Typografické poznámky k matematickým vztahům jsou uvedeny na konci tohoto textu.

Problém čtyř barev pochází od Francise Guthrieho, který byl studentem na University College v Londýně, kde studoval u De Morgana. Po dokončení studia začal studovat práva, ale jeho bratr Frederick Guthrie se stal také studentem u De Morgana. Frederick Guthrie nejprve vykonával praxi obhájce a v roce 1861 odejel do Jižní Afriky jako profesor matematiky. Zde publikoval několik matematických článků a začal se zajímat o botaniku. Jeden druh vřesu [Erica Guthriei] byl pojmenován po něm.

V době, kdy Frederick ještě studoval u De Morgana, jeho bratr mu ukázal některé výsledky své práce a také ho požádal, aby ze De Morgana zeptal na možnost důkazu problému čtyř barev.

De Morgan na domněnku o čtyřech barvách neznal odpověď, ale 23. října 1852 zaslal dopis Hamiltonovi do Dublinu. Domněnka o čtyřech barvách spočívá v následující úloze. Libovolný obrazec je rozdělen na části a každá část má být obarvena jednou ze čtyř barev tak, aby se na společné hranici částí nevyskytovaly dvě stejné barvy.

De Morgan zaslal několika matematikům dotaz, zda by nebyli ochotni zabývat se řešením problému čtyř barev. Charles Pierce ve Spojených státech amerických se začal domněnkou zabývat v 60. letech 19. století a problémem se pak zabýval po celý svůj život.

Cayley se o několik let později dověděl o nevyřešeném problému čtyř barev a 13. června 1878 zaslal dotaz Londýnské matematické společnosti, zda byl problém již vyřešen. Krátce poté zaslal Královské geografické společnosti svoji práci "On the colouring of maps" (O vybarvování map), v níž vysvětlil, kde se nacházejí obtíže s řešením problému.

17. července 1879 Alfred Bray Kempe oznámil v časopise Nature, že nalezl důkaz problému čtyř barev. Kempe byl právní obhájce, který studoval v Cambridge matematiku u Cayleyho. Cayley Kempemu doporučil, aby své řešení zaslal do časopisu American Journal of Mathematics, kde bylo řešení skutečně publikováno. Ještě před publikováním si Kempeho práci prostudoval Story, který provedl některá zjednodušení. Story oznámil řešení problému čtyř barev ve vědecké asociaci Univerzity Johnse Hopkinse v listopadu 1879.

Kempe ve svém důkazu použil argument známý jako metoda Kempeho řetězců. Předpokládejme, že máme mapu, v níž je každá oblast vybarvena červenou, zelenou, modrou a žlutou barvou, kromě jediné, řekněme X. Pokud oblast X není obklopena oblastmi všech čtyř barev, pak lze pro její obarvení použít jednu nepoužitou barvu. Pokud je oblast X obklopena oblastmi A, B, C a D s barvami červenou, žlutou, zelenou a modrou, můžeme uvažovat dva případy.

1. Neexistuje žádný řetězec přilehlých oblastí od A do C střídavě vybarvený červenou a zelenou.

2. Existuje řetězec přilehlých oblastí od A do C střídavě vybarvený červenou a zelenou.

Pokud platí 1, pak A obarvíme zelenou a poté pozměníme barvu červených a zelených oblastí v řetězci obsahujícím oblast A. Protože C není v řetězci, zůstává C zelená barva a neexistuje nyní žádná červená oblast přiléhající oblasti X. Proto barva X je červená.

Pokud platí 2, pak neexistuje žádný řetězec přiléhajících oblastí od B do D vybarvený střídavě žlutou a modrou (nemohl by překřížit řetězec červených a zelených oblastí). Proto platí 1 pro B a D a lze použít vlastnost 1.

Kempe se svým důkazem velice proslavil. Byl přijat za člena Královské společnosti a řadu let pracoval jako její pokladník. V roce 1912 byl povýšen do rytířského stavu. Publikoval dvě upravené verze svého důkazu, druhou v roce 1880. Tato verze vzbudila zájem P. G. Taita, profesora přírodní filozofie v Edinburghu. Tait se začal problémem čtyř barev zabývat a zaslal Královské společnosti v Edinburghu dva články na téma "Věty o čtyřech barvách". Články obsahují několik bystrých myšlenek a několik základních chyb.

V roce 1890 se "Věta o čtyřech barvách" stala znovu Domněnkou o čtyřech barvách. Percy John Heawood, přednášející v Durhamu, publikoval článek nazvaný "Map colouring theorem". Uvádí v něm, že jeho cíl byl více destruktivní než konstruktivní. Heawood totiž ukázal, že Kempeho důkaz je chybný a zároveň dokázal, že každou mapu lze vybarvit pěti barvami. Kempe sám oznámil chybu ve svém důkazu Matematické společnosti a prohlásil, že již není schopen svůj důkaz opravit. V roce 1896 de la Vallée Poussin také poukázal na chybu v Kempelově důkazu nezávisle na Heawoodově článku.

