantu.

Řada standardních výsledků elementární teorie matic vznikla dlouho předtím, než se matice staly předmětem matematického výzkumu. Například de Witt ve své práci "Elements of curves", publikované jako část komentářů k latinské verzi Descartesovy "Géométrie" z roku 1660, ukázal, jak transformace os mění tvar dané rovnice na kanonický tvar. Šlo v podstatě o diagonalizaci symetrické matice, ale de Witt v těchto termínech neuvažoval.

Myšlenka determinantu se objevila téměř ve stejné době jak v Japonsku, tak v Evropě, ačkoliv japonský matematik Seki tuto myšlenku publikoval jako první. V roce 1683 Seki napsal práci "Metody řešení nepodobných problémů", která obsahuje maticové metody zapsané jako tabulky přesně stejným způsobem, jako tomu bylo u čínských matematiků. Aniž Seki použil pojmu determinant, konstruoval determinanty a vypracoval obecné metody počítání příkladů na jejich základě. Seki uměl vypočítat determinanty matic řádu 2x2, 3x3, 4x4 a 5x5 a používal je na řešení rovnic, ale nikoliv na řešení soustav lineárních rovnic.

V Evropě se determinant poprvé objevil také v roce 1683. V tomto roce Gottfried Wilhelm von Leibniz napsal de l'Hopitalovi a vysvětloval mu, že soustava rovnic

10 + 11x + 12y = 0 20 + 21x + 22y = 0 30 + 31x + 32y = 0

má řešení, protože

10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30 ,

což je přesně podmínka, že matice koeficientů soustavy lineárních rovnic má determinant rovný nule. Je třeba poznamenat, že Leibniz zde nepoužil numerických koeficientů, ale dvou znaků, z nichž první označoval, ve které rovnici se koeficient nachází, a druhý označoval, ke kterému písmenu patří. Proto 21 označuje prvek a₂₁.

Leibniz byl přesvědčen, že dobrý matematický zápis je klíčem k dalšímu pokroku a proto experimentoval s různými zápisy pro koeficienty soustavy. Ve svém nepublikovaném rukopise vytvořil více než 50 různých způsobů zápisů koeficientů, které vypracoval za období asi 50 let od roku 1678. Ve svých dvou publikacích z let 1700 a 1710 použil označení koeficientů jaké je uvedeno výše.

Leibniz pro určité kombinační součty členů determinantu použil termín "resultant". Pro tyto resultanty dokázal různá pravidla, z nichž jedno odpovídá Cramerovu pravidlu. Leibniz také věděl, že lze provést rozvoj determinantu podle určitého sloupce. Tento rozvoj se dnes nazývá Laplaceův rozvoj. Leibniz studoval nejen soustavy rovnic, ale také koeficienty systémů kvadratických forem, které přirozeným způsobem vedou k teorii matic.

Ve 30. letech 18. století Colin Maclaurin napsal své "Pojednání o algebře", které bylo publikováno až v roce 1748, dva roky po jeho smrti. Tato práce obsahuje první publikované výsledky o determinantech, především Cramerovo pravidlo pro matice řádu 2x2 a řádu 3x3 s tím, že bude dokázáno také pravidlo pro matice řádu 4x4. Cramer ve své práci "Úvod do analýzy algebraických křivek" z roku 1750 publikoval obecné pravidlo pro matice řádu nxn. Cramer ve své práci studoval rovnici křivky na ploše procházející předem zadanými body. Cramerovo pravidlo se objevilo bez důkazu v dodatku jeho práce.

Cramer přesně nevysvětlil, jak vypočítal tyto členy jako součiny určitých koeficientů v rovnicích a jaké mají determinanty znaménko. Cramer také ukázal, jak lze určit jmenovatele zlomků náhradou určitých koeficientů konstantními členy soustavy. Tyto zlomky pak definují jednotlivá řešení.

Brzy studium determinantů pokračovalo přesněji. V roce 1764 Bezout popsal metody výpočtu determinantů, které upřesnil v roce 1771 Vandermonde. V roce 1771 Pierre Simon Laplace tvrdil, že metody popsané Cramerem a Bezoutem jsou nepraktické. Ve své práci o drahách vnitřních planet se zabýval řešením soustav lineárních rovnic, které počítal s použitím determinantů. Laplace pro determinant použil překvapivě termín "resultant" stejně jako Leibniz přestože se nemohl s Leibnizovou prací seznámit.

