Typografické poznámky k matematickým vztahům jsou uvedeny na konci tohoto textu.

Klasické zákony fyziky formuloval v roce 1687 ve své práci "Principia"Isaac Newton. Podle této teorie pohyb částice lze popsat relativně vzhledem k inerciální vztažné soustavě, v níž se částice pohybuje, pokud není vystavena působení vnějších sil, rovnoměrným a přímočarým pohybem. Dvě inerciální vztažné soustavy se vůči sobě mohou pohybovat v pevném směru konstantní rychlostí. Čas v těchto soustavách se odlišuje o konstantu a všechny časy inerciálních vztažných soustav lze popsat vůči absolutnímu času. Tato teorie vyhovovala všem požadavkům fyziky a astronomie, až do 19. století, kdy byly zkoumány elektrické a magnetické jevy.

Dlouho se vědělo, že zvuk pro své šíření vyžaduje přenosové médium, jako je vzduch nebo voda. Proto bylo přirozené uvažovat, že také světlo vyžaduje své přenosové médium, které bylo nazýváno éterem. Vědci 19. století, jako byli Augustin Louis Cauchy, George Gabriel Stokes, William Thomson a Max Planck, popsali éter různých vlastností. Existoval zvláštní éter pro světlo, teplo, elektřinu a magnetismus.

James Clerk Maxwell na základě poznání, že elektromagnetické pole se šíří rychlostí světla, tvrdil, že světlo je elektromagnetickým jevem. V roce 1878 Maxwell napsal článek "Éter" pro vydání encyklopedie "Encyclopaedia Britannica". Navrhoval existenci jediného éteru a v článku uvedl, že by mělo být pozorováno strhávání éteru při pohybu Země. Vypracoval návrh astronomického pozorování strhávání éteru měřením rychlostí světla Jupiterových měsíců v různých pozicích vzhledem k Zemi.

Na základě Maxwellovy domněnky Michelson sestavil zařízení pro experimenty s měřením strhávání éteru. V roce 1881 ale dospěl k závěru, že hypotéza stacionárního éteru musí být nesprávná.

V roce 1886 Hendrik Antoon Lorentz napsal článek, v němž kritizoval Michelsonův experiment za jeho nepřesnost. Proto Thomson a další požádali Michelsona, aby svůj experiment zopakoval. V roce 1887 společně s Morleym Michelson provedl nové experiment, ale žádné strhávání éteru nezměřil. Výsledek jasně dokazoval, že rychlost světla nezávisí na rychlosti pozorovatele. Michelson a Morley svůj experiment ještě několikrát až do roku 1929 zpřesňovali.

V roce 1887 Voigt jako první popsal transformace

x' = x - vt, y' = y/g , z' = z/g, t = vx/c²

a ukázal, že určité fyzikální rovnice jsou vůči nim invariantní. Tyto transformace s jiným škálovacím faktorem jsou nyní známy pod názvem Lorentzovy transformace. Grupa Lorentzových transformací popisuje geometrii speciální teorie relativity. Voigt se těmito transformacemi zabýval při své práci na Dopplerově posuvu.

Voigt vedl korespondenci s Lorentzem o Michelsonově-Morleyho experimentu v letech 1887 a 1888. Do té doby Lorentz nepřisuzoval uvedeným transformacím zvláštní význam. Ale Michelsonův-Morleyův experiment z roku 1887 vzbudil jeho zájem.

V roce 1889 irský fyzik George FitzGerald v časopise Science publikoval článek "Éter a zemská atmosféra", jehož podstatná část nebyla technického charakteru. FitzGerald se mimo jiné zmínil o Michelsonově-Morleyově experimentu a pokusil se jej vysvětlit. Tvrdil, že délka hmotných těles by se mohla zkracovat ve směru pohybu o hodnotu úměrnou druhé mocnině podílu rychlosti tělesa a rychlosti světla.

Lorentz FitzGeraldovu práci nečetl. V roce 1892 navrhl téměř identické zkrácení těles ve své práci, v níž analyzoval výsledek Michelsonova-Morleyova experimentu. Když se v roce 1894 Lorentz dověděl, že FitzGerald publikoval podobnou teorii jako první, napsal o tom FitzGeraldovi. Ten mu odpověděl, že skutečně svůj článek zaslal časopisu Science, ale nevěděl, zda byl publikován. Byl velice potěšen tím, že Lorentz s ním souhlasil. Lorentz pak vynaložil veškeré své úsilí, aby vešlo ve známost, že FitzGerald navrhl myšlenku kontrakce těles jako první.

