Typografické poznámky k matematickým vztahům jsou uvedeny na konci tohoto textu.

Ve Starém zákoně v Bibli lze nalézt zmínky, například při popisu velkého chrámu krále Šalamouna postaveného kolem roku 850 př.n.l, z nichž vyplývá, že číslo p bylo odhadováno číslem 3. Egypťané a obyvatelé Mezopotámie odhadovali číslo p hodnotou 25/8 a \sqrt(10). Na obranu Šalamounových řemeslníků je třeba uvést, že při stavbě chrámu byly používány velké kvádry kamene, při jejichž usazování na místo nebyla nutná velká přesnost.

Skutečnost, že poměr délky kružnice k jejímu poloměru je konstantní, byla známa velmi dlouho. První odhady čísla p byly získány měřením, jako v případě "biblické" hodnoty 3. V egyptském papyru, který objevil A. Henry Rhind je odhad čísla p dán číslem 4.(8/9)² = 3.16.

První teoretický výpočet čísla pí pochází od Archiméda ze Syrakus (287 - 212 př.n.l.). Archimédes získal odhad

223/71 < p < 22/7

Archimédes věděl, že číslo pí není rovno 22/7 a netvrdil, že objevil přesnou hodnotu. Jeho nejlepším odhadem je 3.1418, jehož chyba je asi 0.0002.

Archimédes pro odhad čísla p použil metodu vepsaných a opsaných mnohoúhelníků kružnici s jednotkovým poloměrem. Nalezl vztahy pro odhad čísla pí pomocí obvodů těchto mnohoúhelníků a nalezl iterační vztahy mezi obvody n-úhelníků a (n+1)-úhelníků.

Je třeba si uvědomit, že Archimédes nemohl využít výhod algebraického a trigonometrického zápisu a desítkové soustavy čísel. Proto musel být výpočet velmi obtížný.

Odhady čísla p se postupně vyvíjely. Ptolemaios (asi 150 n.l.) odhadl číslo pí hodnotou 3.1416, Tsu Ch'ung Chi (430 - 501) hodnotou 355/113, al'Khwarizmi (asi 800) hodnotou 3.1416. Al'Kashi (asi 1430) vypočetl číslo p na 14 desetinných míst, Viéte (1540 - 1603) na 9 míst, Roomen (1561 - 1615) na 17 míst, Van Ceulen (asi 1600) na 35 míst.

Kromě čínského matematika Tsu Ch'ung Chi všichni použili pro své odhady Archimédovu metodu a nedošlo k žádnému teoretickému pokroku, pouze byly provedeny stále náročnější výpočty.

Al'Khwarizmi žil v Bagdádu (dnešní Irák). Jeho jméno je často nesprávně spojováno s termínem "algoritmus". Slova "al jabr" v názvu jeho knihy znamenají "algebra". Al'Kashi žil dále na východ v Samarkandu a Tsu Ch'ung Chi žil v Číně.

Evropská renesance kromě kulturního významu oživila zájem o rozvoj přírodních věd a matematiky. S tím souvisí také oživení zájmu o číslo p. Prvním, kdo se číslem p začal znovu zabývat, byl Wallis (1616 - 1703), který určil, že

2/p = (1.3.3.5.5.7. ...)/(2.2.4.4.6.6. ...)

Známý vztah

p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

je často připisován Leibnizovi (1646 - 1716), ale jako první ho zřejmě objevil James Gregory (1638 - 1675).

Oba vztahy byly pro matematiky značně překvapivé, protože pravé strany rovností mají čistě algebraický charakter, zatímco číslo p má čistě geometrický význam.

Výpočet čísla p ale tímto způsobem výrazněji nepokročil, protože v Gregoryho řadě pro výpočet čísla p na čtyři desetinná místa je nutné použít asi 10000 členů řady. Gregory ale dokázal obecnější výsledek

1/tan x = x - x³/3 + x⁵/5 - ... -1 \leq x \leq +1

S využitím rovnosti

1/tan(1/\sqrt{3}) = p/6

dostáváme řadu

p/6 = (1/\sqrt{3})[1 - 1/(3.3) + 1/(5.3.3) - 1/(7.3.3.3) + ..],

která konverguje rychleji. Pro výpočet čísla p na čtyři desetinná místa postačuje jen 9 členů.

Ještě lepší myšlenkou pro výpočet čísla p je vztah

p/4 = tan^-1(1/2) + tan^-1(1/3)

a pro výpočet tangent použít výše uvedený vztah pro 1/tan x. Rychlé konvergence je dosaženo pro každé a, b velké ve vztahu

pi/4 = tan^-1(1/a) + tan^-1(1/b)

V roce 1706 Machin nalezl vztah

p/4 = 4.tan^-1(1/5) - tan^-1(1/239}

S výše uvedenými vztahy byl výpočet čísla p jen početně náročný. Je třeba poznamenat, že se přesto našlo několik lidí, kteří neváhali strávit měsíce výpočtem čísla p touto metodou. Jedním z nich byl Angličan jménem Shanks, který použil Machinův vztah a vypočet číslo p na 707 desetinných míst. Shanks kvůli velmi kurióznímu důvodu získal nesmrtelnost.

Shanks věděl, že číslo p je iracionální, jak dokázal roku 1761 Lambert. Krátce poté, co Shanks dokončil své výpočty, bylo dokázáno, že číslo p je transcendentální, tedy není řešením žádné rovnice s celými koeficienty. Tímto způsobem Lindemann dokázal nemožnost "kvadratury kruhu".

Krátce po Shanksově výpočtu použil na získaný výsledek statistické metody De Morgan. Protože číslo p je iracionální, nemá žádný periodický rozvoj a každá cifra by se měla vyskytovat s jistou pravděpodobností. De Morgan ukázal, že v Shanksově rozvoji je podezřele málo cifer 7. Svůj výsledek uveřejnil v roce 1872 v práci "Budget of Paradoxes". Teprve v roce 1945 Ferguson zjistil, že Shanks se dopustil na 528. místě chyby a proto všechny ostatní cifry za ním jsou chybné. V roce 1949 byl použit počítač pro výpočet čísla pí na 2000 desetinných míst. Tento výsledek prošel všemi statistickými testy náhodnosti a počet cifer 7 se nelišil od předpokladu.

