Literatura a odkazy:

[1] Mrázek, Jiří: Taje matematiky. Vyd. Práce, Praha 1986

[2] Bartsch, Hans Jochen: Matematické vzorce. SNTL, Praha 1987

[I1] From: baalke@kelvin.jpl.nasa.gov (Ron Baalke) Subject: Clyde Tombaugh, discoverer of Pluto, dies. Date: 21 Jan 1997 16:16 UT

[N1] Milan Kunz: Zenonovy grafy. Natura 9/1999.

[X1] Turnbull University of St. Andrews.

[X2] Nina Byers: E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws. Physics Department, UCLA, Los Angeles, CA 90024. July 16, 1998. UCLA/98/TEP/20 arXiv.org e-Print archive. Los Alamos National Laboratory.

[E1] Vztah mezi symetriemi časoprostoru a zákony zachování. Vlastní a nevlastní zákony zachování. Věty Emmy Noetherové.

RNDr. Jiří Mrázek, CSc. (1923 - 17.4. 1978) byl matematik, fyzik, vynikající popularizátor vědy a komentátor rozvíjející se kosmonautiky. Komentoval pro tehdejší rozhlas historický start sovětské sondy Sputnik v roce 1957.

Po dosažení doktorátu přírodních věd na Univerzitě Karlově v Praze v roce 1949 působil několik let jako pedagog. Od roku 1953 pracoval v Geofyzikálním ústavu Československé akademie věd na samostatných vědeckých úkolech. Založil ionosférické oddělení Československé akademie věd, ionosférickou observatoř při magnetosférické observatoři v Průhonicích a stál u zrodu telemetrické stanice tehdejšího mezinárodního programu výzkumu kosmu Interkosmos v Panské Vsi.

Pod odbornou patronací Jiřího Mrázka vzniklo 10 krátkých filmů o geofyzice a dětský seriál o planetách. Mrázkova kniha "Taje matematiky" ve své první části "Zamyšlení nad matematikou" vede čtenáře od základních matematických pojmů až k příkladům moderních aplikací. Čtenář poznává základní postupy matematického myšlení, kniha obsahuje mnoho názorných příkladů. Z knihy je cítit Mrázkova obrovská pedagogická zkušenost. Ve druhé části knihy "Matematika a její tvůrci" autor provází čtenáře historií matematiky od 10.stol. př.n.l. až do 19.stol. n.l. Právě z této druhé části knihy čerpal tento text, který neklade důraz na historickou rigoróznost, ale spíše na zobrazení vývoje matematiky od jejích počátků do konce 20. století.

Počátky matematických znalostí lze hledat u mnoha starověkých národů. Ve starověkém Egyptě zhruba 600 let př.n.l. vznikla geometrie jako nauka o vyměřování země. Hranice jednotlivých pozemků u řeky Nilu byly každoročními povodněmi narušeny a bylo je nutné obnovovat. Lidé, kteří tuto práci vykonávali, byli geometry v pravém slova smyslu. Pomocí provazu a tyčí dokázali vyměřovat hranice jednotlivých pozemků. Egyptští geometři uměli zkonstruovat pravoúhlý trojúhelník pomocí provazů o délkách 3, 4 a 5 jednotek (Pythagorova věta). Byly nalezeny tabulky, pomocí nichž bylo možno určit ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku pomocí poměru odvěsen (funkce cotangens). Egyptští počtáři znali trojčlenku a uměli řešit lineární rovnice jedné neznámé.

Egypťané měli číselnou soustavu, která neumožňovala počítání. Egyptská číselná soustava se podobala římské soustavě a nebylo v ní možno snadno provádět násobení nebo dělení.

Egypťané používali matematiku k praktickým účelům. Skotský egyptolog A. Henry Rhind nalezl papyrus, který byl napsán zhruba roku 1650 př.n.l. Je asi šest metrů dlouhý a asi 30 centimetrů široký. Egypťané nechápali čísla jako abstraktní hodnoty, ale vždy pod číslem chápali počet nějakých předmětů. Rhindův papyrus dokazuje, že ačkoliv egyptská číselná soustava neumožňovala snadné násobení čísel, Egypťané násobit uměli.

Podobné znalosti byly prokázány u Sumerů, Babylóňanů, Akkadů, Asyřanů a Chaldejců. Na barevných hliněných tabulkách s klínovým písmem byly objeveny jejich výpočty, které se týkaly zejména astronomie. Chaldejci dokázali dopředu vypočítat zatmění Slunce, Měsíce, znali zdánlivé dráhy jednotlivých hvězd na obloze, pohyb některých planet a základy sférické trigonometrie.

Babylóňané vyvinuli abstraktní formu zápisu symbolů. Symboly zapisovali na hliněných tabulkách, z nichž tisíce bylo nalezeno a prostudováno. Babylóňané měli rozvinutý systém čísel, který byl v určitém smyslu dokonalejší než náš dnešní systém. Používali poziční systém se základem 60, zatímco náš systém používá základ 10, který má dva vlastní dělitele, čísla 2 a 5. Babylónský systém má deset vlastních dělitelů a proto více čísel má konečný tvar.

Babylóňané rozdělovali den na 24 hodin, každou hodinu na 60 minut a každou minutu na 60 sekund. Tento systém počítání času přežil 4000 let až dodnes.