V roce 1898 Larmor v článku "Éter a hmota", v němž se zabýval Lorentzovými transformacemi, ukázal, že FitzGeraldova-Lorentzova kontrakce těles je jejím důsledkem.

V roce 1899 Lorentz popsal Lorentzovy transformace a ukázal podobně jako Larmor, že FitzGeraldova-Lorentzova kontrakce je jejich důsledkem.

V roce 1898 Jules Henri Poincaré publikoval významný článek "La mesure du temps" předjímající teorii relativity. Uvedl v něm, že nemáme žádnou zkušenost s rovností časových intervalů. Současnost dvou událostí nebo pořadí jejich průběhu, stejně jako rovnost dvou časových intervalů, musí být definována takovým způsobem, aby vyjádření přírodních zákonů bylo co nejjednodušší.

Od roku 1900 začal být koncept éteru jako hmotné substance zpochybňován. Paul Drude napsal, že éter nemusí být považován za hmotnou substanci ale spíše za prostor s určitými fyzikálními vlastnostmi.

Poincaré v roce 1900 na Pařížském kongresu matematiků vystoupil s přednáškou "Existuje skutečně éter?". V roce 1904 na Mezinárodním kongresu umění a vědy v St. Louis byl Poincaré již velmi blízko formulaci speciální teorie relativity. Ukázal, že pozorovatelé v různých vztažných soustavách mají hodiny, které měří jen lokální čas. Pozorovatel podle principu relativity není schopen zjistit, zda se nachází v klidu nebo v pohybu.

5. června 1905 Poincaré publikoval důležitou práci "Sur la dynamique de l'electron". Albert Einstein svoji první práci o speciální teorii relativity publikoval 30. června 1905. Poincaré ve svém článku tvrdil, že nemožnost prokázání absolutního pohybu je obecným zákonem přírody. Poincaré dále ukázal, že transformace obsahující rotaci tvoří grupu, nazvanou dnes Poincarého grupou.

Einsteinova práce je významná hned z několika důvodů. Není jen pokusem vysvětlit experimentální výsledky, ale je jednoduchá a matematicky krásná. Inerciální vztažné soustavy se vůči sobě pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem. Celá teorie je postavena na dvou postulátech:

• Fyzikální zákony jsou mají ve všech inerciálních vztažných soustavách stejný tvar.
• V každé inerciální vztažné soustavě je rychlost světla c stejná bez ohledu na to, zda je těleso v klidu nebo se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem.

V září 1905 Einstein publikoval další krátký článek, v němž dokázal důležitý vztah

    E = mc² .

V roce 1908 napsal článek o speciální teorii relativity také Max Karl Ernst Ludwig Planck. V té době již speciální teorie relativity byla řadou fyziků přijata. V době, kdy Einstein publikoval svůj první článek v roce 1905, byl expertem třetí třídy v patentovém úřadě v Bernu. V roce 1908 publikoval Minkowski důležitý článek, který popsal Maxwellovy-Lorentzovy rovnice v tenzorovém tvaru. Dále ukázal, že Newtonova teorie gravitace není konzistentní se speciální teorií relativity.

Největší zásluhu o speciální teorii relativity mají Hendrik Antoon Lorentz, Henri Poincaré a samozřejmě její autor Albert Einstein. Je proto jistě zajímavé prozkoumat jejich reakci na konečnou formulaci teorie. Albert Einstein strávil řadu let přemýšlením o této teorii poté, co objevil dva postuláty, na jejichž základě teorie stojí. Einstein vždy odmítal názor, že kroky, které učinili ostatní na základě výsledků Michelsonova-Morleyho pokusu, ovlivnily nějak jeho myšlení.

Poincarého reakce na Einsteinovu práci z roku 1905 byla také podivná. Když Poincaré v roce 1909 přednášel v Göttingenu o teorii relativity, nikdy se nezmínil o Einsteinovi. Teorii uvedl pomocí tří postulátů, z nichž třetím byla Fitzgeraldova- Lorentzova kontrakce. Je nemožné uvěřit, že tak brilantní fyzik jako byl Poincaré by nepochopil Einsteinův článek. Je pravdou, že Poincaré se ve svém článku o teorii relativity ani slovem nezmínil o Einsteinovi. Lorentz naopak často ve své práci citoval jak Poincarého tak Einsteina.