Symbol čísla p se objevil poprvé v práci Oughtreda, který symbolem d/p označil poměr průměru a délky kružnice. David Gregory v roce 1697 použil symbol p/r pro poměr délky kružnice a jejího poloměru. Poprvé ale samotný symbol pro číslo p použil William Jones v roce 1706. Leonhard Euler tento symbol převzal do své práce v roce 1737 a od té doby se stal standardním označením.

Poměrně kuriózním způsobem výpočtem čísla p je statistická metoda typu Monte Carlo, kterou vypracoval Buffon. Předpokládáme síť rovnoběžných přímek v jednotkové vzdálenosti. Pokud házíme jehlu délky k < 1 na tuto síť, pak pravděpodobnost, že jehla protne některou přímku, je 2k/p. Různí lidé se pokoušeli vypočítat číslo p tímto způsobem. Nejúspěšnější byl Lazzerini v roce 1901, který provedl 34080 hodů a určil hodnotu čísla p

p = 355/113 = 3.1415929 ,

která je náhodou shodná s hodnotou, jíž vypočetl Tsu Ch'ung Chi. Tento výsledek je podezřele dobrý a pokus byl přerušen při podivném počtu hodů. Kendall a Moran tento výsledek komentovali tak, že pokus byl přerušen v optimálním okamžiku.

Dnes je neuvěřitelné, že definice čísla p byla v Německu v roce 1934 zneužita k rasovému útoku na významného matematika Edmunda Landaua. Landau ve své učebnici publikované v Göttingenu definoval číslo p dnes běžnou metodou, že číslo p/2 je hodnota mezi čísly 1 a 2, pro niž funkce cosinus nabývá hodnoty nula. Překvapivě se tato definice stala záminkou pro akademickou debatu, jejímž konečným důsledkem bylo odvolání Landaua z místa v Göttingenu. Příčina tkvěla v tom, že Landau používal neněmecké metody výuky a výzkumu, které byly neslučitelné s nacistickou ideologií. Nacisté odmítali názor, že by rasově neárijští lidé mohli být autory významných myšlenek. Proto musel učitel, který zastával jiné názory, své místo opustit.

Číslo p nebylo jen problémem nacistického Německa. Ve Spojených státech amerických v roce 1897 vyvolala hodnota čísla p vášnivou politickou debatu, když ve sněmovně reprezentantů státu Indiana byl odhlasován popis nové bankovky, ve němž se tvrdilo, že kruhová oblast má plochu rovnou délce strany čtverce.

Často se tvrdí, že Babylóňané (asi 400 let př.n.l) byli prvními, kdo uměl řešit kvadratické rovnice. Jde ovšem o jisté zjednodušení, protože Babylóňané rovnice neznali. Vyvinuli však algoritmus pro řešení problémů, které v dnešní terminologii vedou ke kvadratické rovnici. Všechny babylónské problémy měly kladné řešení.

Kolem roku 300 př.n.l. Euklides vyvinul geometrickou metodu, pomocí níž bylo možno určit kořeny kvadratické rovnice. Euklides ale nepoužíval termín rovnice, koeficienty a jeho práce měla čistě geometrický charakter.

Hindští matematikové převzali babylónské metody a Brahmagupta (598 - 665) metodu řešení kvadratických problémů rozšířil na záporná řešení. Použil svoji zkratku pro neznámou, obvykle první písmeno barevně odlišené a často se v jeho problémech vyskytovalo hned několik neznámých současně.

Arabové nevěděli o hindských metodách a záporných řešeních. Ale al'Khwarizmi (asi 800) sestavil klasifikaci různých typů kvadratických rovnic. V žádném typu se ale nevyskytují záporné hodnoty nebo nula. Jeho práce obsahuje šest kapitol věnovaných různým rovnicím a al'Khwarizmi používal termíny jako "kořeny", "čtverce kořenů" a "čísla", tj. výrazy x, x² a čísla.

Al'Khwarizmi ve své práci uvedl pravidla pro řešení každého svého typu kvadratických rovnic a vždy uvedl numerický příklad.

Abraham bar Hiyya Ha-Nasi, většinou uváděný pod latinským jménem Savasorda, napsal v roce 1145 knihu "Liber embadorum", která byla první prací v Evropě zabývající se úplným řešením kvadratických rovnic.

Nové období matematiky začalo v Itálii kolem roku 1500. V roce 1494 Luca Pacioli publikoval první vydání své práce "Summa de arithmetica, geometrica, proportini et proportionalita". Na jeho práci je důležitý moderní zápis matematických vztahů, např. 6.p.R.10 označovalo 6 + \sqrt{10}.

Pacioli se nezabýval kubickými rovnicemi, ale zabýval se rovnicemi bikvadratickými. Zjistil, že rovnici x⁴ = a + bx² lze řešit kvadratickou metodou, ale rovnice x⁴ + ax² = b nebo x⁴ + a = bx² nebyl schopen vyřešit.

Scipione dal Ferro (1465 - 1526) zastával místo na katedře aritmetiky a geometrie Univerzity v Boloni a s Paciolim se musel setkat v letech 1501 až 1502, kdy zde Pacioli přednášel. Dal Ferro se zabýval algebraickým řešením kubických rovnic. Cílem bylo nalézt kořeny kubické rovnice kombinací koeficientů. Lze se oprávněně domnívat, že dal Ferro byl schopen řešit pouze rovnici tvaru x³ + mx = n.