Joseph Louis Lagrange v článku z roku 1773 studoval identity pro funkční determinanty typu 3x3. Lagrange se ale neodkazoval na Laplaceovu nebo Vandermondeovu práci. Jeho článek se zabývá mechanikou, ale poprvé obsahuje interpretaci objemu pomocí determinantů. Lagrange ve svém článku ukázal, že kvádr popsaný body O(0,0,0), M(x,y,z), M'(x',y',z'), M"(x",y",z") má objem

1/6 [z(x'y" - y'x") + z'(yx" - xy") + z"(xy' - yx')]

Termín "determinant" poprvé použil Johan Carl Friedrich Gauss ve své práci z roku 1801 "Disquisitiones arithmeticae" o kvadratických formách. Tento termín použil proto, že determinant určuje (angl. "determine") vlastnosti kvadratické formy. Koncept ale ještě neodpovídal dnešní definici determinantu. Ve stejné práci Gauss uspořádal koeficienty kvadratické formy do pravoúhlých polí. Popsal také maticové násobení a inverzi matice, ale nedosáhl ještě konceptu maticové algebry.

Gaussova eliminační metoda se poprvé objevuje v práci "Devět kapitol o matematickém umění" napsané kolem roku 200 př.n.l. Tuto metodu Gauss použil pro studium dráhy planetky Pallas. Na základě pozorování planetky Pallas mezi roky 1803 až 1809 Gauss získal soustavu šesti lineárních rovnic. Gauss ve své práci popsal systematickou metodu pro řešení takové soustavy rovnic, která přesně odpovídá Gaussově eliminační metodě, jak ji známe dnes.

V roce 1812 Augustin Louis Cauchy použil determinant v dnešním smyslu. Cauchyho práce je nejúplnější první prací o determinantech. Cauchy shrnul všechny dřívější výsledky a přidal své vlastní výsledky o minorech. V této práci je také dokázána věta o součinu determinantů. První méně uspokojivý důkaz podal Binet.

V roce 1826 Cauchy v souvislosti se studiem kvadratických forem n proměnných použil pro koeficienty matice termín "tabulka". Cauchy nalezl vlastní hodnoty a v kontextu konverze kvadratické formy na součet čtverců popsal diagonalizaci matic. Popsal také myšlenku podobných matic a ukázal, že dvě matice jsou podobné, pokud mají stejnou charakteristickou rovnici. Opět v kontextu kvadratických forem dokázal, že každou reálnou matici lze diagonalizovat.

Jacques Sturm zobecnil problém vlastních hodnot v kontextu řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic. Pojem vlastních hodnot objevil asi o osmdesát let dříve v D'Alembertově práci o soustavách lineárních diferenciálních rovnic. Jean Le Rond d'Alembert studoval pohyb vlákna se závažími umístěnými v různých bodech.

Je třeba poznamenat, že ani Cauchy ani Sturm své výsledky nezobecnili a determinanty a maticemi se zabývali jen v kontextu své práce. Kolem roku 1830 Karl Gustav Jacob Jacobi a později v 50. a 60. letech 19. století Lepod Kronecker a Karl Theodor Wilhelm Weierstrass studovali matice, ale znovu ve speciálním kontextu lineárních transformací. Jacobi v roce 1841 publikoval tři pojednání o determinantech. Tato práce má zásadní význam především v tom, že Jacobi definoval determinant algoritmickým způsobem a jeho výsledky bylo možno aplikovat jak na čísla tak na funkce.

V roce 1841 publikoval Arthur Cayley svůj první příspěvek k teorii determinantů. Ve své práci použil dvě vertikální čáry na každé straně pole čísel označující determinant. Tento symbol se používá standardně dodnes.

V roce 1844 Eisenstein označil lineární substituce jediným písmenem a ukázal, že jejich násobení je podobné násobení běžných čísel s výjimkou komutativnosti. Eisenstein byl prvním, kdo pochopil, že lineární substituce vytvářejí algebru.

V roce 1850 použil Sylvester jako první termín "matice". Sylvester matici definoval jako zkrácené uspořádání výrazů a prohlásil, že může vést k různým determinantům. Po návratu ze Spojených států amerických do Anglie v roce 1851 se Sylvester stal právníkem a setkal se svým kolegou Cayleym. Cayley brzy pochopil význam konceptu matic a v roce 1853 publikoval článek o inverzních maticích.

V roce 1858 Cayley publikoval práci "Memoár o teorii matic", která obsahuje první abstraktní definici matice. Cayley ukázal, že koeficienty kvadratických forem a lineárních transformací jsou speciálními případy obecnějšího konceptu. Cayley popsal maticovou algebru a definoval sčítání matic, násobení matic, násobení matice skalárem a inverzní matici. Popsal také přesnou konstrukci inverzní matice pomocí jejího determinantu. Cayley také dokázal, že matice typu 2x2 splňuje svoji charakteristickou rovnici. Uvedl, že stejného výsledku dosáhl pro matice typu 3x3, ale že hledá obecný důkaz pro matici libovolného stupně.

Tvrzení, že matice splňuje svoji charakteristickou rovnici, se nazývá Cayleyho-Hamiltonova věta. Hamilton dokázal speciální případ pro matice 4x4 při studiu svých kvaternionů.