V roce 1854 byly v Senkerahu na Eufratu nalezeny dvě tabulky datované do doby asi 2000 let př.n.l. Obsahují druhé mocniny čísel až do čísla 59 a třetí mocniny čísel až do čísla 32. V tabulkách nalezneme, že

8² = 1.60 + 4 = 64
59² = 58.60 + 1 = 3481

Hlavní nevýhodou babylónského systému byla neexistence nuly. Čísla proto neměla jednoznačnou reprezentaci, ale bylo je nutno uvažovat v kontextu výpočtu, aby bylo zřejmé, zda zápis 1 znamená číslo 1, 61, 3601 atd.

Babylóňané používali pro usnadnění násobení vztah

a.b = ((a + b)² - a² - b²)/2

nebo vztah

a.b = (a + b)2/4 - (a - b)2/4 ,

z nichž plyne význam tabulek druhých mocnin čísel.

Dělení je obtížným procesem a Babylóňané neměli algoritmus pro dlouhé dělení čísel. Místo toho využívali vztah

a.b = a.(1/b) ,

což vedlo k nutnosti sestavit tabulky převrácených hodnot čísel. Tyto tabulky byly nalezeny a obsahují převrácené hodnoty čísel až do několika miliard.

Jedna z babylónských tabulek dokazuje, že Babylóňané znali problém Pythagorejských čísel, pro něž platí a² + b² = c². Jde tedy o dosud nejstarší práci o teorii čísel.

Starověcí čínští a indičtí myslitelé uměli také pracovat s velmi velkými čísly. Například ve starověkém indickém eposu Mahábhárata se hovoří o 600 000 miliónů Budhových synů. Jedna z indických pohádek hovoří o bitvě, jíž se účastnilo 10⁴⁰ opic.

Starověcí Indové znali také pravoúhlý trojúhelník se stranami o délkách 5, 12 a 13. Číňané počítali na zvláštních počítadlech s kuličkami, která lze dobře považovat za předchůdce mechanických počítacích strojů.

Egyptský učenec Tháles z Milétu uměl již jako žák změřit výšku pyramidy podle jejího vrženého stínu. Tháles byl učitelem Pythagora ze Samu. Tvrdí se, že Pythagoras (571 - 497 př.n.l.) se dostal při svém zajetí do Babylónu a zřejmě i do Indie. Později v Řecku založil školu, jejíž členové se zabývali mimo jiné matematikou. Tato sekta existovala téměř dvě století a dnes není jasné, které objevy učinil sám Pythagoras a které jeho žáci. Pythagorejci zastávali atomistický názor a představovali si, že základní přírodní živly se skládají z pravidelných mnohostěnů. Oheň se podle jejich představy skládal ze čtyřstěnů, vzduch z osmistěnů, voda z dvanáctistěnů a země ze šestistěnů (krychlí). Pythagoras a jeho žáci také věřili, že veškeré jevy a předměty lze převést na různá celá čísla. Zabývali se studiem tzv. pythagorejských trojúhelníků, které jsou pravoúhlé a délky jejich stran jsou vyjádřeny celými čísly. Pythagorejci zjistili, že existuje vztah, podle něhož lze sestavit libovolný pythagorejský trojúhelník. Studovali zákonitosti týkající se celých čísel a mimo jiné věděli, že součet libovolného počtu po sobě jdoucích celých čísel od jedné nahoru dává číslo, které vyjadřuje plochu nějakého čtverce, jehož délka strany je celé číslo.

Pythagorejci nehledali pouze vztahy mezi čísly, ale zkoumali, co se za těmito vztahy skrývá. Hledali harmonii čísel vesmíru a tím i harmonii celého vesmíru. Pythagorejci také objevili, že délka úhlopříčky čtverce o straně s celočíselnou délkou není celé číslo. Pythagoras ukázal, že nelze tuto délku vyjádřit žádným celým číslem, ani podílem celých čísel.

Pythagorejci pracovali systematicky, což lze dokázat na jejich studiu pravidelných mnohostěnů. Pravidelný mnohostěn je těleso, jehož stěnami jsou pravidelné mnohoúhelníky. Čtyřstěn má stěny z rovnostranných trojúhelníků, šestistěn (krychle) má stěny ze čtverců, osmistěn má stěny z rovnostranných trojúhelníků a dvacetistěn má stěny také z rovnostranných trojúhelníků. Posledním pravidelným mnohostěnem, který Pythagorejci objevili, byl dvanáctistěn, se stěnami z pětiúhelníků. Díky systematické práci lze Pythagora a jeho žáky právem považovat za zakladatele matematické vědy (viz článek "Filozofové starověkého Řecka", knihovna časopisu Natura - filozofie).

Na matematiku měla vliv také tehdejší filozofie. Pro rozvoj matematiky měla značný význam škola, kterou založil Parmenidés. Významným zástupcem této školy byl Zenón z Eleje, který byl známý svým věcným nepřátelstvím k Pythagorejcům. Snažil se dokázat, že matematika v pojetí Pythagorejců je nesmyslná a jeho paradoxy jsou známé dodnes. Například tvrdil, že mnohost se musí budovat z jedinosti. Jedinost však může být jen u nedělitelného, které nemá žádnou velikost, protože by se dalo pak rozdělit. Proto je jedinost v podstatě nic, které v libovolném počtu je ničím a tudíž žádná mnohost neexistuje. Slavným Zenónovým paradoxem je historka Achilla soutěžícího s želvou.