Heawood se začal problémem obarvování map začal zabývat a zasvětil mu asi 60 let svého života. Objevil, jaký počet barev je potřebný pro vybarvení mapy na různých plochách. Jeho metoda se dnes nazývá Heawoodův odhad Eulerovy charakteristiky plochy.

Heawood kromě matematiky se významně zapsal do historie svojí snahou získat peníze na obnovu hradu v Durhamu jako tajemník Nadace na obnovu hradu v Durhamu. Díky svému vlivu a práci se mu podařilo získat potřebné finance a zachránil hrad v Durhamu před zbouráním.

Heawood k důkazu domněnky o čtyřech barvách přispěl ještě další svojí prací. V roce 1898 dokázal, že pokud je počet hran obklopujících každou oblast dělitelný třemi, pak tyto oblasti lze vybarvit čtyřmi barvami. Později pak napsal řadu prací, které tento výsledek zobecňují.

Z každé mapy oblastí lze vytvořit graf, pokud je každá oblast reprezentována vrcholy a dva vrcholy lze spojit hranou, pokud oblasti odpovídající vrcholům k sobě přiléhají. Výsledný graf je rovinný, což znamená, že jej lze zakreslit do roviny bez křížení hran. Domněnka o čtyřech barvách nyní představuje problém, zda vrcholy nějakého rovinného grafu lze vybarvit čtyřmi barvami tak, aby žádné dva přiléhající vrcholy neměly stejnou barvu.

Z libovolného grafu lze vytvořit triangulaci přidáním hran, které rozdělují libovolnou netrojúhelníkovou část grafu na trojúhelníky. Konfigurace je částí triangulace obsažené uvnitř nějakého okruhu. Nevyhnutelná množina je množina konfigurací s vlastností, že libovolná triangulace musí obsahovat alespoň jednu konfiguraci z této množiny. Konfigurace je reducibilní, jestliže nemůže být obsažena v triangulaci nejmenšího grafu, který nelze obarvit čtyřmi barvami.

Hledání nevyhnutelných množin začalo v roce 1904 prací Weinickeho. Novou vlnu zájmu ve Spojených státech amerických o domněnku o čtyřech barvách vyvolal Veblen, který publikoval v roce 1912 práci "Domněnka o čtyřech barvách" zobecňující Heawoodovu práci. G. D. Birkhoff ve své práci zavedl pojem reducibility (viz výše).

V roce 1922 Franklin publikoval další příklady nevyhnutelných množin a použil Birkhoffovu myšlenku reducibility mimo jiné také k důkazu, že každá mapa o méně než 25 oblastech může být obarvena čtyřmi barvami. Počet oblastí velmi pomalu rostl. V roce 1926 tento výsledek pro 27 oblastí dokázal Reynolds, v roce 1940 pro 35 oblastí Winn, v roce 1970 pro 39 oblastí Ore a Stemple a v roce 1976 pro 95 oblastí Mayer.

Klíčové myšlenky pro řešení domněnky o čtyřech barvách se objevily ještě před rokem 1970. V roce 1969 Heesch zavedl metodu redukce náboje. Tato metoda každému vrcholu stupně i (počet hran vycházejících z vrcholu) přiřazuje náboj 6-i. Nyní z Eulerovy formule lze vyvodit, že součet nábojů přes všechny vrcholy musí být 12. O určité dané množině S konfigurací lze dokázat, že je nevyhnutelná, pokud pro nějakou triangulaci T, která nemá žádnou konfiguraci v S, lze přesunout náboje (beze změny celkového náboje) tak, aby žádný vrchol neskončil s kladným nábojem.

Heesch předpokládal, že domněnku o čtyřech barvách by mohl dokázat pomocí množiny s asi 8900 konfiguracemi. Problémem bylo, že některé konfigurace měly hranici s více než 18 hranami a nebylo možno testovat jejich reducibilitu. Test reducibility využíval Kempeho myšlenku řetězců, ale některé konfigurace měly překážky, které redukci neumožňovaly.

V roce 1976 bylo nalezeno konečné řešení domněnky o čtyřech barvách. Důkaz provedli Appel a Haken, kteří svoji metodu reducibility založili na Kempeho řetězcích. Využili Heescheho myšlenku a vytvořili nevyhnutelnou množinu pro asi 1500 konfigurací. Díky tomu některé konfigurace měly hranici s nejvýše 14 hranami a výpočty byly proto jednodušší než v Heescheho případě. Dlouhou dobu postupovali metodou pokus omyl a se svojí neuvěřitelnou intuicí modifikovali svoji nevyhnutelnou množinu a svoji metodu redukce náboje. Appel a Haken spotřebovali zhruba 1200 hodin strojového času počítače, než dospěli ke konečnému důkazu. Při počítačových výpočtech jim asistoval Koch.

Problém čtyř barev se stal prvním velkým matematickým problémem, který byl vyřešen s pomocí počítače a nemohl být přímo ověřen jinými matematiky. Navzdory této obtíži brzy několik jiných matematiků správnost důkazu ověřilo. Detaily důkazu byly publikovány ve dvou článcích v roce 1977. Pozdější práce vedly ke zjednodušení a zvýšení efektivity algoritmu.
 