V roce 1870 Marie Ennemond Camillie Jordan definoval kanonickou formu matice ve své práci "Pojednání o substitucích a algebraických rovnicích".

V roce 1878 Ferdinand Georg Frobenius napsal důležitou práci o maticích "O lineárních substitucích a bilineárních formách". Frobenius zřejmě Cayleyho práci nestudoval a ve svém článku, který se zabývá koeficienty forem, termín matice nepoužívá. Frobenius dokázal důležité výsledky o kanonických maticích jako reprezentacích ekvivalence tříd matic. Ve své práci také cituje Kroneckera a Weierstrasse a odkazuje se na jejich výsledky z let 1874 a 1868. Ve své práci Frobenius také zavádí pojem řád matice, který používá v části o kanonických formách a v definici ortogonálních matic.

V roce 1884 Sylvester definoval nulitu čtvercové matice. Nulita n(A) matice A je největší i takové, že každý minor matice A řádu n-i+1 je nulový. Sylvester se zabýval také invarianty matic, tedy vlastnostmi, které se při určitých transformacích nezmění. Sylvester dokázal, že platí:

max(n(A),n(B)) \leq n(A.B) \\leq n(A) + n(B)

V roce 1896 se Frobenius seznámil s Cayleyho prací z roku 1858 "Memoár o teorii matic" a začal používat termín matice. Frobenius dokázal Cayleyho-Hamiltonovu větu pro matici n-tého řádu, ale tuto větu připisoval Cayleymu, který ji dokázal jen pro matice řádu 2x2 a 3x3.

Axiomatická definice determinantu, kterou Karl Theodor Wilhelm Weierstrass  používal na svých přednáškách, byla publikována v jeho práci "O teorii determinantů" vydané v roce 1903 až po jeho smrti. V roce 1903 byly publikovány Kroneckerovy přednášky o determinantech, rovněž po autorově smrti. Tyto dvě práce položily solidní základy teorie determinantů. Teorie matic byla přijata o něco později. V roce 1907 publikoval Bocher důležitou práci "Úvod do vyšší algebry". Ve 30. letech 20. století napsali důležité práce Turnbull a Alexander Aitken. V roce 1955 publikoval Mirsky knihu "Úvod do lineární algebry", která zpřístupnila teorii matic všem studentům matematiky.

Kolem roku 300 př.n.l. Euklides napsal "Elementy", knihu, která se stala jednou z nejznámějších matematických knih všech dob. Euklides vyslovil pět postulátů, na nichž založil všechny své věty o geometrii:

• Lze spojit jeden bod s druhým přímkou.
• Lze vytvořit úsečku konečné délky kdekoliv na přímce.
• Kružnici lze popsat bodem a vzdáleností.
• Všechny pravé úhly jsou si rovny.
• Jestliže přímka se dvěma dalšími přímkami vytváří na stejné straně vnitřní úhly s velikostí menší než dva pravé úhly, pak ať je umístěna kdekoliv, vždy tyto přímky protne na té straně, na níž jsou úhly menší než dva pravé úhly.

Proclus (410 - 485 n.l.) napsal k "Elementům" komentář. V něm uvádí, že se pokusil odvodit pátý postulát z prvních čtyř a také že Ptolemaios podal chybný důkaz. Sám Proclus podal jiný chybný důkaz. Objevil však, že pátý postulát je ekvivalentní jinému axiómu:

• Je-li dána přímka a bod na ní neležící, pak lze tímto bodem proložit přímku, která bude s první přímkou rovnoběžná.

Následovala řada pokusů dokázat pátý postulát z ostatních čtyř, řada důkazů byla přijata a později v nich byla nalezena chyba. Jiní matematikové zkoumali jiné vlastnosti ekvivalentní pátému postulátu. V roce 1663 Wallis dokázal následující tvrzení ekvivalentní formulací pátému postulátu:

• Ke každému trojúhelníku existuje podobný trojúhelník libovolného zvětšení.

V roce 1766 pokračoval v Saccheriho práci Lambert, který ukázal, že v Saccheriho nové geometrii součet úhlů v trojúhelníku roste, pokud velkost plochy trojúhelníků klesá.

Adrien Marie Legendre strávil čtyřicet let svého života studiem postulátu o rovnoběžkách a tuto práci shrnul v dodatcích v různých vydáních velmi úspěšné knihy "Élements de Géométrie". Legendre dokázal, že Euklidův pátý postulát odpovídá tvrzení:

• Součet úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým úhlům.

V roce 1767 D'Alembert problém rovnoběžek označil za skandál elementární geometrie.

Prvním matematikem, který začal chápat problém rovnoběžek, byl Gauss.Svoji práci na pátém postulátu začal v roce 1792, když mu bylo 15 let. Tehdy se pokusil odvodit pátý postulát pomocí ostatních čtyř postulátů. V roce 1813 přiznal, že dosáhl jen malého úspěchu.