Lorentz sice porozuměl Einsteinovým článkům, ale nikdy zřejmě nepřijal jejich závěry. Vyplývá to z jeho přednášky v roce 1913.

Přes Lorentzovy výhrady byla speciální teorie relativity brzy všeobecně přijata. V roce 1912 byli Einstein a Lorentz navrženi na udělení Nobelovy ceny za práci na speciální teorii relativity, ale překvapivě jim nikdy nebyla udělena. Výbor opatrně vyčkával na experimentální potvrzení teorie. Když takové potvrzení již bylo k dispozici, Einstein se zabýval další jinou prací.
 

Obecná teorie relativity je teorií gravitační interakce. Ve starověkém Řecku první teorii gravitace vytvořil Aristoteles, který se zabýval pohybem těles. Věřil, že síla působí pouze při dotyku těles a že nemůže působit na dálku. Aby se těleso mohlo pohybovat rovnoměrným pohybem, musí na něj působit síla stálé velikosti.

Kopernikova teorie Sluneční soustavy a pohybu planet vnesla do teorie gravitace zcela nové myšlenky. Keplerovy zákony pohybu planet umožnily Galileovi porozumět pohybovým zákonům padajících těles a staly se základem Newtonovy teorie gravitace. Isaac Newton svoji teorii popsal v díle "Principia" v roce 1687. Newton ukázal, že dvě tělesa o hmotnostech m₁ a m₂ ve vzdálenosti r se přitahují silou

F = G \frac{m₁.m₂}{r²}

kde G je univerzální gravitační konstanta.

Euler vypracoval analytickou formu Newtonových pohybových zákonů. Lagrange, Hamilton a Jacobi vypracovali velmi mocné a obecné metody a definovali nové veličiny, jako potenciál. Newtonova teorie gravitace byla potvrzena řadou experimentů a měření díky práci Clairauta a Laplace. Laplace v roce 1799 publikoval dílo "Traité du Mécanique Céleste", v němž se zabýval stabilitou Sluneční soustavy. Studium gravitačního potenciálu umožnilo studovat variace gravitačního pole Země způsobené nepravidelností povrchu Země. Poisson použil gravitační potenciál pro sestavení rovnice, kterou bylo možno řešit za nejobecnějších podmínek.

Newtonova teorie gravitace byla velmi úspěšná. Bylo jen málo důvodů hledat její slabiny. Jednou ze slabin teorie byl problém, jak dvě tělesa získají informace jedno o druhém. Některé úvahy o gravitaci uvedl v roce 1864 James Clerk Maxwell ve své práci "A dynamical theory of the electromagnetic field". Práce objasňuje působení elektromagnetického pole mezi tělesy bez existence síly působící na velké vzdálenosti. Na konci své práce se Maxwell zabýval gravitační interakcí a uvedl, že by se gravitační pole mohlo chovat podobně jako elektromagnetické pole.

Maxwell současně upozornil na paradox. Energie éteru by se musela za přítomnosti těles snižovat. Maxwell přiznal, že není schopen vysvětlit existenci éteru s takovými vlastnostmi.

V roce 1900 Hendrik Antoon Lorentz vyslovil hypotézu, že gravitace by mohla být představována silou, která se šíří rychlostí světla. Jules Henri Poincaré ve svém článku z června 1905 uvedl, že všechny síly by se měly transformovat podle Lorentzovy transformace. Newtonův gravitační zákon ale tuto vlastnost nemá. Poincaré proto navrhl existenci gravitačních vln šířících se rychlostí světla.

V roce 1907 se Albert Einstein připravoval na úpravy své speciální teorie relativity. Začal se ale zabývat otázkou, jak je třeba modifikovat Newtonovu gravitace, aby splňovala speciální teorii relativity. Einstein vyšel ze zásadní úvahy, že pozorovatel padající volným pádem nepozoruje žádné gravitační pole. Navrhl princip ekvivalence, podle něhož gravitační pole odpovídá zrychlení vztažné soustavy.