Bez hindské znalosti záporných čísel ale dal Ferro nebyl schopen najít řešení libovolného typu kubické rovnice. Dal Ferro řešení kubické rovnice objevil v roce 1515, ale utajoval ho. Těsně před svou smrtí v roce 1526 svoji metodu předal svému studentovi Antoniovi Fiorovi.

Fior byl průměrným matematikem a ještě méně byl schopen uchovávat tajemství. Brzy po Boloni prosakovala zpráva, že bylo objeveno řešení kubické rovnice. Nicolo z Brescii, známý pod jménem Tartaglia, učinil pověstem konec, když se mu podařilo nalézt řešení kubické rovnice tvaru x³ + mx² = n.

Fior vyzval Tartagliu k veřejné soutěži. Pravidla soutěže stanovila, že jeden druhému zadá 30 problémů s 40 nebo 50 dny na jejich vyřešení. Vítězem soutěže se stane ten, kdo vyřeší více problémů. Tartaglia vyřešil každý Fiorův problém vždy během dvou hodin. Fior proto zadal Tartagliovi rovnici tvaru x³ + mx = n, protože věřil, že Tartaglia tuto rovnici nevyřeší. Ale jen 8 dní před uplynutím doby k vyřešení Tartaglia nalezl obecnou metodu pro řešení všech kubických rovnic.

Zprávy o Tartagliově vítězstí dorazily k Girolamo Cardanovi v Miláně, kde Cardano připravoval k vydání svoji práci "Practica Arithmeticae". Cardan pozval Tartagliu, aby na něm vyzvěděl tajemství řešení kubické rovnice. Tartaglia požadoval, aby Cardan zachoval tajemství do doby, než on sám bude řešení publikovat. Cardan ale slib porušil. V roce 1545 publikoval práci "Ars Magna", první latinské pojednání o algebře.

Cardanovo řešení rovnice x³ + mx = n bylo následující. Cardan vyšel ze vztahu

(a - b)³ + 3ab(a - b) = a³ - b³

Pokud a, b splňují vztahy

3ab = m a³ - b³ = n

pak (a - b) je řešením rovnice x³ + mx = n. Ale nyní je

b = m/3a, a³ - m³/27a³ = n,

tj.

a⁶ - na³ - m³/27 = 0.

Poslední vztah je kvadratickou rovnicí proměnné a³, takže se řeší jako běžná kvadratická rovnice.

Cardan ale zjistil, že určité rovnice mají podivné řešení. Když řešil rovnici

x³ = 15x + 4 ,

získal výraz obsahující hodnotu \sqrt(-121). Cardan věděl, že odmocnina ze záporného čísla neexistuje a také věděl, že řešením uvedené rovnice je x = 4. Proto 4. srpna 1539 napsal Tartagliovi ve snaze nalézt nějaké řešení problému. Tartaglia ale problém zřejmě nepochopil. Ve své práci "Ars Magna" Cardan publikoval řešení obdobných kubických rovnic ve tvaru komplexních čísel, ale pochyboval o tom, že takový výsledek má nějaký smysl.

Poté co Tartaglia vysvětlil Cardanovi, jak řešit kubické rovnice, Cardan zadal svému studentovi Lodovicovi Ferrarimu, aby se pokusil nalézt řešení bikvadratických rovnic. Ferrari objevil řešení bikvadratických rovnic snad v nejelegantnější formě ze všech metod řešení obdobných typů problémů. Cardan publikoval ve svém díle "Ars Magna" všech 20 případů řešení bikvadratických rovnic.

Ireducibilní případy kubických rovnic (rovnic, které nelze vyjádřit pomocí kořenových činitelů), zejména případy, které vedly k odmocninám ze záporných čísel, studoval Rafael Bombelli ve své práci "Algebra" z roku 1572.

Cardanova práce "Ars Magna" inspirovala řadu matematiků, aby se zabývali řešením kubických a bikvadratických rovnic. Své metody řešení odvodili Viéte, Harriot, Tschirnhaus, Euler, Bezaut a Descartes. Tschirnhausovy metody rozšířil švédský matematik E.S. Bring koncem 18. století.

Thomas Harriot přispěl několika výsledky. Jedním z dnes zřejmých výsledků bylo zjištění, že pokud x = b, x = c, x = d jsou řešení kubické rovnice, pak tato kubická rovnice má tvar

(x - b)(x - c)(x - d) = 0

Harriot také odvodil zajímavou metodu pro řešení kubických rovnic. Uvažujme kubickou rovnici

x³ + 3b².x = 2c³

Položme x = (e² - b²)/e. Pak

e⁶ - 2c³.e³} = b⁶ ,

což je kvadratická rovnice v proměnné e³. Jejím řešením je

e³ = c³ + \sqrt{b⁶ + c⁶} .

Avšak platí:

e³(e³ - 2c³) = b⁶,

tj.

b⁶/e³ = -c³ + \sqrt{b⁶ + c⁶}.

Nyní je x = e - b²/e a jak e, tak b²/e jsou druhé mocniny kořenů výrazů uvedených výše.

Leibniz ve svém dopise Huygensovi v březnu 1673 provedl první přímé ověření platnosti Cardanova-Tartagliova vztahu. Leibniz původní rovnici zkonstruoval součinem kořenových činitelů, jak provedl Harriot pro kubickou rovnici.

Hlavní myšlenky matematické analýzy se vyvíjely po velmi dlouhé období počínaje matematiky starověkého Řecka. Pro řecké matematiky byla čísla nejvýše poměrem celých čísel, takže jejich číselná osa obsahovala zásadní nedostatky. Řekové tyto nedostatky obcházeli použitím délek, obsahů a objemů, které přidávali ke známým číslům.

Kolem roku 450 př.n.l. Zenon z Eley sestavil řadu problémů založených na pojmu nekonečna. Zřejmě nejznámějším z nich je Achilles a želva, v němž dokazuje, že pohyb není možný [N1].