Dnes víme, že Zenón použil chybného chápání nekonečna. Součet nekonečně mnoha veličin nemusí být nekonečný, což jistě věděl i Zenón a jeho snahou bylo zřejmě drastickým způsobem poukázat na potíže v učení Pythagorejců.

Demokritos z Abdéry (asi 470 - 360 př.n.l) je dnes znám zejména svým pojetím atomu jako nejmenší dále nedělitelné části hmoty. Přitom Demokritos objevil vzorec pro výpočet objemu kužele a jehlanu způsobem, který jeho atomismu odporoval. Myšlenkově rozděloval zkoumaná tělesa na nekonečně tenké řezy, pomocí nichž pak vztah odvodil (viz článek "Filozofové starověkého Řecka", knihovna časopisu Natura - filozofie).

Anaxagoras se jako první zabýval problémem převodu obsahu kruhu na obsah čtverce. Tento problém se dnes nazývá kvadratura kruhu a patří k jednomu ze tří klasických problémů helénské geometrie. Druhým tímto problémem bylo rozdělení libovolného úhlu na tři stejné díly a třetím problémem byla konstrukce krychle o dvojnásobném objemu než měla krychle původní. Existence takových problémů odhalovala omezení řecké matematiky a do jisté míry souvisela s filozofií. Zřejmě již Anaximadrós se jako první vědomě dotkl pojmu nekonečna a pojmu iracionálních čísel. Řecká matematika byla matematika obecná, související s filozofií. Na rozdíl od matematiky egyptské nebo babylónské, kde matematika sloužila k praktickým početním účelům.

Řecký filozof Platón (427 př.n.l. - 347 př.n.l.) poprvé v dějinách postavil ve filozofii do popředí analytickou metodu (viz článek "Filozofové starověkého Řecka", knihovna časopisu Natura - filozofie), která vrcholila v názoru, že geometrický problém je rozřešen a odtud zpětným postupem analyzuje jednotlivé jednodušší vlastnosti zkoumaných předmětů. Aristoteles (384 př.n.l. - 322 př.n.l.) byl zakladatelem logiky (viz článek "Filozofové starověkého Řecka", knihovna časopisu Natura - filozofie).

Ve 3.stol. př.n.l. v Alexandrii v Egyptě žil řecký matematik Euklides, o jehož narození a smrti nic nevíme, ani téměř nic nevíme o jeho životě. Jeho stěžejním dílem byly Základy (Stoicheia), které jsou rozděleny do třinácti knih a vrcholí systémem axiómů, nedokazatelných základů geometrie. První kniha Základů pojednává o trojúhelnících a rovnoběžnících a končí důkazem Pythagorovy věty. Druhá kniha rozvíjí planimetrii, kniha třetí a čtvrtá pokračuje ve výkladu planimetrie a pojednává o kruhu, tětivových a tečnových mnohoúhelnících. Kniha pátá se týká nauky o poměrech, kniha šestá se pak věnuje geometrické podobnosti. V dalších knihách podává výklad teorie čísel, hovoří o prvočíslech a podává důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Euklides se dostává až k teorii iracionálních čísel. Zde se dostal do značných obtíží kvůli zápisu těchto čísel, kdy teorii čísel budoval pomocí geometrie a délek úseček. Jedenáctá kniha se zabývá stereometrií, stejně jako knihy zbývající. Při svých úvahách o objemu těles Euklides pracuje tak, jako by znal základy infinitezimálního počtu, který objevili až v 17.století Leibniz a Newton.

Roku 216 př.n.l. bylo vojevůdcem Hannibalem u Cannes poraženo 50 tisíc římských legionářů. Marcus Marcellus se rozhodl dobýt Syrakusy, aby potrestal spojence Kartága. Marcellus napadl město od moře, ale z hradeb se na jeho lodě spustily železné zobáky, které je probodávaly a vyzdvihovaly z moře a z metacích strojů začaly padat ohromné balvany, které dovršily dílo zkázy. Vůdce Marcellus pátral po příčinách své porážky a zjistil, že jeho příčinou je dvaadevadesátiletý stařec, největší z řeckých matematiků Archimédes, podle jehož výpočtů byly kovové zobáky a metací stroje zkonstruovány.

Podle některých pramenů byl Archimédes zabit římským legionářem, když kreslil v písku nějaké obrazce a tu na jeho čáry vstoupila noha vojáka. Aniž pohlédl vzhůru, pravil: "Noli tangere circulos meos" (Nedotýkej se mých kruhů). Archimédova matematika byla matematikou skutečnosti. Archimédes překonal strnulé názory Eleatů, vzdal se všech předsudků a tím se přiblížil skutečnosti. Předsudky hovořily o pravidelných a rovných čárách, zatímco Archimédes se snažil matematicky zvládnout křivky a plochy. Archimédes dovedl odhadnout druhé odmocniny různých čísel, kdy šlo o iracionální čísla. Uvědomoval si nepraktičnost zápisu čísel a snažil se vymyslet vhodný zápis, především pro velká čísla. Vytvářel oktády, přičemž první oktáda obsahovala čísla od jedné do 10⁸, druhá oktáda od 10⁸+1 do 10¹⁶, atd. Archimédes si poradil také s rektifikací kvadratury kruhu, kdy byl schopen vypočítat obvod a obsah kruhu s přesností na 6 desetin promile. Některé jeho vztahy dodnes figurují v učebnicích matematiky. Archimédes znal vzorec pro součet nekonečné geometrické řady. Zjistil, že koule, kolem ní opsaný válec a kužel se stejnou základnou a výškou jako má válec mají objemy v poměru 2:3:1. Jako první určil plochu elipsy. Stanovil objem rotačního paraboloidu, elipsoidu a hyperboloidu a učinil to prakticky způsobem, který se dnes používá v integrálním počtu.