Studium vývoje základních myšlenek teorie grup se neobejde bez určitých potíží. Nestačí pouze říci, že nenulová racionální čísla s operací násobení tvoří grupu, ale myšlenky teorie grup je třeba hledat v počátcích matematiky. Počátky teorie grup totiž souvisí s abstrakcí myšlenek několika velkých oblastí matematiky, které byly rozvíjeny současně a nezávisle na sobě.

Teorie grup vycházela ze tří hlavních oblastí:

• geometrie na počátku 19. století.
• teorie čísel z konce 18. století
• teorie algebraických rovnic z konce 18. století, která vedla ke studiu permutací

V roce 1827 August Ferdinand Möbius začal vytvářet klasifikaci geometrií s využitím skutečnosti, že určité geometrické vlastnosti jsou invariantní vůči jisté grupě transformací. Möbius se ale ještě samostatnou teorií grup nezabýval. V roce 1832 Steiner studoval vlastnosti syntetické geometrie, která vedla ke studiu grup transformací.

V roce 1761 Leonhard Euler studoval modulární aritmetiku. Konkrétně se zabýval studiem zbytků mocnin čísel modulo n. Přestože Eulerova práce samozřejmě neobsahovala žádné závěry teorie grup, je prvním příkladem dekompozice Abelových grup na podgrupy. Euler také zpracoval zvláštní případ podgrupy, jejíž řád je dělitelem řádu příslušné grupy.

V roce 1801 Johan Carl Friedrich Gauss navázal na Eulerovu práci a zabýval se modulární aritmetikou. Jeho práci lze považovat za základ teorie Abelových grup. Gauss studoval řády prvků a dokázal, že podgrupa, jejíž řád je dělitelem řádu příslušné grupy, je cyklická. Gauss zkoumal také další Abelovy grupy. Kromě jiného studoval binární kvadratické formy

ax² + 2bxy + cy²                 kde a, b, c jsou celá čísla.

Gauss studoval chování těchto kvadratických forem při různých transformacích a substitucích. Roztřídil tyto kvadratické formy do tříd a definoval kompozici tříd. Gauss také ukázal, že pro řád kompozice tří forem platí asociativní zákon. V podstatě Gauss studoval konečné Abelovy grupy a na jeho práci v roce 1869 navázal Schering, který zde získal základy teorie Abelových grup.

V roce 1770 Joseph Louis Lagrange ve své práci o teorii algebraických rovnic poprvé studoval permutace. Lagrange se zabýval problémem, zda kubické a bikvadratické rovnice lze řešit algebraicky. Předpokládal například, že kořeny kubické rovnice jsou x₁, x₂ a x₃ a studoval výrazy tvaru

R = x₁ + w.x₂ + w².x₃ ,

přičemž zjistil, že šest permutací kořenů x₁, x₂ a x₃ vede ke dvěma různým hodnotám. Ačkoliv v jeho práci lze nalézt počátky teorie grup permutací, Lagrange se ještě nezabýval kompozicemi těchto permutací.

Algebraickou rovnici 5. stupně poprvé algebraicky vyřešil Ruffini. Ve své práci z roku 1799 ukázal neřešitelnost obecné rovnice 5. stupně. Ruffiniho práce vycházela z Lagrangeovy práce, ale Ruffini již definoval grupy permutací. Nazýval je italsky "permutazione" a využil platnosti asociativního zákona permutací. Ruffini rozdělil "permutazione" do typů. "permutazione simplice" byly cyklické grupy, "permutazione composta" byly necyklické grupy. Cyklické grupy Ruffini rozdělil do dalších tří podtypů.

Ruffiniho důkaz neřešitelnosti obecné rovnice 5. stupně měl určité mezery a reakce na ně Ruffiniho přiměla k další práci. Ve své práci z roku 1802 ukázal, že grupa permutací přiřazená ireducibilní rovnici je transitivní, čímž se dostal dále než Lagrange.

Významnou roli v rozvoji teorie permutací sehrál Augustin Louis Cauchy. Svoji první práci na toto téma napsal v roce 1815, ale v té době se ještě permutacemi zabýval jen v souvislosti s kořeny rovnic. V roce 1844 Cauchy publikoval rozsáhlou práci, která se stala základem teorie permutací. Definoval pojmy mocnin permutací, kladné a záporné permutace, identickou permutaci, řád permutace a studoval cykly v permutacích. Pro grupu použil termín "systéme des substitutions conjuguées". Cauchy označoval dvě permutace jako podobné, pokud mají stejnou cyklickou strukturu a dokázal, že v tomto případě jsou permutace konjugované.

V roce 1824 Niels Henrik Abel podal první přijatelný důkaz neřešitelnosti obecné rovnice 5. stupně. Využil přitom nejen teorii permutací, ale také přispěl k rozvoji teorie grup.

V roce 1831 Evariste Galois jako první pochopil, že algebraické řešení rovnice souvisí se strukturou grupy "le groupe" permutací, která je rovnici přiřazena. V roce 1832 Galois objevil, že zvláštní typ podgrup (dnes normální podgrupy) mají pro teorii zásadní význam. Zavedl také termín vlastní dekompozice podgrup. Galois pak ukázal, že jednoduchá grupa nejmenšího řádu má řád 60.