V roce 1817 již byl Gauss přesvědčen, že pátý postulát je nezávislý na ostatních čtyřech postulátech. Začal studovat důsledky geometrie, v níž může být bodem neležícím na přímce vedeno několik rovnoběžek k původní přímce. Překvapením pro nás zůstává, že Gauss tuto svoji práci uchoval v tajnosti. V té době vládla filozofie Immanuela Kanta, který tvrdil, že Euklidova geometrie je nevyhnutelnou nezbytností mysli, a Gauss nechtěl vyvolávat spory.

Gauss hovořil o své teorii rovnoběžek se svým přítelem matematikem Farkasem Bolyaiem, který se několikrát neúspěšně pokusil o důkaz postulátu o rovnoběžkách. Farkas Bolyai učil svého syna Jánose Bolyaie. Přestože mu tvrdil, že nemá smysl ztrácet čas problémem pátého postulátu, János byl problémem velmi zaujat.

V roce 1823 János Bolyai napsal svému otci, že objevil velmi překvapující věci, neboť se mu podařilo vytvořit podivný nový svět. Své poznatky publikoval v příloze o 24 stranách v otcově knize.

Gauss, který si tuto přílohu prostudoval, napsal svému příteli, že mladý geometr János Bolyai je génius prvního řádu. János Bolyai pouze předpokládal, že by mohla existovat nová geometrie. Předpokládal neplatnost pátého postulátu a snažil se nalézt nějaké rozpory. Ke skutečnému přelomu došlo poté, co Gauss začal považovat neeuklidovskou geometrii za možnou. Gauss později uvedl, že sám neeuklidovskou geometrii objevil dříve než Bolyai, ale své výsledky nepublikoval. To je jistě pravda, ale nemá žádný vliv na Bolyaiův přínos.

V roce 1829 publikoval práci o neeuklidovské geometrii ruský matematik Nikolaj Ivanovič Lobačevskij. Ani János Bolyai ani Johan Carl Friedrich Gauss Lobačevského práci neznali, protože byla publikována v Rusku v Kazaňském zpravodaji, který byl místní univerzitní tiskovinou. Lobačevskij se sice snažil, aby jeho práce vešla ve známost, ale článek byl odmítnut Michailem Vasiljevičem Ostrogradskim.

Lobačevskij publikoval v roce 1840 knihu "Geometrické objevy v teorii rovnoběžek" o délce 61 stran. Práce z roku 1837, která byla publikována francouzsky v Crelleho časopisu, přiblížila neeuklidovskou geometrii široké veřejnosti. Matematikové ale ještě nebyli připraveni přijmout tak revoluční myšlenky.

Lobačevského kniha z roku 1840 "Geometrické objevy v teorii rovnoběžek" podstatu neeuklidovské geometrie jasně vysvětlila. Lobačevskij uvádí, že všechny přímky v rovině procházející daným bodem neležícím na přímce lze rozdělit do dvou tříd: na přímky protínající danou přímku a na přímky danou přímku neprotínající. Lobačevskij nahradil postulát rovnoběžek ve své geometrii novým postulátem, podle něhož existují dvě přímky rovnoběžné k dané přímce procházející bodem neležícím na této přímce.

Lobačevskij ve své geometrii odvodil řadu trigonometrických identit a ukázal, že v malých rozměrech se tyto identity blíží k běžným identitám euklidovského prostoru.

Bernhard Riemann, který svoji doktorskou disertační práci psal pod Gaussovým vedením, ve své inaugurační přednášce 10. června 1854 přeměnil celý koncept geometrie. Geometrii definoval jako prostor s dodatečnou strukturou, která umožňuje studovat jeho vlastnosti, jako je měření délky. Tato přednáška byla publikována až roku 1868, dva roky po Riemannově smrti, ale měla zásadní vliv na rozvoj diferenciální geometrie. Riemann ve své přednášce krátce popsal "sférickou" geometrii, v níž každá přímka procházející bodem P neležícím na přímce tuto přímku protne. V Riemannově geometrii neexistují rovnoběžky.

Ani Bolyai ani Lobačevskij neukázali, že jejich popis nové geometrie je konzistentní. V podstatě se jejich geometrie příliš neodlišovala od euklidovské geometrie, v níž nebyly nalezeny žádné rozpory.

Prvním matematikem, kdo se zabýval konzistencí neeuklidovské Bolyaiovy-Lobačevského geometrie, byl Eugenio Beltrami (1835 - 1900). V roce 1868 publikoval článek "Esej o interpretaci neeuklidovské geometrie", v němž popsal model dvourozměrné neeuklidovské geometrie v trojrozměrné euklidovské geometrii. Tento model realizoval na pseudosféře, tj. ploše, která vznikne pohybem traktrixu kolem jeho asymptoty.