Leucippus, Demokritos a Antiphon přispěli k rozvoji tzv. "metody výplní", kterou na vědecký základ postavil kolem roku 370 př.n.l. Eudoxus. Tato metoda svůj název získala od způsobu měření obsahů povrchů ve starověkém Řecku, kdy se určitá snadno změřitelná oblast neustále rozšiřovala, až vyplnila požadovanou oblast.

Nejvýznamněji ale k počátkům matematické analýzy přispěl kolem roku 225 př.n.l. Archimédes. Archimédes zjistil, že obsah části paraboly odpovídá 4/3 obsahu trojúhelníku se stejnou základnou a výškou. Archimédes sestrojil nekonečnou posloupnost trojúhelníků počínaje trojúhelníkem o obsahu A a dalšími menšími trojúhelníky vyplňujícími postupně oblast, která byla vymezena parabolou. Dostal nekonečnou posloupnost obsahů

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ....

Obsah části paraboly je proto roven

A[1 + 1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + ...] = (4/3)A .

Tento výsledek je prvním známým příkladem součtu nekonečné řady.

Archimédes se také pokusil použít metodu výplní na výpočet obsahu kruhu. Můžeme říci, že šlo o první příklad integrace, který vedl k určení přibližné hodnoty čísla pí.

Archimédes metodou výplní určil objem a povrch koule, objem a povrch kužele, povrch elipsy, objem části paraboloidu a hyperboloidu.

K dalšímu vývoji matematické analýzy došlo až v 16. století, kdy mechanika přivedla matematiky k řešení problémů, jako bylo ohnisko gravitace. Luca Valerio (1552 - 1618) publikoval v roce 1606 v Římě práci "De quadratura parabolae", v níž využil řeckou metodu výpočtu obsahů a objemů v dalších oblastech problémů. Johannes Kepler ve své práci o pohybu planet vypočetl obsah částí elipsy. Svoji metodu založil na představě plochy jako součtu úseček, která v podstatě byla metodou integrace. Kepler ale neměl čas se problémem výpočtu zabývat s řeckou přesností a byl rád, že získal správné výsledky poté, co odstranil ve své práci dvě chyby.

K dalšímu rozvoji matematické analýzy přispěli Fermat, Roberval a Cavalieri. Cavalieri na základě Keplerovy metody integrace vypracoval svoji vlastní metodu, ale nepopsal ji příliš přesně. Použitím této své metody Cavalieri ukázal, že

\int_{0}^{a}xⁿ dx = \frac{aⁿ⁺¹}{n+1}

Roberval se zabýval problémy stejného typu jako Cavalieri, ale mnohem přesněji. Zkoumal oblasti omezené křivkou a přímkou a jejich obsah počítal pomocí součtu nekonečně mnoha nekonečně se zmenšujících pravoúhlých proužků. Roberval svoji metodu použil na výpočet integrálu

\int_{0}^{1} xⁿ dx

a nalezl přibližnou hodnotu

[0^m + 1^m + 2^m + ... + (n-1)^m]/n^{m+1}

Roberval dále ukázal, že pokud n roste nade všechny meze, uvedený výraz se blíží k 1/(m+1).

Fermat byl také ve svých úvahách přesný, ale neuvedl žádné důkazy. Zobecnil pojem paraboly a hyperboly. Parabolu

y/a = (x/b)²

zobecnil na

(y/a)ⁿ = (x/b)^m

a hyperbolu

y/a = b/x

zobecnil na

(y/a)ⁿ = (b/x)^m .

Při studiu y/a = (x/b)^p Fermat vypočetl součet r^p od r=1 do r=n.

Pierre Fermat také studoval maxima a minima. Zjistil, že funkce dosahuje svého maxima nebo minima, když je tečna křivky této funkce rovnoběžná s osou x. Svoji metodu popsal Descartovi tak, jak ji chápeme dnes: lokální maximum nebo minimum funkce se nachází v bodech, kde je derivace funkce rovna nule. Lagrange proto považoval Fermata za zakladatele matematické analýzy.

René Descartes ve své práci "La Géometrie" z roku 1637 publikoval důležitou metodu určování normál, která vycházela z dvojnásobného protnutí. De Beaune jeho metodu rozšířil a použil ji na tečny, kde dvojnásobné protnutí převedl na dvojnásobný kořen. Hudde objevil jednodušší metodu známou pod názvem Huddeovo pravidlo, která vychází z derivací funkce. Descartova metoda a Huddeovo pravidlo ovlivnily práci Isaaca Newtona.

Christian Huygens kritizoval Cavalieriho za jeho nepřesné důkazy. Huygens významně ovlivnil Wilhelma Leibnize a tak sehrál významnou roli při vzniku přesnějších metod matematické analýzy.

Další významné kroky učinili Torricelli a Barrow. Barrow vypracoval metodu určování tečny ke křivce pomocí limity sečen. Torricelli a Barrow se zabývali problémem pohybu těles proměnnou rychlostí. Derivace vzdálenosti podle času je rychlost a opačná operace umožňuje z rychlosti určit vzdálenost. Barrow již věděl, že derivace a integrace jsou vůči sobě opačné operace, ale nikdy toto zásadní tvrzení explicitně nevyjádřil. K tomu dospěl až Isaac Newton.

V Torricelliho práci pokračovali Italové Mengoli a Angeli.

V říjnu 1666 Isaac Newton dokončil traktát o fluxionech, ale hned ji nepublikoval. Přesto ovlivnila řadu matematiků, kteří měli možnost se s ní seznámit. Newton se zabýval pohybem částice podél křivky se dvěma pohybujícími se přímkami, které představovaly souřadnice. Horizontální rychlost x' a vertikální rychlost y' byly fluxiony souřadnic x, y, které souvisely s tokem (anglicky flux) času. Podíl fluxionů y'/x' představoval tečnu ke křivce funkce f(x,y) = 0.