Galoisova práce nebyla příliš známá, dokud Joseph Liouville v roce 1846 nepublikoval Galoisovy články. Liouville objevil souvislost mezi Cauchyho teorií permutací a Galoisovou prací. Liouville ale nedocenil fakt, že význam Galoisovy práce leží především v teorii grup.

V roce 1851 Enrico Betti publikoval práci o souvislosti teorie permutací a teorie algebraických rovnic. V podstatě byl Betti prvním, kdo dokázal, že Galoisova grupa přiřazená algebraické rovnici je grupou permutací v moderním smyslu. Serret publikoval významnou práci, v níž diskutoval výsledky Galoisovy práce, ale ani on nezdůraznil význam teorie grup.

V letech 1865, 1869 a 1870 Marie Ennemond Camille Jordan ve svých článcích objasnil význam grupy permutací. Definoval isomorfismus grup permutací a dokázal pro grupy permutací Jordanovu-Hölderovu větu. Hölder v roce 1889 tuto větu dokázal v kontextu abstraktních grup.

V roce 1872 Felix Christian Klein navrhl Erlangenský program, jehož podstatou byla teoretická klasifikace geometrií pomocí grup. V té době se grupy staly ústředním pojmem matematiky.

K nejvýznamnějšímu pokroku v teorii grup došlo ještě před Bettiho prací. Britský matematik Arthur Cayley v roce 1849 publikoval článek, který dával do souvislosti teorii permutací s Cauchyho prací. V roce 1854 Cayley napsal dva články, které se staly základem teorie abstraktních grup, přestože v té době jedinými známými grupami byly grupy permutací. Cayley definoval abstraktní grupu a definoval tabulky pro násobení grup a popsal "Cayleyovy tabulky" pro některé speciální grupy permutací. Mnohem větší význam pro rozvoj abstraktní teorie grup měly jeho důkazy, že matice a kvaterniony jsou grupy.

Cayleyovy články z roku 1854 předběhly dobu a měly v době svého vzniku jen malý význam. Cayley se ale k problematice vrátil v roce 1878, kdy napsal čtyři články o grupách. Jeden z nich nesl název "Teorie grup" a objevil se ve správný čas, protože se záhy dostal do středu zájmu matematiků. Cayley kromě řady jiných výsledků dokázal, že každou konečnou grupu lze reprezentovat grupou permutací. Cayleyova práce také motivovala Höldera, který v roce 1893 zkoumal grupy řádu p³, p.q², pqr a p⁴.

Významně vpřed posunuli teorii grup Ferdinand Georg Frobenius a Netto (který byl Kroneckerovým studentem). K dalšímu rozvoji abstraktních grup významně přispěl von Dyck, který získal pod Kleinovým vedením doktorát a stal se Kleinovým asistentem. Von Dyck ve svých článcích z roku 1882 a 1883 zkonstruoval volné grupy a definoval abstraktní grupy prostřednictvím generátorů a relací.

Teorie grup dosáhla své dospělosti Burnsideovou knihou z roku 1897 "Teorie grup konečného řádu". Heinrich Weber, Dedekindův student, napsal knihu o algebře ve dvou svazcích "Lehrbuch der Algebra", která byla publikována v letech 1895 a 1896 a stala se standardním textem. Tyto knihy ovlivnily následující generaci matematiků a povýšily teorii grup na jednu z významných teorií 20. století.
 

Historie teorie množin se výrazně odlišuje od historie většiny jiných oblastí matematiky. Většina oblastí matematiky procházela dlouhým vývojem, k němuž přispěla řada matematiků, často pracujících současně. Tento dlouhý vývoj byl poznamenán řadou menších a větších úspěchů a velmi důležitých objevů.

Teorie množin vznikla zcela jiným způsobem. Jejím autorem je jediný matematik, Georg Cantor. Teorie množin těsně souvisela s pojmem nekonečna.

Myšlenka nekonečna byla předmětem hlubokých myšlenek od doby starověkého Řecka. Řecký matematik a filozof Zenon z Eley se kolem roku 450 př.n.l. k problému nekonečna přispěl jako první. Ve středověku diskuse o nekonečnu vedly k porovnávání některých nekonečných množin. Albert Saský ve své práci "Questiones subtilissime in libros de celo et mundi" dokázal, že břevno nekonečné délky má stejný objem jako trojrozměrný prostor. Svůj důkaz založil na rozřezání břevna na imaginární kousky, které lze složit tak, aby vyplnily celý prostor.

Významným matematikem a filozofem s hlubokým myšlením byl Bernardo Bolzano. Bolzano bránil myšlenku nekonečných množin. Většina matematiků jeho doby byla přesvědčena, že nekonečné množiny neexistují. Bolzano vytvořil příklady nekonečných množin, jejichž prvky bylo možno vzájemně jednoznačným zobrazením přiřadit prvkům každé vlastní podmnožiny této nekonečné množiny.

George Cantor vybudoval teorii množin na svých vlastních matematických základech. V letech 1867 až 1871 se zabýval teorií čísel a publikoval několik článků. Přestože byly velice kvalitní, nenasvědčovaly nic o budoucím géniovi, který změní vývoj celé matematiky.