V podstatě nebyl Beltramiho model úplný, ale umožňoval učinit konečné závěry o Euklidově pátém postulátu. Problém konzistence zredukoval na problém konzistence prvních čtyř axiomů euklidovské geometrie.

Beltramiho práci na modelu Bolyaiovy-Lobačevského geometrie dokončil v roce 1871 Felix Christian Klein. Klein ve své práci popsal další modely neeuklidovských geometrií, jako je Riemannova sférická geometrie. Klein ve své práci použil definici vzdálenosti, kterou navrhl Cayley v roce 1859 jako zobecnění pojmu vzdálenosti.

Klein ukázal, že v podstatě existují tři základní typy geometrie. V Bolyaiově-Lobačevského geometrii přímky mají dva nekonečně vzdálené body. V Riemannově geometrii přímky nemají žádné dva nekonečně vzdálené body (přesněji mají dva imaginární nekonečně vzdálené body). Euklidovská geometrie je hraniční případ mezi oběma geometriemi.

Myšlenky topologie se objevují téměř ve všech oblastech matematiky. Samotný předmět topologie se skládá z různých oblastí, jako je topologie bodových množin, algebraická topologie a diferenciální topologie, které mají relativně jen málo společného.

Zřejmě první práci, jíž lze považovat za základ topologie, publikoval v roce 1736 Leonhard Euler, který se ve svém článku "Solutio problematis ad geometriam situs perinentis" zabýval řešením problému mostů v Königsbergu. Tato práce vyšla také v angličtině pod názvem "Řešení problému souvisejícího s geometrií polohy". Jak titul napovídá, Euler se v této práci zabýval typy geometrie, v nichž vzdálenost není podstatná.

Euler v článku dokazuje, že přechod sedmi mostů jedinou cestou není možný. Euler problém zobecnil tvrzením, že v grafu existuje cesta procházející všemi hranami jen tehdy, jsou-li právě dva vrcholy lichého stupně.

V roce 1750 Euler napsal Christianu Goldbachovi, v němž mimo jiné uvedl známý Eulerův vztah pro mnohostěn

    v - e + f = 2

kde "v" je počet vrcholů, "e" je počet hran a "f" je počet stran mnohostěnu. Tento vztah překvapivě neobjevili ani Archimédes ani Descartes, přestože oba podrobně mnohostěny studovali.

Leonhard Euler ve dvou článcích roce 1752 publikoval podrobnosti svého vztahu. První ukazuje, že Euler nebyl schopen svůj vztah dokázat. Ve druhém podal důkaz na základě řezů mnohostěnu na čtyřstěny. Ke svému vztahu doplnil podmínku, že mnohostěn musí být konvexní, aby každá úsečka spojující dva vrcholy ležela v mnohostěnu.

V cestě, kterou nastoupil Euler svým vztahem pro mnohostěny, pokračoval málo známý matematik Antoine-Jean Lhuilier (1750 - 1840), který celý svůj život zasvětil problémům souvisejícím s Eulerovým vztahem. V roce 1813 Lhuilier publikoval důležitou práci, v níž ukázal, že Eulerův vztah neplatí pro tělesa, která obsahují v sobě otvory. Pokud má těleso g otvorů, pak platí:

    v - e + f = 2 - 2g

Tento vztah je prvním známým výsledkem topologických invariantů. V roce 1865 publikoval August Ferdinand Möbius svoji Möbiovu pásku jako plochu, která má jedinou stranu. Möbius popsal vlastnost "jedné strany" pomocí termínů neorientovanosti. Zjistil, že povrch lze pokrýt orientovanými trojúhelníky a že Möbiovu pásku orientovanými trojúhelníky pokrýt nelze.

Prvním, kdo použil termín topologie, byl Johann Benedict Listing (1802 - 1882). Listingovy myšlenky výrazně ovlivnily Gausse, ikdyž Gauss nikdy žádnou práci o topologii nepublikoval. Listing v roce 1847 napsal práci "Vorstudien zur Topologie". Tato práce pro svoji jednoduchost nebyla příliš významná. V roce 1861 Listing publikoval mnohem důležitější práci, v níž popsal Möbiovu pásku čtyři roky před Möbiusem a v níž studoval komponenty povrchů a spojitost.

Listing ale nebyl prvním, kdo studoval spojitost povrchů. V roce 1851 tento pojem studoval Bernhard Riemann, který v roce 1857 zavedl Riemannovy plochy. K problému se dostal díky svému studiu polynomiální rovnice f(w,z) = 0, když uvažoval, jak se změní kořeny této rovnice při změnách w a z. Riemannovy plochy jsou popsány funkcí f(w,z) tak, že funkce w(z) definovaná rovnicí f(w,y) = 0 představuje jednu z ploch.