Až do roku 1911 Einstein o teorii gravitace žádný článek nepublikoval. Zjistil, že ohyb světla v gravitačním poli, k němuž dospěl v roce 1907, je důsledkem principu ekvivalence a že tento ohyb lze snad prokázat astronomickým pozorováním. V roce 1907 se Einstein ještě domníval, že experimentální ověření jeho teorie v pozemských podmínkách není možné. Ale později dospěl k úvahám o gravitačním rudém posuvu spektrálních čar, kdy světlo unikající z gravitačního pole ztrácí energii, což vede k prodloužení jeho vlnové délky.

Další článek o gravitaci Albert Einstein publikoval v roce 1912. Ukázal, že v obecném případě vztažné soustavu se zrychlením nelze použít Lorentzovy transformace. Einstein zjistil, že rovnice gravitačního pole jsou nelineární a proto princip ekvivalence platí pouze lokálně.

Einsteinova práce motivovala další autory k práci na teoriích gravitace. Práce Nordströma, Abrahama a Mieho využívaly všech Einsteinových závěrů, ale nevedly k uspokojivé teorii. Einstein učinil mezitím další důležitý krok.

Jestliže mají být všechny zrychlené vztažné soustavy vzájemně ekvivalentní, pak nelze použít euklidovskou geometrii. Einstein využil toho, že jako student studoval Gaussovu teorii ploch a zjistil, že neeuklidovská geometrie má fyzikální význam. Tyto své úvahy konzultoval se svým přítelem Grassmanem. Herman Günther Grassman Einsteina seznámil s matematickými články Bernharda Riemanna, Georgoria Ricciho-Curbastra a Tulia Leviho-Civity. Einstein tehdy napsal, že díky tomu získal hluboký obdiv k matematice.

V roce 1913 Einstein a Grassman publikovali společný článek, ve kterém rozšířili tenzorovou analýzu Ricciho a Leviho-Civity. Grassman definoval Einsteinův a Riemannův-Christofelův tenzor, které se společně s Ricciho tenzorem staly základním nástrojem budoucí teorie. Einstein popsal gravitační pole pomocí metrického tenzoru, ale teorie ještě nebyla správná. Když v roce 1913 navštívil Einsteina Max Planck, Einstein ho seznámil se svými teoriemi. Planck tehdy Einsteinovi řekl, že jako starý přítel mu radí, aby této práce zanechal. Především nemůže uspět a pokud přeci jen uspěje, nikdo mu nebude věřit.

Max Planck se mýlil, ale pouze v tom, že by Einstein nedospěl k úspěšnému výsledku. Nová teorie nebyla většinou fyziků přijata. V říjnu 1914 napsal pojednání o tenzorové analýze a diferenciální geometrii. Ve druhé polovině roku 1915 poprvé publikoval svoji teorii gravitace. Pojednání z října 1914 vedlo ke korespondenci mezi Einsteinem a Levim-Civitou, který Einsteina upozornil na některé technické chyby. Einstein byl spoluprácí s Levim-Civitou velice potěšen a Levi-Civita se stal příznivcem jeho teorie.

Koncem června 1915 Einstein strávil týden v Göttingenu, kde přednesl šest dvouhodinových přednášek o své zatím nesprávné obecné teorii relativity. Jeho přednášek se zúčastnili také David Hilbert a Felix Klein.

Poslední kroky k dokončení obecné teorie relativity učinili téměř současně Albert Einstein a David Hilbert. Od listopadu 1915 si oba muži vzájemně dopisovali. Dnes je již nemožné zjistit, kdo se od koho naučil více. Oba dospěli ke stejnému tvaru rovnic gravitačního pole s rozdílem jen několika dnů.

18. listopadu 1915 Albert Einstein získal důležité potvrzení své obecné teorie relativity řešením problému perihélia planety Merkur. V roce 1859 Le Verrier zjistil, že perihélium (bod dráhy planety nejblíže Slunci) se stáčí o 38" za sto let. Astronomové navrhli řadu různých řešení. Planeta Venuše je o 10% těžší, než se původně myslelo. Uvnitř dráhy planety Merkur se nachází ještě další planeta. Planeta Merkur má nepozorovatelný měsíc. Někteří astronomové a fyzikové navrhovali, že Newtonův gravitační zákon není správný. Jednou z variant "opraveného" gravitačního zákona byl vztah

F = G \frac{m₁.m₂}{r^{2 + e}}

kde e bylo velmi malé číslo. V roce 1882 bylo stáčení perihélia upřesněno na 43" za sto let. V roce 1911 Einstein začal přikládat značný význam astronomickým pozorováním a spolupracoval s Freundlichem na měření dráhy planety Merkur, aby potvrdil svoji obecnou teorii relativity. Freundlich ve svém článku v roce 1913 potvrdil stáčení perihélia dráhy planety Merkur o 43" za sto let. Einstein použil svoji teorii gravitace a určil, že tato hodnota přesně odpovídá jeho teoretickému výpočtu. 18. listopadu 1915 sice Einstein ještě neměl správné rovnice gravitačního pole, ale tyto rovnice neměly vliv na výpočet stáčení perihélia planety Merkur.