Dánští badatelé Heiberg a Zeuthen v roce 1906 rozluštili Archimédův dopis matematikovi Eratosthenovi. Archimédes mimo jiné napsal: "Mnohé, co se mi stalo předem jasným skrze mechaniku, bylo potom dokázáno geometrií, poněvadž vyšetřování onou metodou nebylo ještě podepřeno důkazem. Je snazší stanovit důkaz, jestliže mechanickou metodou získáme předem představu o problému, než jej bez předchozí představy nalézt."

Předpokládá se, že Archimédes při své práci pracoval nejprve s hmotnostmi těles a pak se snažil podat geometrický důkaz. Zavedl původně negeometrické pojmy jako těžiště, těžnice a hovořil pak o nich i v geometrii. Přitom od těžiště reálného hmotného trojúhelníku ke geometrickému trojúhelníku je velmi obtížná cesta. Ve fyzice znal zákony páky a formuloval zákon týkajících se těles ponořených do kapaliny, stanovil pojem "specifická hmotnost" těles. Lze ho právem označit za největšího matematika starověku. Jako první stanovil axióm, že přímka je nejkratší spojnice dvou bodů a axióm, že libovolnou úsečku lze složit z určitého počtu kratších úseček. Tyto dva axiómy později sehrály významnou úlohu v geometrii.

Apollonios z Pergy byl již ve starověku označován za "velkého geometra". Byl žákem prvních žáků Euklida a mladším současníkem Archiméda. Velkou část života strávil v alexandrijském Museionu a teprve později přesídlil do Pergy. Apollonios napadl systém Archimédových oktád a vymyslel úlohu vedoucí k číslu s 200 tisíci číslicemi. V práci Archiméda však nepokračoval, ale navázal na eleatskou školu a na učení Euklida a dovedl helénskou matematiku k vrcholu. Jeho epochálním dílem bylo osm knih o kuželosečkách. Změnil původní pohled na kuželosečky a rotační tělesa tím, že podal jejich nové definice. Kužel definoval jako těleso, které vznikne pohybem bodu přímky po kružnici, když je tato přímka v jiném bodě upevněna. Kuželosečky pak definoval pomocí řezů kuželu rovinou. Kuželosečky však také chápal jako geometrické místo bodů určitých vlastností. Elipsa je např. geometrické místo bodů, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stálý součet vzdáleností. Apollonios z Pergy značně předběhl svoji dobu, když dospěl k asymptotám hyperboly. Ke každé hyperbole lze sestrojit dvojici přímek takových, že se k větvím hyperboly neomezeně blíží ale nikdy je neprotnou. Tento objev otřásl euklidovskou geometrií hned ze dvou důvodů. Prvním byl problém nekonečna, druhým byla pochybnost o Euklidově axiómu o rovnoběžkách.

Po historických matematických a geometrických objevech Euklidových, Archimédových a Apolloniových pozdější matematici rozšiřovali a zobecňovali znalosti svých předchůdců. Je faktem, že po Apolloniovi nastalo zřetelné období úpadku matematiky. Další rozvoj přinesl až Diofantos ve 3.stol. n.l. Matematikou se od 2.stol. př.n.l. do 3.stol. n.l. zabývali pouze Řekové. Římská matematika prakticky neexistovala, protože Řím byl státem právníků a státní moci. Techniku, architekturu nebo válečné umění zajišťovali odborníci ostatních kulturních národů.

Ve 2.stol. př.n.l. Diokles objevil křivku kisoidu, Nikodémes křivku konchoidu. Nikodémova konchoida znamenala pokrok při řešení klasického problému, jak zdvojnásobit krychlový oltář v Delfské věštírně. Stejně tak lze pomocí konchoidy rozdělit úhel na tři stejné části.

V té době se geometr Perseos zabýval křivkami, které vznikají kutálením kruhu. Takovou křivkou je např. cykloida, kterou opisuje bod na kružnici, když se tato kružnice beze skluzu kutálí po přímce. Obecně se kružnice může kutálet po různých křivkách.

Určitého pokroku dosáhla trigonometrie. Prvním matematikem, který se trigonometrií hlouběji zabýval, byl Heron z Alexandrie. Byl spíše praktikem, který vyměřoval pole a vinice. Pravým zakladatelem trigonometrie byl Hipparchos, který položil základy trigonometrie v rovině i trigonometrie sférické. Objevil mimo jiné stereografickou projekci tím, že zobrazil nebeskou kouli z jejího pólu na rovinu jejího rovníku, přičemž úhly a kružnice zůstaly zachovány. Dalším matematikem byl Menelaos z Alexandrie a kolem roku 140 n.l. matematik a astronom Claudius Ptolemaios.