Jordan zavedl jinou metodu pro studium spojitosti ploch. Definoval jednoduchou uzavřenou křivku na ploše a studoval její vlastnosti v souvislosti se spojitostí ploch. Objevil tak další topologický invariant plochy.

Listing studoval spojitost ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Enrico Betti tuto myšlenku rozšířil na n-rozměrný prostor. Toto rozšíření není přímočaré, protože již ve třech rozměrech existují plochy, které nelze spojitě redukovat na bod, podobně jako existují křivky na ploše, které nelze redukovat v bod. Bettiho definice spojitosti byla podrobena kritice Heegaardem.

Myšlenku spojitosti rigorózně zpracoval v roce 1895 Jules Henri Poincaré v řadě článků "Analysis situs". Poincaré zavedl pojem homologie a uvedl přesnou definici Bettiho čísel, která definoval Betti. Eulerův vztah pro mnohostěn zobecnil na obecný mnohostěn v roce 1890 Jonquiéres a Poincaré tento vztah zobecnil na libovolnou p-rozměrnou varietu.

V souvislosti se studiem spojitosti Jules Henri Poincaré v roce 1895 definoval základní grupu variety.

Další oblast topologie se vyvíjela zobecněním myšlenky konvergence. Tento vývoj započal v roce 1817, když Bernardo Bolzano zobecnil konvergenci posloupnosti čísel na libovolnou omezenou nekonečnou podmnožinu reálných čísel.

V roce 1872 Georg Cantor zavedl pojem derivace množiny a hromadných bodů množiny. Definoval také uzavřené podmnožiny jako podmnožiny obsahující svoji derivaci. Dále Cantor definoval otevřené množiny jako další základní pojem topologie bodových množin.

V roce 1877 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass v kursu nepublikovaných přednášek podal přesný důkaz Bolzano-Weierstrassovy věty:

Omezená nekonečná podmnožina S množiny reálných čísel má nejméně jeden hromadný bod p, tj. ke každému e > 0 existuje n₀  přirozené a nekonečná posloupnost bodů {p_n} taková, že pro každé n > n₀  platí: |p_n - p| < e.

Bolzano-Weierstrassova věta vede k pojmu okolí bodu a okolí množiny. David Hilbert použil myšlenku okolí v roce 1902, když hledal odpovědi na své otázky, zejména, zda spojitá transformace grupy je diferencovatelná.

V roce 1906 Fréchet nazval prostor, ve kterém každá nekonečná omezená podmnožina má hromadný bod, kompaktním prostorem. Fréchet také rozšířil pojem konvergence z euklidovského prostoru na metrické prostory. Ukázal, že Cantorovy myšlenky o otevřených a uzavřených množinách lze rozšířit na pojem metrických prostorů.

Na Mezinárodním kongresu matematiků v Římě v roce 1909 Riesz ve svém článku navrhl nový axiomatický popis topologie. Definici založil na pojmu hromadných bodů množiny zcela bez pojmu metriky (vzdálenosti). V roce 1914 Felix Hausdorff definoval okolí pomocí čtyř axiomů, znovu bez pojmu metriky. Rieszova a Hausdorffova práce umožnila definici abstraktních topologických prostorů.

Třetí směr, který vedl ke konceptu topologie, souvisel s funkcionální analýzou. Funkcionální analýza vznikla z problémů matematické fyziky a astronomie, kdy metody klasické analýzy nebyly schopny řešit určité typy problémů. Jacob Bernoulli a Johann Bernoulli vypracovali variační počet, v němž hodnota jistého integrálu je chápána jako funkce funkcí, které mají být integrovány. Základní úlohou variačního počtu je stanovit funkce, pro které omezený integrál závislý na těchto funkcích a jejich derivacích nabývá extrémních hodnot.

Jacques Salomon Hadamard definoval pojem "funkcionál" v roce 1903, když studoval lineární funkcionály tvaru

    F(f) = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) g_n(x) dx

Fréchet pak pojem funkcionálu dále rozvinul a v roce 1904 definoval pojem derivace funkcionálu.

V roce 1907 Schmidt studoval konvergenci v prostorech posloupností a rozšířil metody, které David Hilbert použil ve své práci o integrálních rovnicích, zobecněním myšlenky Fourierových řad. Vzdálenost definoval pomocí vnitřního součinu. Schmidtova práce o prostorech posloupností souvisela s teorii funkcí s konečným součtem jejich druhých mocnin. Tímto problémem se začal zabývat Schmidt v roce 1907 nezávisle na Fréchetovi.

Dalším krok k abstrakci učinil v roce 1932 Stefan Banach, který se zabýval normovanými prostory. Ukázal, že Fréchetovy lineární funkcionály tvoří normovaný prostor.