Ve svém traktátu se Newton zabýval také problémem, jak k danému vztahu mezi x a y'/x' nalézt y. Objevil tak vztah y'/x' = f(x) a vyřešil problém antidiferenciace (dnes bychom řekli integrace). Poprvé vyslovil fundamentální větu matematické analýzy o vztahu derivace a integrálu.

Newton měl s publikováním své matematické práce problémy. Příčinou byl Barrow, jehož vydavatel zkrachoval, a ostatní vydavatelé knih proto odmítali publikovat matematické práce. Newton svoji práci "O analýze nekonečných řad" napsal již v roce 1669, ale publikována byla až v roce 1711. Podobně práce "Metoda fluxionů a nekonečných řad" byla dokončena v roce 1671, ale v anglickém jazyce byla publikována až v roce 1736.

V těchto dvou pracích Newton určil rozvoje funkcí sinus a cosinus v nekonečné řady a také rozvoj exponenciální funkce, ačkoliv tuto funkci zavedl později až Euler. Tyto rozvoje se dnes označují jako Taylorovy a Maclaurinovy řady.

Další Newtonovou prací byl traktát "Tractatus de Quadratura Curvarum", kterou napsal v roce 1693, ale publikována byla až v roce 1704 jako dodatek k jeho dílu "Optika". Tato práce zavádí důležitý pojem limity funkce. Newton ukázal, že pokud se x změní v x+o, pak xⁿ se změní v nekonečnou řadu

\sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) x^n-k o^k

Při svých cestách po Evropě se Leibniz v roce 1672 setkal v Paříži s Huygensem. V roce 1673 se setkal v Londýně s Hookem a Boylem. V Londýně Leibniz zakoupil několik knih včetně prací Barrowa. Po návratu do Paříže Wilhelm Leibniz vypracoval velmi podrobnou práci o matematické analýze na jiném základě než Newton.

Newton uvažoval proměnné měnící se s časem. Leibniz proměnné x, y chápal jako rozsahy posloupností nekonečně blízkých hodnot. Leibniz věděl, že podíl diferenciálů dy/dx je tečnou funkce, ale tuto vlastnost nevyužil.

Pro Newtona integrace souvisela s jeho fluxiony, protože integrace a derivace jsou k sobě opačné operace. Leibniz ale integraci chápal jako součet přírůstků, podobně jak navrhoval Cavalieri. Používal také "nekonečně malé" přírůstky dx a dy tam, kde Newton používal x' a y' jako konečné rychlosti. Samozřejmě ani Leibniz ani Newton neznali pojem funkce, ale uvažovali již jejich grafy. Newton považoval infinitezimální počet spíše za geometrii, zatímco Leibniz spíše za matematickou analýzu.

Wihelm Leibniz má zásluhu především na dodnes používaném zápisu integrálů. Leibniz zavedl symbol integrálu a v roce 1675 použil zápis

\int y dy = y²/2

Leibnizovy výsledky z integrálního počtu byly publikovány v letech 1684 a 1686 pod názvem "calculus summatorius". Termín "integrální počet" zavedl v roce 1690 Jacob Bernoulli.

Na práce Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibnize navázali Jacob Bernoulli a Johann Bernoulli. V roce 1734 Berkeley ve své práci "Analyst" kritizoval nepřesnost infinitezimálního počtu a zabýval se logikou, na níž by měl být postaven. Maclaurin se proto pokusil infinitezimální počet rigorózně definovat na geometrickém základě, ale uspokojivé rigorózní základy položil až v 19. století Cauchy.

Prvočísla a jejich vlastnosti byly studovány již matematiky starověkého Řecka.

Řečtí matematici pythagorejské školy (asi 500 př.n.l. až 300 př.n.l.) se zajímali o čísla kvůli jejich numerologickým a mystickým vlastnostem. Věděli, co jsou to prvočísla a zajímali se o perfektní čísla.

Perfektní číslo je takové, že součet jeho vlastní dělitelů je roven tomuto číslu. Číslo 6 má vlastní dělitele 1, 2 a 3, přičemž 1 + 2 + 3 = 6. Číslo 28 má dělitele 1, 2, 4, 7 a 14, přičemž součet těchto čísel dává 28.

V Euklidových Elementech napsaných kolem roku 300 př.n.l. je již uvedeno a dokázáno několik důležitých výsledků o prvočíslech. V knize IX. Euklides dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho. Jde o první známý důkaz sporem. Euklides také dokázal Základní větu aritmetiky, podle níž každé celé číslo lze zapsat jediným způsobem jako součin prvočísel.

Euklides také dokázal, že číslo 2ⁿ - 1 je prvočíslo, pokud číslo 2^n-1.(2ⁿ-1) je perfektní číslo. V roce 1747 Leonhard Euler dokázal, že všechna sudá perfektní čísla mají tuto vlastnost. Dosud není dokázáno, zda existují nějaká lichá perfektní čísla.

Kolem roku 200 př.n.l. řecký matematik Eratosthenes odvodil algoritmus pro výpočet prvočísel, známý dnes jako Eratosthenovo síto.

Poté nastala velmi dlouhá mezera v historii prvočísel, neboť pro matematiku stejně jako pro všechny vědy, kulturu a umění nastala doba temna.

Prvočísly se začal zabývat až počátkem 17. století Pierre Fermat. Dokázal domněnku Alberta Girarda, že každé prvočíslo tvaru 4n+1 lze zapsat jediným způsobem jako součet dvou druhých mocnin a také ukázal, zda lze nějaké číslo zapsat jako součet čtyř druhých mocnin.

Fermat dále odvodil novou metodu pro rozklad čísla na jeho prvočinitele, což prokázal rozkladem 2027651281 = 44021 x 46061.