Claudius Ptolemaios napsal významné astronomické dílo Megale syntaxis (Velké stavení, arabsky Almagest), které po více než 1500 let ovlivňovalo myšlení celého kulturního světa.

Rostoucí praxe nutila matematiku, aby věnovala stále větší pozornost praktickým výpočtům. Ptolemaios sestavil tabulky tětiv po půl stupni od nuly do devadesáti stupňů, které v podstatě předcházely tabulkám logaritmů a goniometrických funkcí. Jeho hodnota pro Ludolfovo číslo byla v praxi plně postačující. Byla rovna 3 + 17/120 = 3,141666.

Asi od 5.stol. př.n.l. se ve starověkém Řecku k zápisu čísel používalo písmen a několika pomocných značek převzatých z abeced jiných jazyků. Číslo jedna se zapisovalo jako alfa s čárkou, číslo 2 jako beta s čárkou atd. Čárkou se v řečtině označoval přízvuk a tím se odlišovalo číslo od písmene. Vícemístná čísla se zapisovala součtově, přičemž se řadila vedle sebe sestupně zleva doprava. Přitom se přízvuky vynechávaly a nad číslo se psala vodorovná čárka. Tisíce se zapisovaly stejnými písmeny jako jednotky, přičemž před písmeno se psala čárka vlevo dole. Jde o zárodek našeho pozičního systému zápisu čísel. Při takovém zápisu čísel bylo velmi obtížné již sčítání. Řekové se vyhýbali obecným výpočtům a počítali každý příklad zvlášť. Proto neznali čísla obecná (proměnné, konstanty), která se dnes zapisují pomocí písmen abecedy a jsou základem algebry. Přesto Řekové algebru znali. Na počátku vývoje vyjadřovali algebraické vztahy slovně a byli schopni tak řešit algebraické rovnice. Později čísla znázorňovali pomocí geometrických úseček. Tímto způsobem bylo možno vyjádřit také čísla iracionální, ale nebylo možné vyjádřit čísla záporná nebo imaginární.

Rovnice se zpočátku vyjadřovaly slovně, později se objevily pro často se opakující znaky nebo symboly určité zkratky, stále ještě odvozené od slov. O značné zjednodušení zápisu se zasloužil Diaofantos. Byl schopen zapisovat rovnice, zlomky nebo mocniny. Algebraické zápisy starověkého Řecka byly rozluštěny později než egyptské hieroglyfy. Naproti tomu Diofantovy algebraické zápisy byly rozluštěny již začátkem novověku. Diofantos zjednodušil matematický zápis a umožnil tak vznik algoritmů, ačkoliv k jejich objevu došlo až o půl tisíciletí později.

Diofantos objevil také obecnou metodu pro řešení jedné rovnice o dvou celočíselných kladných neznámých (tzv. diofantické rovnice). Řešení hledal ve tvaru kladných racionálních čísel a podmínku celočíselných kladných neznámých nepožadoval. Obvykle se zajímal jen o jediné řešení, které bylo možno vyjádřit racionálním číslem. Na jeho práci v 17.století navázal matematik Pierre Fermat.

V 6.stol. n.l. byly uzavřeny poslední filozofické školy, byla zničena Alexandrijská knihovna. V této době se dostali do popředí vývoje Arabové. Sbírali staré řecké, novoperské a sanskrtské rukopisy. Do arabštiny byla přeložena díla Euklidova, Archimédova a především slavná Ptolemaiova astronomická učebnice Megale syntaxis pod arabským názvem Almagest. Arabové vtiskli matematice alespoň část svého smyslu pro magii.

Kolem roku 800 n.l. žil Muhammad ibn Músá al Chwárízmí (Muhammad, syn Músy z Chwárizmu). V letech 800 a 825 napsal dvě díla, z nichž jedno byla početnice, které v latinském překladu začíná slovy Algoritmi dicit (Tak praví Al Chwárízmí). Zdánlivá záměna jmen vzniklo patrně zkomolením při překladu z arabštiny do latiny. Druhým dílem byla učebnice algebry Al-džabr wa-l-maqábala (Uspořádání), která obsahovala nauku o řešení rovnic. Podle autora je rovnice "uspořádána", pokud jsou všechny její členy kladné. Na takový tvar byly všechny rovnice převáděny, čímž autor definoval povolené operace s rovnicemi. Je však třeba poznamenat, že ani Muhammad neznal algebru obecných čísel. Epochálním objevem ale byl poziční zápis čísel, který umožnil výrazné zjednodušení počítání. Muhammad vytvořil první algoritmy pro počítání s čísly, čímž se matematika dostala do škol a do obchodního světa, odkud se pak dostala při obchodu Arabů s Evropany také do Evropy.