K rozvoji metod topologie přispěl také Jules Henri Poincaré, který studoval obyčejné diferenciální rovnice související s problémy v astronomii. Jeho studium autonomních soustav

    dx/dt = f(x,y) dy/dt = g(x,y)

vedlo k hledání úplného systému řešení a nikoliv jen k hledání určitých trajektorií, jak tomu bylo dříve. Brouwer v roce 1912 shrnul Poincarého metody do kompletní topologické teorie.

V roce 1897 J. J. Thomson objevil elektron. Naopak neutron byl objeven až v roce 1832 jako důsledek kvantové teorie.

V roce 1859 Gustav Kirchhoff dokázal zákon o vyzařování absolutně černého tělesa. Absolutně černé těleso pohlcuje všechnu energii, která na něj dopadá. Protože neodráží světlo žádné vlnové délky, označuje se jako absolutně černé. Kirchhoff zjistil, že absolutně černé těleso vyzařuje energii E závislou na jeho teplotě a frekvenci n, tj.

    E = J(T,n)

Kirchhoff vyzval ostatní fyziky k nalezení neznámé funkce J.

V roce 1879 Josef Stefan navrhl na základě experimentů, že celková energie je úměrná čtvrté mocnině teploty T. Obecně ale tento vztah neplatí. Ke stejnému závěru došel v roce 1884 na základě termodynamiky a Maxwellovy teorie elektromagnetického pole Ludwig Boltzmann. Výsledek známý jako Stefanův-Boltzmannův zákon ale plně nesplnil Kirchhoffovu výzvu, protože nepopisoval chování záření pro jednotlivé vlnové délky.

V roce 1896 Wilhelm Wien navrhl Wienův zákon, který odpovídal experimentálním pozorováním pouze pro krátké vlnové délky. Jak ukázali Rubens a Kurlbaum, Wienův zákon neplatil pro dlouhovlnné infračervené záření.

Kirchhoff, který pracoval v Heidelbergu, odešel do Berlína a Boltzmannovi bylo nabídnuto jeho místo. Boltzmann ale odmítl a místo bylo nabídnuto Hertzovi, který také odmítl. Teprve poté místo přijal Max Karl Ernst Ludwig Planck.

V říjnu 1900 Plancka navštívil Rubens a vysvětlil mu svůj výsledek pozorování. Když uplynulo několik hodin, co Rubens od Plancka odešel, Planck nalezl správný vztah pro Kirchhoffovu funkci. Nebyl však se svým odvozením spokojen, protože chtěl nalézt teoretické zdůvodnění. Překvapivě zjistil, že k řešení lze dojít jen za předpokladu vyzařování celkové energie po kvantech. Planck tehdy napsal, že experiment prověří, zda jeho hypotéza je správná.

Planck sice ocenil Boltzmanna za jeho statistické metody, ale postupoval jiným způsobem. Jeho teorie vycházela z hypotézy, která nebyla dostatečně podložena experimentem. V roce 1918 Max Planck obdržel Nobelovu cenu za fyziku.

V roce 1901 Georgorio Ricci-Curbastro a Tulio Levi-Civita publikovali knihy "Absolutní diferenciální počet". Navázali na Christoffelův objev kovariantní derivace z roku 1896, který Ricciho vedl k rozšíření tenzorové analýzy na n-rozměrné Riemannovy prostory. Ricci a Levi-Civita vypracovali nejobecnější formulaci tenzorové analýzy. Jejich práce sice nesouvisela s kvantovou teorií, ale jak se často stává, matematická teorie se objevila ve správný okamžik, kdy ji fyzikální teorie potřebovala.

V roce 1905 Albert Einstein studoval fotoelektrický jev. Při tomto jevu kov nebo polovodič působením světla emituje elektrony. Elektromagnetická teorie světla v tomto případě neodpovídala experimentům. Einstein proto navrhl kvantovou teorii světla a tím využil Planckovu hypotézu šíření světla po kvantech. V roce 1906 Albert Einstein ukázal, změny energie v kvantově mechanickém oscilátoru probíhají po kvantech velikosti h.\nu, kde h je Planckova konstanta a \nu je frekvence dopadajícího světla. V roce 1922 obdržel Albert Einstein Nobelovu cenu za fyziku pro rok 1921 za vysvětlení fotoelektrického jevu.

V roce 1913 Niels Bohr napsal revoluční článek o atomu vodíku. Objevil vztah objasňující emisní a absorpční vlnové délky ve spektru vodíkového plynu. Za tuto práci v roce 1922 obdržel Nobelovu cenu za fyziku. Koncem roku 1923 Arthur Compton odvodil relativistickou kinematiku rozptylu fotonu na elektronu.

Tím se objevil nový fyzikální koncept, který řadu předních fyziků znepokojoval. Tento koncept obsahoval totiž nahodilost, kterou poprvé použil Ernest Rutherford v roce 1900 pro vysvětlení radioaktivního rozpadu. V roce 1924 Albert Einstein napsal, že existují dvě různé teorie světla, které ani přes značné úsilí teoretických fyziků nemají žádné logické souvislosti.