Pierre Fermat také dokázal tzv. Fermatovu malou větu. Tato věta tvrdí, že pokud je p prvočíslo, pak existuje celé číslo x takové, že x^p = x mod p. Tento důkaz je jednou polovinou tzv. Čínské hypotézy, která vznikla asi o 2000 let dříve a tvrdila, že celé číslo n je prvočíslem tehdy a jen tehdy když číslo 2ⁿ-2 je dělitelné číslem n. Druhá část tohoto tvrzení je nesprávná, neboť například 2³⁴¹-2 je dělitelé číslem 341 = 31 x 11. Fermatova malá věta se stala základem řady dalších výsledků teorie čísel a využívá se také v počítačových metodách určování, zda dané číslo je prvočíslem.

Fermat si dopisoval s jinými matematiky. Jedním z nich byl také mnich Marin Mersenne. V jednom ze svých dopisů Mersennovi Fermat vyslovil domněnku, že číslo tvaru 2ⁿ + 1 je prvočíslem, pokud číslo n je mocninou 2. Tuto domněnku ověřil pro n = 1, 2, 4, 8, 16. Dále ověřil, že pokud n nebylo mocninou 2, číslo 2ⁿ + 1 nebylo prvočíslem. Čísla tohoto tvaru se nazývají Fermatova čísla. Více než sto let Fermatova domněnka nebyla ověřena. Teprve Leonhard Euler dokázal, že 2³² + 1 = 4294967297, které je dělitelné číslem 641 a není tedy prvočíslem.

Také čísla tvaru 2ⁿ - 1 přitahovala pozornost. Pokud číslo n není prvočíslem, pak číslo 2ⁿ + 1 musí být dělitelné. Tato čísla se často označují jako Mersennova čísla M_n, protože také Marin Mersenne se jejich studiem zabýval.

Nikoliv všechna čísla tvaru 2ⁿ + 1, kde n je prvočíslo, jsou prvočísla. Například 2¹¹ + 1 = 2047 = 23.89. Řadu let čísla tohoto tvaru umožnila vypočítat největší známá čísla. V roce 1588 Cataldi dokázal, že Mersennovo číslo M₁₉ je prvočíslem. Asi 200 let bylo toto prvočíslo největším známým, až do okamžiku, kdy Euler dokázal, že také M₃₁ je prvočíslo. Později Lucas ukázal, že také M₁₂₇ je prvočíslo.

V roce 1952 Robinson pomocí jednoho z prvních elektronických počítačů dokázal, že Mersennova čísla M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ a M₂₂₈₁ jsou prvočísla.

V roce 1998 bylo dokázáno, že celkem 37 Mersennových čísel jsou prvočísla. Dosud největším prvočíslem je Mersennovo číslo M_3021377, které má 909526 dekadických číslic.

Eulerova práce měla značný dopad na celou teorii čísel. Mimo jiné rozšířil Fermatovu malou větu zavedením Eulerovy fí-funkce. Euler byl prvním, kdo začal studovat teorii čísel pomocí nástrojů analýzy a tím založil analytickou teorii čísel. Euler nejen dokázal, že harmonická řada

\sum_{n=0}^{\infty} 1/n

je divergentní. Dále dokázal, že řada

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... ,

která je nekonečným součtem převrácených hodnot prvočísel, je také divergentní. Součet n členů harmonické řady roste zhruba jako log n, kdežto součet n členů řady převrácených hodnot prvočísel roste zhruba jako log (log n)).

Na první pohled je rozložení prvočísel mezi všemi celými čísly náhodné. Například mezi 100 čísly, která bezprostředně následují za číslem 10⁷, je 9 prvočísel, zatímco mezi dalšími 100 čísly jsou jen 2 prvočísla.

Avšak ve velkém měřítku jsou prvočísla rozložena velmi rovnoměrně. Legendre a Gauss jako první provedli výpočet hustoty prvočísel. Odhadli, že pro velké n hustota prvočísel je asi 1/log n. Legendre odhadl počet prvočísel p(n) menších nebo rovno číslu n

p(n) = n/(log n - 1,08366) ,

zatímco Johann Carl Friedrich Gauss došel k odhadu

p(n) = \int_{2}^{n} \frac{1}{log t}dt

Tvrzení, že hustota prvočísel je 1/log n, se nazývá věta o prvočíslech. Během 19. století se pokusili tuto větu dokázat Čebyšev a Bernhard Riemann, který tento problém dal do souvislosti s Riemannovou hypotézou. Riemannova hypotéza souvisí s nulovými body Riemannovy zeta-funkce v komplexní rovině. V roce 1896 tuto hypotézu dokázal Hadamard a de la Vallée Poussin s použitím složitých metod komplexní analýzy.

V teorii čísel dodnes existuje řada nevyřešených problémů.

• 1. Domněnka dvojic prvočísel tvrdí, že existuje nekonečně mnoho dvojic prvočísel vzdálených od sebe o číslo 2.
• 2. Goldbachova domněnka (z dopisu C. Goldbacha Eulerovi v roce 1742) tvrdí, že každé celé číslo větší než 2 lze zapsat jako součet dvou prvočísel.
• 3. Existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru n² + 1?
• 4. Existuje vždy prvočíslo mezi čísly n² a (n + 1)²? Bertrandovu domněnku, že mezi čísly n a 2n existuje prvočíslo, dokázal Čebyšev.
• 5. Existuje nekonečně mnoho Fermatových čísel, která jsou také prvočísly?
• 6. Existuje nekonečně dlouhá aritmetická posloupnost prvočísel? Příkladem takové aritmetické posloupnosti prvočísel je 251, 257, 263, 269, která má délku 4. Zatím nejdelší aritmetická posloupnost má délku 7.
• 7. Existuje nekonečně mnoho množin tří po sobě jdoucích prvočísel v aritmetické posloupnosti?
• 8. Číslo n² - n + 41 je prvočíslo pro 0 \leq n \leq 40. Existuje nekonečně mnoho prvočísel tohoto tvaru?
• 9. Existuje nekonečně mnoho čísel tvaru n# + 1, kde n# je součin všech prvočísel menších nebo rovných n?
• 10. Existuje nekonečně mnoho čísel tvaru n# - 1?
• 11. Existuje nekonečně mnoho čísel tvaru n! + 1?
• 12. Existuje nekonečně mnoho čísel tvaru n! - 1?
• 13. Je-li p prvočíslo, je 2^p - 1 nedělitelné druhou mocninou prvočísla?
• 14. Obsahuje Fibonacciho posloupnost nekonečně mnoho prvočísel?