Za vlády Bedřicha II. na počátku 13.stol. v Palermu magistr Johannes z Palerma předložil jakémusi cizinci matematickou úlohu na řešení kubickou rovnicí, jejíž řešení bylo tehdy v Evropě neznámé. Cizinec úlohu vyřešil. Jmenoval se Leonardo z Pisy (Fibonacci), syn úředníka, který procestoval arabský svět, navštívil Egypt, Sicílii, Sýrii, Řecko a Provence. Fibonacci zavedl počítání se zápornými čísly, kterým přisoudil praktický význam jakýchsi dluhů. Zachovala se po něm řada různých úloh, jako např.: "Máme jeden pár králíků. Každý pár králíků koncem měsíce vrhne nový pár, který druhým měsícem je schopen plodit mláďata. Případy smrti se neuvažují. Kolik bude králíků za rok?" Tato úloha vede na tzv. Fibonacciho posloupnost, která je složena z čísel 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atd., kdy každý následující člen je součtem dvou předchozích členů. V botanice se zákon růstu jednotlivých listů na lodyze určitými zlomky, kde čitatel i jmenovatel jsou po sobě jdoucí čísla Fibonacciho posloupnosti. Fibonacciho posloupnost souvisí také s problémem zlatého řezu v geometrii a s mnoha dalšími problémy. Hlavním Fibonacciho přínosem však bylo znovuobjevení matematiky.

Již v době života Fibonacciho došlo k rozvoji nové duchovní kultury, kterou pozdější humanisté označili jako scholastiku. Tato filozofie měla brzy rozhodující význam pro další budování matematiky. Přírodní vědy, které se dříve nebo později dostaly do opozice scholastiky, své nejmocnější nástroje od scholastiky převzaly. Šlo o skupinu pojmů, se kterými jsme se setkali už u Archiméda, jako je spojitost, nekonečnost a o pojem funkce, který vznikl teprve při experimentálním použití matematiky.

Na vývoj matematiky měly mimo akademickou půdu vliv zejména obchod s arabským a indickým světem, bankovnictví, zeměpis, námořní navigace a astronomie. Dominikánský kněz Jordan Nemorario zanechal po sobě obsáhlé matematické dílo, které mělo značný vliv na rozvoj matematiky. Lze v něm nalézt definice, které se znovu objevily teprve až v dílech matematiků 19. století. Základy infinitezimálního počtu tedy připravovali již scholastikové. Františkánský kněz Tomáš z Bradwardinu napsal dílo Tractatus de continuo (Dílo o spojitosti), ve kterém je spousta myšlenek moderní teorie množin. Ve svých úvahách autor dospěl ke dvěma pojmům nekonečna, k nekonečnu kathetickému (transfinitnímu) a k nekonečnu synkathetickému (infinitnímu).

V té době ožil starý filozofický spor, zda je víc forma nebo obsah. Spor vykrystalizoval zejména mezi učenými dominikány, jejichž největší autoritou byl Tomáš Akvinský, a františkány, jejichž autoritou byl Duns Scotus. Výsledek jejich vzájemných debat vedl k významu formy jako měřitelného přírodního jevu. Na univerzitách koncem 14.stol. se objevil nový předmět o "délkách a šířkách forem".

V letech 1323 až 1382 žil Mikuláš z Oresme, který byl nejprve žákem, pak učitelem a nakonec představeným v Collége de Navarre v Paříži. Jeho dílo "Pojednání o šířce forem" obsahovalo první popis obecných souřadnic a popis funkční závislosti. Mikuláš posuzoval průběh jevů v čase a stačilo málo, aby dospěl k pojmu funkce. Z určitého hlediska je pojem funkce rozšířením pojmu čísla. Funkce v určitém smyslu překonává základní rozpor mezi eleatským a herakleitovským světovým názorem, zda je důležitější bytí nebo vznikání. Funkce je schopna přeměnit vznikání na bytí a bytí na vznikání. Může být podle potřeby nástrojem statickým nebo dynamickým a tím je předurčena ke zkoumání měřitelných zákonů přírody.

Dalším významným matematikem byl Mikuláš z Cusy (Cusanus). Ve svém díle Docta ignoranti (Učená nevědomost) prozrazuje svůj základní názor, že základem poznání je spojení protikladů. Tuto poznávací metodu označuje jako umění koincidence, kdy ve zdánlivě protikladných skutečnostech nalezneme společný prvek. Například největší koinciduje s nejmenším, protože u obou je nemožné pokračovat v původním směru. Nekonečná přímka koinciduje s nekonečným trojúhelníkem nebo nekonečnou kružnicí. Pokud má trojúhelník jednu stranu nekonečnou, musí mít nekonečné i ostatní dvě a tím všechny tři strany přejdou v jedinou nekonečnou přímku. Jeho druhé dílo De Beryllo (O berylu) hovoří o duchovním berylu, broušeném kamenu umožňujícím lepší vidění, pomocí něhož bychom mohli pozorovat současně nejmenší a největší a tím bychom poznali původ všech věcí. Cusanus jako první matematik označuje jasně kruh za nekonečný mnohoúhelník díky své teorii koincidence. V jeho úvaze je již zřejmý "limitní přechod", který zavedla moderní matematika.

Velkého pokroku dosáhla matematika v Evropě až v 16. století. Podíleli se na něm Pacioli, později Cardan, Tartaglia a Ferrari se svým algebraickým řešením kubických rovnic a rovnic 4. stupně.

Při studiu vesmíru použili matematiku polský astronom Mikoláš Koperník a italský astronom Galileo Galilei.

Pokrok v algebře měl hluboký psychologický dopad na další rozvoj matematiky, zejména algebry, které se věnovala řada významných matematiků, jako byl Stevin v Belgii nebo Viéte ve Francii.

V 17. století John Napier, Briggs a další významně posílili matematiku jako početní vědu svým objevem logaritmů. Cavalieri dosáhl významného pokroku svými infinitezimálními metodami. René Descartes zavedl algebraické metody do geometrie, která byla do té doby považována za samostatnou vědu.