V roce 1924 Niels Bohr, Kramers a Slater vypracovali důležité teoretické návrhy týkající se interakce světla s hmotou. Ačkoliv tyto návrhy byly chybné, podnítily další teoretickou práci. Niels Bohr upozornil na určité logické paradoxy ve své práci:

• Jak může platit zákon zachování energie, když některé změny energie jsou spojité a jiné nespojité, tedy mění se po kvantech?
• Jak může elektron vědět, kdy má vyzařovat energii?

V této fázi se kvantová teorie realizovala v euklidovském prostoru a používala kartézské tenzory lineárního a úhlového momentu. Brzy ale začala zcela nová etapa.

V roce 1924 publikoval Satyendra Nath Bose zásadní článek, který se neodkazoval na žádné jiné publikace. Bose nejprve svůj článek zaslal Einsteinovi, který ihned rozpoznal značný význam Boseovy práce a zajistil publikování. Bose navrhoval, že foton má různé stavy. Také navrhoval, že neexistuje žádný zákon zachování počtu fotonů. Na základě statistické nezávislosti částic Bose rozdělil částice do buněk s tím, že jednotlivé buňky jsou statisticky nezávislé. Další výzkum ukázal, že Bose měl ve všech svých hypotézách pravdu.

Vývoj kvantové teorie se urychlil. Doktorská disertační práce Louise de Broglie rozšířila duální charakter fotonu, který se chová současně jako částice a jako vlna, na všechny částice, tedy také na elektron. V roce 1926 Erwin Rudolf Joseph Alexander Schrödinger publikoval článek popisující vlnovou rovnici atomu vodíku a tím započal rozvoj vlnové mechaniky. Schrödinger každé dynamické proměnné přiřadil operátor z Hilbertova prostoru.

V roce 1926 Paul Adrien Maurice Dirac nalezl úplné odvození Planckova zákona a ve stejném roce Born zpochybnil v kvantové teorii kauzalitu klasické fyziky. Kvantová mechanika vypovídá pouze o možných výsledcích a nevypovídá nic o stavu před provedením experimentu.

V roce 1925 Werner Karl Heisenberg napsal svůj první článek o kvantové mechanice. V roce 1927 vyslovil princip neurčitosti. Podle principu neurčitosti, pro neurčitost v poloze částice dx a neurčitost v hybnosti částice dp platí vztah

    dx.dp \geq h/(2.p)

kde h je Planckova konstanta. Werner Karl Heisenberg tvrdil, že neplatnost přísné kauzality je nezbytná a kauzalita není konzistentně možná.

Heisenbergova práce využívala maticové metody, které zpracoval Arthur Cayley o padesát let dříve. Vedle sebe stály dvě formulace kvantové mechaniky: Heisenbergova maticová mechanika a Schrödingerova vlnová mechanika. Teprve o 25 let později Riesz matematicky dokázal, že obě formulace jsou ekvivalentní.

V roce 1927 Niels Bohr tvrdil, že prostoročasové souřadnice a kauzalita jsou vzájemně komplementární. Wolfgang Pauli objevil, že spin, jeden ze stavů, které navrhoval Bose, odpovídá novému typu tenzoru, který Ricci a Levi-Civita ve své práci z roku 1901 neuvažovali. Ale již v roce 1913 E. Cartan zavedl objekty, které odpovídaly spinorům kvantové mechaniky.

V roce 1928 Paul Dirac nalezl řešení problému, jak vyjádřit kvantovou teorii v invariantním tvaru vzhledem k Lorentzově grupě transformací ze speciální teorie relativity. Dirac vyjádřil d'Alembertovu vlnovou rovnici pomocí operátorové algebry.

Princip neurčitosti nebyl všemi fyziky přijat. Největším oponentem byl Albert Einstein. V roce 1930 vyzval Einstein Nielse Bohra k řešení paradoxu myšlenkového experimentu, který navrhl. Einstein uvažoval schránku naplněnou zářením. Hodiny umístěné na schránce umožňují v určitý čas vypustit ze schránky jeden foton. Einstein tvrdil, že hmotnost schránky, energii fotonu a čas lze měřit s libovolnou přesností, což je v rozporu s kvantovou mechanikou.

Niels Bohr ale nalezl řešení. Hmotnost se měří pomocí vah, které vždy fungují na principu změny polohy schránky, která je ale vázána vztahem neurčitosti s hybností fotonu. Čas je navíc relativní a chyba v měření polohy schránky se převádí do chyby měření času.

V roce 1932 John von Neumann vypracoval teoretické základy kvantové mechaniky. Některé dřívější práce o kvantové mechanice postrádaly matematickou přesnost, ale von Neumann celou teorii postavil na solidní základy operátorové algebry.

- pokračování -