V roce 1872 Cantor odejel do Švýcarska, kde se setkal s Richardem Dedekindem a navázal s ním dlouholeté přátelství. Řada dopisů z let 1873 až 1879 se sice relativně málo týká matematiky, ale Dedekindova hloubka abstraktní logiky Cantora ovlivnila v jeho další práci.

Cantor se začal zabývat trigonometrickými řadami. Jeho články obsahují již první Cantorovy úvahy o teorii množin a důležité výsledky týkající se iracionálních čísel. Dedekind, který pracoval na teorii iracionálních čísel nezávisle na Cantorovi, publikoval práci "Spojitost a iracionální čísla".

V roce 1874 Cantor publikoval v Crelleho časopise článek, který lze považovat za počátek teorie množin. Další článek Cantor zaslal v roce 1878, ale již v té době se teorie množin stala předmětem vášnivých debat. Leopold Kronecker, který byl jedním z velmi vlivných členů redakční rady Crelleho časopisu, s Cantorovými myšlenkami nesouhlasil a chtěl zabránit publikování Cantorova článku. Cantor se proto pokusil článek stáhnout, ale Dedekind ho od tohoto kroku odradil. Cantor článek nestáhl a Karl Theodor Wilhelm Weierstrass podpořil jeho vydání. Článek se nakonec v Crelleho časopisu objevil, ale Cantor již nikdy v tomto časopise nepublikoval.

Ve svém článku z roku 1874 Cantor uvažoval nejméně dva druhy nekonečna. Předtím nějaké třídění nekonečna nikdo neuvažoval a všechny nekonečné množiny byly považovány za "stejně velké". Cantor studoval množinu všech reálných kořenů rovnice tvaru

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₁ x + a₀ = 0

kde a_i jsou celá čísla. Cantor dokázal, že existuje vzájemně jednoznačné zobrazení této množiny na množinu přirozených čísel.

Ve stejném článku Cantor dále dokázal, že neexistuje žádné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny reálných čísel na množinu přirozených čísel. Použil přitom argument s vnořenými intervaly, jejichž definice byla složitější, než se používá dnes. Cantor dokázal Lieouvilleovu větu, že v každém intervalu je nekonečně mnoho transcendentálních (tedy nealgebraických) čísel.

V dalším článku Cantor zavedl pojem ekvivalence množin. Dvě množiny jsou ekvivalentní (mají stejnou mohutnost), jestliže existuje vzájemně jednoznačné zobrazení jedné množiny na druhou. Pojem "mohutnost" Cantor převzal od Steinera. Dokázal, že racionální čísla mají nejmenší nekonečnou mohutnost a dále dokázal, že množina Rⁿ má stejnou mohutnost jako množina R. Dále ukázal, že spočetně mnoho množin R má mohutnost množiny R. V té době ještě Cantor nepoužil termín spočetnosti, ten zavedl v roce 1883.

V letech 1879 až 1884 Cantor publikoval šestidílné pojednání o teorii množin. Jednotlivé díly pojednání se postupně objevily v Mathematische Annalen, jehož nakladatel přes rostoucí opozici vůči Cantorově práci od publikování nikdy neustoupil. Vedoucím představitelem opozice byl Kronecker, který v té době ve světě matematiky značný vliv.

Kroneckerova kritika vycházela z jeho víry v konstruktivní matematiku. Přijímal pouze takové objekty, které bylo možno zkonstruovat konečným počtem kroků, podobně jako je intuitivně dána množina přirozených čísel. Když v roce 1882 Lindemann dokázal, že číslo pí je transcendentální, Kronecker prohlásil, že tento objev je neužitečný, neboť proč studovat iracionální čísla, když neexistují. Kronecker proto nikdy nemohl přijmout Cantorovy úvahy o různých nekonečnech.

Cantor přes veškerou kritiku pokračoval ve své práci. Pátá část jeho šestidílného pojednání o teorii množin se zabývala dobře uspořádanými množinami. Cantor definoval ordinální čísla a definoval násobení a sčítání transfinitních čísel, která se stala základem jeho pozdější transfinitní aritmetiky. Cantor také věnoval pozornost zdůvodnění své práce. Tvrdil, že matematika je naprosto svobodná a může do ní být zaveden libovolný pojem za předpokladů, že je vnitřně bezrozporný a že je v souladu s již dříve přijatými pojmy. Cantor citoval řadu předchozích autorů na podporu svého konceptu nekonečna, včetně Aristotela, Descartese, Berkeleyho, Leibnize a Bolzana.

V roce 1884 postihla Cantora krize. Se svým místem v Halle nebyl spokojen a chtěl se přesunout do Berlína. Jenže v Berlíně působili proti němu Schwarz a Kronecker. Cantor napsal v roce 1884 celkem 52 dopisů Mittagu-Lefflerovi a v každém z nich útočil na Kroneckera. V tomto roce Cantor prodělával duševní krizi, kdy přestával své práci věřit a začal se zabývat více filozofií než matematikou. Krize naštěstí netrvala dlouho a v roce 1885 Cantor obnovil důvěru ve svoji práci. Přestože i po roce 1884 publikoval několik významných prací, nedosáhl již svého vrcholu z let 1874 až 1884.