Dosud největší dvojice prvočísel je 242206083.2³⁸⁸⁸⁰ +/- 1. Tato čísla mají 11713 cifer a byla nalezena Indlekoferem a Ja'raiem v listopadu 1995.

Největší známé faktoriální prvočíslo tvaru n! + 1 nebo n! - 1, je 3610! - 1. Toto číslo má 11277 cifer a bylo objeveno Caldwellem v roce 1993.

Pierre Fermat zemřel v roce 1665. Dnes Fermata považujeme za zřejmě nevětšího odborníka na teorii čísel, který kdy žil. Můžeme proto být překvapeni, že Fermat byl právníkem a pouze amatérským matematikem. Překvapující je také skutečnost, že za svého života publikoval pouze jediný matematický článek, a to ještě anonymně v dodatku knihy svého kolegy.

Protože Fermat nechtěl publikovat své práce, jeho přátelé se obávali, že bude brzy zapomenut. Jeho syn Samuel shromáždil Fermatovy dopisy, matematické práce a jeho poznámky napsané v knihách. Tímto způsobem byla objevena Fermatova poslední věta. Tuto větu objevil Samuel jako poznámku v otcově kopii Diophantovy knihy "Arithmetica".

Fermatova poslední věta tvrdí, že

xⁿ + yⁿ = zⁿ

má pro n větší nebo rovno 2 nenulové řešení pro celá x, y, z. Fermat ve své poznámce na okraji knihy napsal, že objevil důkaz, ale že je příliš dlouhý, než aby se na okraj vešel. Fermat zřejmě zjistil, že jeho důkaz je chybný a proto ho nikdy nepublikoval.

Po Fermatovi se zachoval pouze jediný důkaz. Fermat dokázal, že neexistují celá x, y, z taková, že x² + y² = z² a xy/2 je druhou mocninou.

Leonhard Euler ve svém dopise Goldbachovi 4. srpna 1753 tvrdil, že dokázal Fermatovu větu pro n = 3. Ale jeho důkaz v práci "Algebra" z roku 1770 obsahuje zásadní chybu takového charakteru, že Euler nemohl nikdy dospět ke správnému důkazu.

Další významný krok udělala Sophie Germain. Pokud n a 2n + 1 jsou prvočísla, pak z xⁿ + yⁿ = zⁿ plyne, že jedno z čísel x, y, z je dělitelné číslem n. Proto se Fermatova poslední věta rozpadá do dvou případů:

1. Žádné z čísel x, y, z není dělitelné číslem n.
2. Pouze jediné z čísel x, y, z je dělitelné číslem n.

Sophie Germain dokázala první případ Fermatovy poslední věty pro všechna n menší než 100. Legendre dokázal tento případ pro všechna n menší než 197. Druhý případ nebyl v té době dokázán ani pro n = 5 a bylo proto jasné, že právě na tento případ se musí soustředit pozornost. Druhý případ se pro n = 5 rozpadá na dva další případy. Jedno z čísel x, y, z je sudé a jedno je dělitelné číslem 5.

Případ 2.1. je ten, že číslo dělitelné pěti je současně sudé.
Případ 2.2. je ten, že sudé číslo a číslo dělitelné pěti jsou různá.

Případ 2.1. dokázal Dirichlet a důkaz publikoval v Pařížské akademii v červenci 1825. Legendre brzy poté dokázal případ 2.2. a kompletní důkaz pro n = 5 byl publikován v září 1825.

V roce 1832 Dirichlet publikoval důkaz Fermatovy poslední věty pro n = 14. Samozřejmě se pokusil nalézt důkaz pro n = 7, ale dokázal jen slabší případ. Případ n = 7 dokázal až Lamé v roce 1839. Ukázal také, proč Dirichlet měl takové problémy, přestože důkaz pro n = 14 je podobný, ale výpočetně mnohem těžší. Lamé použil při důkazu zcela nové metody. Jeho důkaz je neobvykle složitý a ukázal, že důkaz Fermatovy poslední věty bude vyžadovat zcela nové myšlenkové postupy.

Rok 1847 se stal přelomem ve studiu Fermatovy poslední věty. 1. března 1847 Lamé oznámil v Pařížské akademii, že Fermatovu poslední větu kompletně dokázal. Ve svém důkazu použil rozklad výrazu xⁿ + yⁿ = zⁿ na lineární faktory pomocí komplexních čísel. Lamé uvedl, že na tuto myšlenku ho přivedl Liouville. Ale Liouville na zasedání Akademie po Lamého vystoupení uvedl, že řešení problému vyžaduje jednoznačnost faktorizace na prvočísla, a že pochybuje o její správnosti. Cauchy sice Lamého podporoval, ale v říjnu 1847 na zasedání Akademie sám oznámil, že má vlastní myšlenku na řešení Fermatovy poslední věty.

Mnoho práce bylo vykonáno v následujících týdnech ve snaze dokázat jednoznačnost faktorizace. Wantzel již 15. března tvrdil, že důkaz nalezl, ale jeho argument platil pouze pro n = 2, 3, 4 a pro n > 4 byl pouze nadějí.

24. května 1847 Liouville přečetl v Akademii dopis zaslaný Kummerem, který obsahoval práci z roku 1844, v níž je dokázáno, že jedinečnost faktorizace nelze dokázat, ale problém lze řešit zavedením ideálních komplexních čísel. K tomu došlo v roce 1856. Kummer použil svoji novou teorii pro nalezení podmínek, za nichž jsou prvočísla regulární a pro tato regulární prvočísla Fermatovu poslední větu dokázal. Kummer také tvrdil, že číslo 37 tyto podmínky nesplňuje.