V článku z 18. listopadu 1915 Albert Einstein dále uvedl, že světelné paprsky hvězd pozorovaných v blízkosti Slunce se musí zakřivovat s faktorem 2". V roce 1911 uváděl ještě hodnotu 1,74". Z pokusů změřit zakřivení paprsků blízkých hvězd během zatmění Slunce byla většina neúspěšných. Neúspěchy zavinilo oblačné počasí, probíhající válka, nespolehlivost měření a podobně. Teprve britská expedice do západní Afriky v roce 1919 pod vedením Arthura Stanleyho Eddingtona potvrdila Einsteinovu předpověď hodnotami 1,98" +/- 0,3" a 1,61" +/- 0,3".

25. listopadu 1915 Albert Einstein publikoval článek "Rovnice gravitačního pole", v němž uvedl již správné rovnice pole obecné teorie relativity.

Dlouhou dobu se vedli diskuse o Einsteinově prvenství. Tyto pochybnosti ale byly v roce 1997 rozptýleny. Klíčová Einsteinova práce o teorii relativity byla dokončena 25. 11. 1915 a publikována byla 2. 12. 1915. Práce jeho spolupracovníka, Davida Hilberta, která byla publikována 31. 3. 1916 a která obsahovala téměř identické rovnice, byla dokončena již 20. 11. 1915, tedy pět dní před dokončením práce Albertem Einsteinem. Proto z toho někteří vyvozovali, že Einstein tyto rovnice opsal od Hilberta. Nový výzkum ale dokázal, že tato hypotéza není pravdivá. Je totiž prokázáno, že původní Hilbertova práce neobsahovala podstatné rovnice, které David Hilbert do práce doplnil až 20. 12., když David Hilbert prostudoval Einsteinův rukopis. Einstein a Hilbert v této době totiž byli velmi blízcí spolupracovníci. (Science, 14 November 1997.)

V Hilbertově práci se objevily závěry, které Einstein ve své práci neuváděl. Hilbert použil variační princip na gravitaci a využil vět Emmy Noetherové, která v roce 1915 působila v Göttingenu. Hilbert ve svém článku vyjadřoval naději, že jeho práce povede ke sjednocení gravitace a elektromagnetismu.

Emmy Ammalie Noether publikovala důkaz svých vět v roce 1918 v článku, který vyšel pod jejím jménem. Tyto věty se staly silným nástrojem teoretické fyziky. Zvláštní případ vět Emmy Noetherové popsal v roce 1917 Weyl, když z nich odvozoval identity, které nezávisle na sobě objevili v roce 1889 Georgorio Ricci-Curbastro a v roce 1902 Luigi Bianchi.

Poté, co Albert Einstein v roce 1915 publikoval článek obsahující správný tvar rovnic pole, Karl Schwarzschild nalezl v roce 1916 jejich matematické řešení, které odpovídalo gravitačnímu poli hmotného kompaktního objektu. V době, kdy byla práce publikována, šlo o čistě teoretickou záležitost. Pozdější práce o neutronových hvězdách, bílých trpaslících, pulsarech a černých dírách Schwarzschildovo řešení plně využily.

Albert Einstein dosáhl konečné verze obecné teorie relativity po dlouhé cestě provázené řadou chyb. Většina Einstenových kolegů přestala mít brzy přehled o řadě na sebe navazujících článků, které opravovaly a rozšiřovaly články předcházející.

V březnu 1916 Einstein dokončil článek vysvětlující obecnou teorii relativity srozumitelnějším způsobem. Článek byl příznivě přijat a Einstein napsal další článek o teorii relativity, který se dočkal dokonce 20 vydání.

Teorie relativity hraje významnou roli v řadě fyzikálních oblastí, od urychlovačů částic až po současnou kosmologii.
 