Poznamenejme, že v roce 1889 Peano zavedl do teorie množin symbol \in pro operaci náležení prvku. Tento symbol pochází z počátečního písmena řeckého slova "et" pro sloveso "je".

V roce 1885 Cantor pokračoval v rozšiřování své práce. Zavedl teorii kardinálních čísel a ordinálních typů. Teorie ordinálních typů byla rozšířením ordinálních čísel, které byly speciálním případem. V roce 1895 a 1897 Cantor publikoval poslední dva díly svého pojednání o teorii množin. Obsahuje základní definice teorie množin, jak ji známe dnes. Cantor mimo jiné dokázal, že jsou-li A, B dvě množiny a A je ekvivalentní podmnožině B a B je ekvivalentní podmnožině A, pak A a B jsou ekvivalentní. Tuto větu dokázal také Felix Bernstein a nezávisle E. Schröder.

Roky 1895 a 1897 jsou pro teorii množin významné ještě kvůli jinému důvodu. V roce 1897 Cesare Burali-Forti publikoval první paradox teorie množin. Některé důsledky tohoto paradoxu byly chybné, protože Burali-Forti chybně definoval dobře uspořádanou množinu. Ale i po opravě definice paradox odstraněn nebyl. Paradox spočíval v úvaze, že ordinální číslo všech ordinálů musí být ordinál, což vede ke sporu. Dosud se věřilo, že tento paradox objevil sám Cantor v roce 1885 a napsal o něm Hilbertovi v roce 1886. Je proto poněkud překvapením, že Cantor byl velmi kritický vůči článku Burali-Fortiho. V roce 1897 na Mezinárodním kongresu matematiků v Zurichu Cantorova práce získala nejvyšší ocenění.

V roce 1899 Cantor objevil další paradox týkající se množiny všech množin. Jaké je kardinální číslo množiny všech množin? Musí jistě být největším možným kardinálem, avšak kardinál množiny všech podmnožin nějaké množiny má větší kardinální číslo než tato množina samotná. V roce 1902 "zásadní" paradox teorie množin objevil Bertrand Russel (a nezávisle na něm Zermelo). Definujme množinu

A = {X : X \not\in X}

Russel se ptá: je A elementem A? Pokud je A elementem A, pak podle výše uvedené definice A nesmí být elementem A. Pokud A není elementem A, pak naopak podle výše uvedené definice A musí být elementem A. Samotná konstrukce množin tedy vede k paradoxu.

Russel napsal o tomto paradoxu Fregeovi. Frege dokončoval své rozsáhlé pojednání o základech aritmetiky a Russelův paradox do tohoto pojednání zařadil.

V té době začala mít teorie množin značný dopad na ostatní oblasti matematiky. V roce 1901 Henri León Lebesgue definoval míru množiny a v roce 1902 definoval Lebesgueův integrál. Matematická analýza potřebovala Cantorovu teorii množin a odmítala se omezit, jak požadoval Kronecker. Proto místo toho, aby byla teorie množin odmítnuta, se pozornost matematiků soustředila na odstranění jejích paradoxů.

Mohly by paradoxy pocházet z axiómu výběru? Cantor použil axióm výběru, ačkoliv se zdálo, že není nezbytný. Prvním, kdo axióm výběru použil, byl v roce 1890 Peano, který se zabýval existenčním důkazem řešení systému diferenciálních rovnic. V roce 1902 axióm výběru použil Beppo Levi. Avšak poprvé formálně zavedl axióm výběru Zermelo, který v roce 1904 dokázal, že každou množinu lze dobře uspořádat. Émile Borel pak dokázal, že axióm výběru fakticky odpovídá Zermelově větě.

Kurt Gödel v roce 1940 dokázal, že axióm výběru nelze vyvrátit jinými axiómy teorie množin a v roce 1963 Paul Cohen dokázal, že axióm výběru nezávisí na ostatních axiómech teorie množin.

Russelův paradox představoval zásadní díru v matematice. Bertrand Arthur William Russel se pokusil tuto díru odstranit. Společně s Alfredem Northem Whiteheadem napsal významnou práci "Principia Mathematica", v níž se pokusil matematiku vrátit na logické základy tím, že základy matematiky zredukoval na logiku. Ukázalo se však, že metoda, jíž se Russel chtěl vyhnout paradoxům, nemohla fungovat, protože nelze říci, zda třída může nebo nemůže být členem sama sebe.

V roce 1908 se Zermelo pokusil o první axiomatizaci teorie množin. Byl následován dalšími, jako byl Fraenkel, von Neumann, Bernays a Gödel.

V roce 1931 Kurt Gödel publikoval větu o neúplnosti v práci "Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme". Zásadním výsledkem této práce je důkaz, že v každém axiomatickém matematickém systému lze zformulovat větu, kterou v rámci tohoto axiomatického systému nelze dokázat. Nelze proto dokázat konzistenci žádného axiómu.