Rozvoj matematiky pokračoval Pierrem de Fermatem a Blaisem Pascalem, který se jako první začal matematicky zabývat teorií pravděpodobnosti. Největší význam v 17. století měl rozvoj výpočetních metod.

Isaac Newton navázal na práce řady svých předchůdců, jako byl jeho učitel Isaac Barrow, a vyvinul výpočetní metody jako nástroj pro studium přírody. Newton svojí prací propojil matematiku, fyziku a astronomii. Jedním z nejvýznamnějších objevů 18. století byla Newtonova teorie gravitace.

Dalším významným matematikem 18. století byl Wilhelm Leibniz, který přesně rozpracoval výpočetní metody a svojí prací ovlivnil řadu matematiků včetně rodiny Bernoulliů. Výpočetní metody se staly silným nástrojem v řadě aplikací.

Nejvýznamnějším matematikem 18. století byl Leonhard Euler, který se zabýval řadou oblastí matematiky a položil základy dvou nových oblastí, variačního počtu a diferenciální geometrie. Euler také dosáhl významného pokroku v teorii čísel, v jejímž rozvoji pak pokračoval Pierre de Fermat.

Koncem 18. století se Joseph Louis Lagrange začal zabývat přesnou teorií funkcí a mechanikou. Simon Laplace napsal svoji velkou práci o nebeské mechanice a Monge a Lazare Nicolas Marquérite Carnot dosáhli významného pokroku v syntetické geometrii.

19. století bylo obdobím prudkého vývoje. Zásadní význam měla Fourierova práce o teple. V geometrii Plücker napsal důležitou práci o analytické geometrii a Steiner o syntetické geometrii.

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij vyvinul neeuklidovskou geometrii a Bolyai položil základy charakterizace geometrie, kterou vyvinul Bernhard Riemann. Karl Friedrich Gauss, který je považován za největšího matematika všech dob, se zabýval studiem kvadratické reciprocity a celými kongruencemi, ale největší význam měla jeho práce v diferenciální geometrii, která vedla k prudkému rozvoji této oblasti. Gauss také významně přispěl k rozvoji astronomie a teorie magnetismu.

Nelze opomenout ani významnou Galoisovu práci o rovnicích díky jeho jedinečnému přístupu, který vedl ke studiu základních operací v matematice. Evariste Galois položil základy teorie grup, která se během 20. století bouřlivě rozvíjela a stala se základem některých moderních fyzikálních teorií.

Na Lagrangeovu práci o teorii funkcí navázal Augustin Louis Cauchy, který vypracoval jejich přesnou teorii a začal studovat teorii funkcí komplexní proměnné. V této práci pak pokračovali Karl Theodor Wilhelm Weierstrass a Bernhard Riemann.

Arthur Cayley položil základy algebraické geometrie a na jeho práci o maticích a lineární algebry navázal sir William Rowan Hamilton a Herman Günther Grassman. Koncem 19. století vypracoval Georg Cantor formální teorii množin, která odstranila některé neřešitelné paradoxy. Na jeho práci v teorii čísel navázali Julus Wilhelm Richard Dedekind a Karl Theodor Wilhelm Weierstrass studiem iracionálních čísel.

Matematická analýza byla vedena požadavky matematické fyziky a astronomie. Lieova práce o diferenciálních rovnicích vedla ke studiu topologických grup a diferenciální topologie. James Clerk Maxwell revolučním způsobem využil vektorové analýzy v matematické fyzice a položil základy teorie elektromagnetického pole. James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann a Josiah Willard Gibbs položili základy statistické mechaniky, která vedla k ergodické teorii.

Studium integrálních rovnic bylo motivováno studiem problémů elektrostatiky a teorie potenciálu. Fredholmova práce vedla Davida Hilberta k vývoji funkcionální analýzy.

Studium trigonometrických funkcí těsně souviselo s jejich použitím v astronomii. Práce o sférické trigonometrii byly stejně důležité jako práce o rovinné trigonometrii.

První práce o trigonometrii těsně souvisely s problémem tětiv na kružnici. Kružnice o pevném poloměru byla obvykle rozdělena na 60 jednotek, ale problémem zůstávalo nalézt délku tětivy k danému úhlu. V kružnici jednotkového poloměru je délka tětivy s vnitřním úhlem x rovna 2.sin(x/2). První známá tabulka délek tětiv pochází od řeckého matematika Hipparcha zhruba z roku 140 př.n.l. Ačkoliv se tyto tabulky nezachovaly, je prokázáno, že Hipparchos napsal dvanáct knih tabulek tětiv.

Kolem roku 100 n.l. další tabulky délek tětiv napsal řecký matematik Menelaus, který působil v Římě. Ani jeho šest knih se nezachovalo, ale zachovala se jeho dřívější práce o sférické trigonometrii. Menelaus objevil vztah mezi rovinným trojúhelníkem a sférickým trojúhelníkem, který je znám pod názvem regula sex quantitatum.