V září 1847 Kummer zaslal Dirichletovi a Berlínské akademii článek, v němž dokazoval, že prvočíslo p je regulární, pokud p není dělitelem čitatelů některého z Bernoulliho čísel B₂, B₄, B_p-3. Bernoulliho čísla, která zavedl Jacob Bernoulli, jsou definována vztahem

\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n/n!

Kummer ukázal, že všechna prvočísla až do čísla 37 jsou regulární. Číslo 37 není regulární, protože je dělitelem čísla B₃₂.

Z prvočísel menších než 100 není regulární prvočíslo 37, 59 a 67. Pro tato čísla byly při důkazech Fermatovy poslední věty použity mocnější metody. V této práci pro velká čísla pokračovali Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwangler, Vandiver a další. Ačkoliv se předpokládalo, že počet neregulárních prvočísel je roven nekonečnu, důkaz provedl až v roce 1915 Jensen.

Přestože na vyřešení Fermatovy poslední věty byly vypsány velké odměny, nikdo problém nevyřešil. Jen v letech 1908 až 1912 se objevilo více než 1000 chybných důkazů. Jediným pokrokem bylo použití počítačů po 2. světové válce. Použitím Kummerovy práce byla Fermatova poslední věta v roce 1993 dokázána pro n menší než 4.10⁶.

V roce 1983 významného pokroku dosáhl Gerd Faltings, který dokázal, že pro každé n > 2 existuje nejvýše konečný počet nesoudělných celých čísel x, y, z, pro něž platí xⁿ + yⁿ = zⁿ. Šlo sice o významný krok vpřed, ale důkaz, že tento konečný počet je ve všech případech nula, asi nebyl tím, co Faltings očekával.

Poslední kapitola důkazu Fermatovy poslední věty se začala psát v roce 1955, ačkoliv na počátku nikdo netušil, že bádání povede k Fermatově větě. Yutaka Taniyama se zabýval určitými problémy eliptických křivek, tj. křivek definovaných vztahem

y² = x³ + ax + b

kde a, b jsou dané konstanty. Weil a Shimura vyslovili domněnku, která dnes nese název Shimurova-Taniyamaova-Weilova domněnka. V roce 1986 Frey v Saarbrückenu objevil souvislost mezi touto domněnkou a Fermatovou poslední větou. Tím ovšem překvapivě ukázal, že Fermatova poslední věta není jen pouhou zajímavou hříčkou teorie čísel, ale že souvisí se základními vlastnostmi prostoru.

Práce dalších matematiků vedla ke zjištění, že protipříklad k Fermatově poslední větě by byl také protipříkladem k Shimurově- Taniyamově-Weilově domněnce. Důkaz Fermatovy poslední věty dokončil v roce 1993 Andrew Wiles, britský matematik pracující v Ústavu pro pokročilá studia (the Institute for Advanced Study) v Princetonu. Wiles uspořádal sérii tří přednášek v Ústavu Isaaca Newtona v Cambridge. První přednáška proběhla v pondělí 23. června 1993, druhá v úterý 22. června 1993. Ve své poslední přednášce ve středu 23. června 1993 kolem 10:30 dopoledne Wiles oznámil, že důkaz Fermatovy poslední věty je důsledkem jeho hlavních výsledků. Poté, co napsal na tabuli Fermatovu větu, řekl, "zde budu končit" a posadil se. Ve skutečnosti Wiles dokázal Shimurovu-Taniyamovu-Weilovu domněnku pro třídu příkladů, která obsahovala příklady nezbytné k důkazu Fermatovy poslední věty.

Příběh v tomto bodě ale ještě nekončí. 4. prosince 1993 Andrew Wiles potvrdil, že sice většina problémů souvisejících s Shimurovou-Taniyamovou-Weilovou domněnku byla vyřešena, ale zůstal ještě jeden problém.

Andrew Wiles tvrdil, že klíčová metoda redukce většiny případů Taniyamaovy-Shimurovy-Weylovy domněnky na výpočet Selmerovy grupy je správná. Ale závěrečný výpočet přesné horní meze Selmerovy grupy v polokvadratickém případě není ještě zcela kompletní. Wiles však věřil, že bude schopen tento problém vyřešit a přednést výsledek na svých přednáškách v Cambridge.

V březnu 1994 Gerd Faltings v časopise Scientific American uvedl, že pokud by řešení bylo snadné, bylo by již nalezeno. Andrew Wiles v časopise Scientific American na to reagoval tím, že věří, že problém vyřeší, protože má jisté nápady, jak důkaz zkonstruovat. Tvrdil, že v podstatě je jen několik metrů pod vrcholem Everestu.

V roce 1994 začal Andrew Wiles spolupracovat s Richardem Taylorem, aby se společně pokusili odstranit díru v důkazu. Autoři se rozhodli změnit jeden z klíčových kroků v důkazu a vypustili Flachovu metodu, o níž se domnívali, že nepovede k cíli. V srpnu 1994 tuto změnu oznámili na Mezinárodním kongresu matematiků, ale kvůli problémům k závěru důkazu ještě nedospěli.

Taylor učinil poslední krok a pokusil se rozšířit Flachovu metodu. Wiles, přestože byl přesvědčen, že Flachova metoda nevede k cíli, s jeho pokusem souhlasil. Wiles pracoval na rozšíření asi dva týdny, když náhle dostal nápad. V dosud slepé uličce byla myšlenka, která vedla k cíli.

6. října 1994 Wiles zaslal nový důkaz svým třem kolegům včetně Faltingse. Všichni uznali, že nový důkaz je jednodušší než byl důkaz původní. Faltings provedl ještě další zjednodušení části důkazu.

Na britském matematickém setkání v Edinburghu v dubnu 1995 Taylor uvedl, že již nejsou žádné pochyby o správnosti důkazu Fermatovy poslední věty.

- pokračování -