Tím skončily více než sto let trvající pokusy nalézt axiómy, které by popsaly celou matematiku na axiomatickém základě. Jedním z velkých pokusů bylo dílo "Principia Mathematica" Bertranda Russella a Alfreda Whiteheada z let 1910 až 1913. Dalším velmi významným pokusem byl Hilbertův formalismus, pro který měl Gödelův výsledek zásadní význam. Gödelova věta o neúplnosti nebourá základní myšlenku matematického formalismu, ale ukazuje, že každý systém lze vždy rozšířit o další axióm.
 

Kartézská geometrie, kterou zavedli Pierre de Fermat a René Descartes kolem roku 1636, měla stovky let zásadní vliv na vývoj matematiky zavedením algebraických metod do geometrie. Zhruba v polovině 19. století ale systém kartézských souřadnic přestal být uspokojivým a matematici hledali přímé metody, tedy metody syntetické geometrie, které by nezávisely na volbě souřadnic.

Pojem vektoru lze vystopovat až k počátku 19. století v práci Bernarda Bolzana. V roce 1804 Bolzano publikoval práci o základech elementární geometrie "Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie". Bolzano zde předpokládá, že body, přímky a roviny jsou nedefinované elementy a definuje na nich operace. Šlo o důležitý krok k axiomatizaci geometrie, který vedl k nezbytné abstrakci, v níž se objevil pojem lineárního prostoru.

Odklon od souřadnicové geometrie se projevil zejména v práci Ponceleta a Chaslese, kteří stáli u zrodu syntetické geometrie. Paralelní vývoj v matematické analýze probíhal od prostorů konkrétních objektů k abstraktním lineárním prostorům. Poté, co byly substituce definovány pomocí matic, začalo být zjevné, že abstraktní lineární operátory musí být definovány v abstraktních lineárních prostorech.

V roce 1827 August Ferdinand Möbius publikoval knihu o geometrii "Der barycentriche Calcul", v níž studoval různé transformace přímek. Novinkou této práce bylo zavedení barycentrických souřadnic. Pomocí tíží a, b, c umístěných ve vrcholech trojúhelníka určil bod P jako střed gravitačního pole. Möbius ukázal, že každý bod P v rovině lze určit pomocí homogenních souřadnic [a,b,c], které představují tíže umístěné v bodech A, B, C, jejichž středem je bod P. Möbius ve své práci jako první uvažoval o směrových veličinách, které lze popsat pomocí vektorů.

V roce 1837 Möbius publikoval knihu o statice, v níž použil myšlenku vektorové veličiny podél dvou určitých os.

V roce 1832 publikoval geometrickou práci Bellavitis. Tato práce také obsahuje vektorový typ veličin. Jeho základními objekty je úsečka AB, přičemž Bellavitis považoval AB a BA za dva různé objekty. Definoval, že dvě úsečky jsou "ekvipolentní", pokud jsou totožné nebo paralelní, tedy lze je popsat stejným vektorem. Bellavitis dále definoval ekvipolentní součet úseček a vytvořil tak "ekvipolentní počet", jímž v podstatě definoval vektorový prostor.

V roce 1814 Argand reprezentoval komplexní čísla jako body v rovině, které jsou uspořádanými dvojicemi reálných čísel. William Rowen Hamilton již reprezentoval komplexní čísla jako dvojrozměrný vektorový prostor, ačkoliv samozřejmě tento abstraktní termín ještě nepoužil. Svůj článek přednesl v roce 1833 v Irské akademii. Hamilton pak dalších deset let strávil tím, že se pokoušel definovat součin v trojrozměrném vektorovém prostoru. V roce 1843 publikoval svoji práci o kvaternionech, které jsou důležitým případem čtyřrozměrného vektorového prostoru. Kvaterniony ale nakonec v soutěži s vektory prohrály.

V roce 1857 Arthur Cayley zavedl pojem maticové algebry, čímž vývoj posunul dále směrem k abstraktním systémům. K dosud studovaným systémům přidal nový typ matematických struktur. V roce 1858 Cayley ukázal, že kvaterniony lze reprezentovat maticemi.

V roce 1867 Edmond Nicolas Laguerre napsal Hermiteovy dopis "Sur le calcul des systémes linéaires". Jeho "systémes linéaires" byla tabulka koeficientů soustavy lineárních rovnic, kterou označil jediným velkým písmenem a definoval sčítání, odčítání a násobení těchto lineárních systémů. Ve své práci se Laguerre pokusil sjednotit různé algebraické systémy, jako komplexní čísla a Hamiltonovy kvaterniony a o svém úmyslu napsal Galoisovi a Cauchymu.

Na Laguerreovu práci navázal v roce 1891 Carvalo. Ve svém článku definoval operátory nad vektorovými funkcemi a jasně popsal rozdíl mezi operátory a maticemi: "Abychom porozuměli rozdílu mezi pojmem operátoru a matice, postačuje říci, že pokud změníme soustavu souřadnic, získáme jinou matici reprezentující stejnou vektorovou funkci, ale stejný operátor."