Dalším autorem tabulek délek tětiv byl Ptomelaios, který měl v Babylóně stejný význam jako Hipparchos v Řecku. Ptolemaios rozdělil kružnici na 360 stupňů a poloměr na 120 dílů. Používal aproximaci čísla \pi číslem 3 a znal také vztah

sin² x + cos² x = 1 ,

ačkoliv jen v souvislosti s tětivami. Ptolemaios znal také další dva trigonometrické vztahy opět v souvislosti s tětivami:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y a/sin A = b/sin B = c/sin C

Ptolemaios vypočítal délku tětiv použitím mnohoúhelníků se 3, 4, 5, 6 a 10 stranami, což mu umožnilo vypočítat délku tětivy pro vnitřní úhel 36, 72, 60, 90 a 120 stupňů. Objevil také metodu, jak vypočítat délku tětivy pro poloviční úhel známé délky tětivy pomocí interpolace s poměrně dobrou přesností.

První skutečný výskyt sinu úhlu byl nalezen v práci hindských matematiků. Aryabhata kolem roku 500 vytvořil tabulku polovičních tětiv, která je v podstatě tabulkou sinu úhlu. Sinus úhlu označil jménem jya. Stejná tabulka byla nalezena v práci indického matematika Brahmagupty z roku 628 a podrobný popis konstrukce tabulek sinu úhlů pro libovolný úhel byl nalezen v práci Bhaskary z roku 1150.

Také Arabové pracovali se siny a cosiny úhlu. V roce 980 Abu'l-Wafa ve své práci uvedl vztah

sin 2x = 2 sin x cos x ,

který lze snadno odvodit z Ptolemaiova vztahu pro sinus součtu dvou úhlů.

Hindské slovo jya pro označení sinu úhlu použili Arabové, kteří sinus nazývali slovem jiba, které znělo stejně. Později Arabové místo slova jiba začali používat slovo slovo jaib, které znamená "ohyb". Po překladu arabských prací do latiny bylo slovo přeloženo jako slovo "sinus", které má stejný význam.

V roce 1542 Rheticus publikoval kapitoly Kopernikovy knihy, které se týkaly použití trigonometrie v astronomii. Rheticus také vypočetl tabulky sinů a cosinů, které byly publikovány po jeho smrti. V roce 1533 publikoval Regiomontanus práci "De triangulis omnimodis", zabývající se rovinnou a sférickou trigonometrií.

Termín "sinus" nebyl hned přijat všemi autory. Řada autorů si vymyslela vlastní označení. Až v knize francouzského matematika Hérigona z roku 1634 nalezneme označení "sin", zatímco Cavalieri používal označení "Si" a Oughtred používal označení "S".

Cosinus měl podobný vývoj jako sinus. Viéte pro cosinus používal termín "sinus residuae", Gunter v roce 1620 použil název "co-sinus". Cavalieri pro cosinus používal označení "Si.2", Oughtred používal označení "s co arc" a Wallis používal "S".

Viéte znal vyjádření sin nx pomocí sin x a cos x. Ve své práci uvedl explicitní vztahy

sin 3x = 3 cos2 x sin x - sin3 x cos 3x = cos3 x - 3 sin² x cos x

Funkce tangens a cotangens byly objeveny jiným způsobem než funkce sinus. Původně nebyly spojovány s úhly. Používaly se nejprve při výpočtech výšky objektu z délky jeho stínu. Thales použil délku stínu pro výpočet výšky egyptských pyramid.

První známé tabulky délky stínu vytvořily Arabové kolem roku 860 a používali dvě míry v latině označované "umbra recta" a "umbra versa". Viéte používal označení amsinus a prosinus. Termín tangens použil poprvé Thomas Fincke v roce 1583. Termín cotangens poprvé použil Edmund Günter v roce 1620.

Označení funkcí tangens a cotangens prošlo podobným vývojem jako označení funkcí sinus a cosinus. Cavalieri používal označení "Ta" a "Ta.2", Oughtred používal označení "t arc" a "t co arc". Označení "tan" poprvé použil Albert Girard v roce 1626 a označení "cot" poprvé použil Jonas Moore v roce 1674.

Funkce secans a cosecans dřívější astronomové a objevitelé nepoužívali. Tyto funkce se objevili poprvé v 15. století při přípravě tabulek. Mikoláš Koperník funkci secans nazýval hypotenusa. Viéte znal vztahy

cosec x/sec x = cot x = 1/tan x 1/cosex x = cos x/cot x = sin x

Vývoj označení těchto funkcí prošlo podobným vývojem jako vývoj označení již zmíněných trigonometrických funkcí. Cavalieri používal označení "Se" a "Se.2", Oughtred používal označení "se arc" a "se co arc".

Termín trigonometrie se poprvé objevuje v titulu Pitiscovy knihy "Trigonometria" v roce 1535. Pitiscus také objevil vztahy pro sin 2x, sin 3x, cos 2x a cos 3x.

V 18. století byly studovány trigonometrické funkce komplexní proměnné. Johann Bernoulli v roce 1702 nalezl vztah mezi sin-1 z a log z a Cotes v práci vydané v roce 1722 po jeho smrti ukázal, že platí:

ix = log(cos x + i sin x)

Abraham de Moivre publikoval v roce 1722 svoji slavnou větu

(cos x + i sin x)ⁿ = cos nx + i sin nx

V roce 1748 Leonhard Euler dokázal větu odpovídající Cotesovu vztahu

exp (ix) = cos x + i sin x

Hyperbolické trigonometrické funkce sinh x, cosh x zavedl Lambert.

- pokračování -