Dalším matematikem, který přispěl k rozvoji geometrie bez souřadnic, byl Hermann Gunther Grassman. Jeho práce je zcela původní, ačkoliv byla motivována barycentrickými souřadnicemi, jak je definoval Möbius. Grassmanova práce "Die Ausdehnungslehre" se objevila v několika verzích. První verze byla publikována v roce 1844, ale byla velmi obtížně pochopitelná a nesetkala se proto se zájmem matematiků. Grassman proto v roce 1862 publikoval pochopitelnější práci, ke které ho inspiroval Clebsch.

Grassman studoval algebru s nespecifikovanými elementy, které byly pouze abstraktními veličinami. Uvažoval systémy prvků, na nichž definoval formální operace sčítání, skalárního násobení a násobení. Své abstraktní elementy nazýval "jednoduché veličiny" a pomocí nich vytvářel složitější veličiny užitím určitých pravidel.

Jeho práce obsahuje pravidla vektorových prostorů, avšak díky definici násobení elementů šlo o algebry, které dnes nazýváme Grassmanovy algebry. V Grassmanově práci se objevují myšlenky lineární nezávislosti, lineárně závislých množin prvků a pojem dimenze vektorového prostoru, ikdyž Grassman tento termín ještě nepoužil. V Grassmanově práci se také objevil pojem skalárního součinu.

Grassmanova verze "Die Ausdehnungsehre" z roku 1862 obsahuje rozsáhlý úvod, v němž Grassman podává přehled své teorie. Mimo jiné také obhajuje své formální metody, které v té době ještě nebyly všemi matematiky obecně přijímány. Grassmanova práce byla krokem k axiomatické teorii.

Augustin Louis Cauchy a Saint-Venant nezávisle na sobě vytvořili podobné systémy jako Grassman. Saint-Venant ve své práci z roku 1845 definoval násobení úseček podobným způsobem jako Grassman. Grassman Saint-Venantovu práci pečlivě prostudoval a zjistil, že Saint-Venant nečetl jeho práci z roku 1844. Proto zaslal dvě kopie své práce Cauchymu a požádal ho, aby jednu kopii předal Saint-Venantovi.

Jak bylo pro Cauchyho téměř typické, v roce 1853 Cauchy publikoval práci "Sur les clefs algébrique" v "Comptes Rendus", kde popsal formální symbolickou metodu, která zcela odpovídala Grassmanově metodě, aniž se o Grassmanovi ve své práci zmínil. Grassman proto požádal v roce 1854 francouzskou Akademii věd, aby přiznala jeho práci prvenství před Cauchym. Byl ustaven výbor Akademie, který ale nikdy nezveřejnil žádný závěr.

Důležitost Grassmanovy práce jako první pochopil Hankel. V roce 1867 napsal článek "Theorie der complexe Zahlensysteme", která se zabývala formálními systémy, v nichž jsou kombinace symbolů definovány abstraktně. Hankel ocenil Grassmanovu práci "Die Ausdehnungslehre", z níž vycházel.

První axiomatickou definici reálného vektorového prostoru vypracoval Peano ve své knize publikované v roce 1888 v Turíně. Peano ve své knize ocenil práce Leibnize, Möbiuse, Grassmana a Hamiltona, které ho přivedli k jeho formálnímu systému.

Peanova kniha "Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassman preceduto dalle operazioni della logica deduttiva" z roku 1888 měla zásadní význam pro další vývoj lineární algebry. Obsahuje základy počtu teorie množin a jsou v ní zavedeny dnes používané symboly pro sjednocení a průnik množin a pro označení elementu množiny. Překvapivě Peanova kniha měla řadu let jen malý význam, než byla matematiky přijata. Kniha také obsahuje téměř moderní definice lineárních prostorů a pojmů lineární algebry. Je těžké uvěřit, že Peano svoji knihu napsal v roce 1888, protože její obsah téměř odpovídá obsahu dnešních učebnic lineární algebry.

Peanova kniha obsahuje definici lineárního prostoru, nulového prvku tohoto prostoru, lineární závislosti a nezávislosti. Peano také definoval dimenzi lineárního prostoru jako maximální počet lineárně nezávislých objektů v systému. Tyto lineárně nezávislé objekty v systému tvoří bázi systému. Peano dokázal, že každý lineární prostor s konečnou dimenzí má bázi a uvedl také příklady lineárních prostorů s nekonečnou bází.

Peano také definoval lineární operátory na lineárním prostoru a ukázal, že použitím souřadnic získáme jejich matici. Definoval součet a součin lineárních operátorů.

V 90. letech 19. století Pincherle vypracoval formální teorii lineárních operátorů na lineárních prostorech nekonečné dimenze. Pincherle nevycházel z Peanovy práce, ale navázal na abstraktní teorii operátorů Leibnize a d'Alemberta. Také tato práce měla ve své době jen velmi malý dopad. Axiomatickou teorii vektorových prostorů nekonečné dimenze studoval až Stefan Banach ve 20. letech 20. století.

V roce 1904 David Hilbert a jeho žák Schmidt studovali prostory funkcí nekonečné dimenze, ale nikdy nedosáhli takové úrovně abstrakce, jaké dosáhl Peano. Schmidt v roce 1908 do teorie Hilbertových prostorů zavedl geometrické pojmy. Plně axiomatická teorie se objevila teprve ve 20. letech 20. století v Banachově doktorské disertační práci.

- pokračování -