Matematické hlavolamy mohou být jednoduché až velmi hluboké problémy, které dosud nejsou vyřešeny. Celou historii matematiky provází řada matematických her, které někdy vedly ke studiu řady oblastí matematiky. Číselné hry, geometrické hlavolamy, problémy teorie grafů a kombinatorické problémy jsou nejčastějšími typy matematických her.

Rhindský papyrus ze starověkého Egypta napsaný kolem roku 1850 př.n.l. ukazuje, že egyptská matematika vycházela z řady dnes klasických hlavolamů. Příkladem takového hlavolamu je úloha, kdy v každém ze sedmi domů žije sedm koček a kočka ulovila sedm myší. Každá myš snědla sedm klasů a každý klas obsahoval sedm zrnek. Kolik bylo všeho celkem?

Podobný problém se objevuje ve Fibonacciho práci "Liber Abaci" z roku 1202. Číslo sedm bylo považováno za magické.

Řečtí matematikové znali řadu různých hlavolamů. Nejznámější pochází od Archiméda z jeho knihy "Počítání písku".

Archimédes také popsal hru, v níž je čtverec rozdělen na čtrnáct částí a má se z nich složit obrázek. Tuto hru znali již starověcí Číňané a vyžaduje jen málo matematických zkušeností. Složitější problém je zjistit, kolik konvexních obrazců lze složit ze sedmi částí skládačky. Připomeňme znovu, že číslo sedm mělo magické vlastnosti. Tyto hlavolamy získaly novou popularitu díky britskému matematikovi Charlesi Lutwidgeovi Dodgsonovi, který pod pseudonymem Lewis Carrol napsal příběhy Alenky.

Leonardo Pissano Fibonacci objevil zajímavou posloupnost čísel, kde každé následující číslo je součtem dvou předcházejících čísel:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Studium posloupností tohoto typu zaujalo řadu matematiků a dnes je vydáván odborný časopis, který je věnován této oblasti matematiky. Jiným zajímavým problémem je dnes velmi známý problém produkce králíků.

V uzavřené ohradě je pár králíků. Kolik králíků bude v ohradě za rok, jestliže tento pár je schopen každý měsíc zplodit další pár králíků. Každý nově zplozený pár králíků je produktivní od druhého měsíce života.

Arabský matematik Ibn Kallikan v roce 1256 popsal jeden z prvních šachovnicových hlavolamů. Na první pole šachovnice je umístěno zrnko rýže a na každé následující pole je umístěn dvojnásobek zrnek z pole předchozího. Kolik bude celkem zrnek rýže na šachovnici? Jeden z prvních šachových problémů popsal Guarini di Forli v roce 1512. Ptal se, jak a kolika tahy koně lze dva bílé a dva černé koně vzájemně zaměnit, pokud jsou umístěny na šachovnici o rozměrech 3x3.

Zajímavými problémy jsou magické čtverce o rozměrech n x n, v nichž jsou použita čísla 1, 2, 3, ... n² tak, že součet každého řádku, každého sloupce a obou hlavních diagonál je vždy stejné číslo. Tyto problémy se objevily kolem roku 2200 př.n.l. ve starověké Číně a Číňané jej nazývali lo-šu. Počátkem 16. stol. Cornelius Agrippa sestavil magické čtverce pro n = 3,4,5,6,7,8,9, které dal do souvislosti s tehdy známými sedmi planetami (včetně Měsíce a Slunce). Dürerovo malířské dílo "Melancholia" obsahuje z roku 1514 obsahuje obrázek magického čtverce.

Celkový počet magických čtverců daného řádu je dosud nevyřešeným problémem dokonce i pro n=5.

Magické čtverce mohou být symetrické podle různých os. Kromě toho byly studovány další vlastnosti. Euler studoval typ čtverců známý jako tzv. pandiagonální čtverec. Pro řád 2(2n+1) nemůže existovat žádný takový čtverec. Pro n = 4 existuje 880 magických čtverců, z nichž 48 je pandiagonálních. V roce 1908 Veblen vypracoval pro studium magických čtverců maticové metody.

První známé matematické hry pocházejí od Recordea a Cardana. Cardan vymyslel hru skládající se z určitého počtu kroužků na tyčce. Tuto hru popsal ve své knize "De Subtililate" z roku 1550. Kroužky jsou uspořádány tak, že pouze kroužek A na jednom konci lze vyjmout bez problémů. Pokud se má vyjmout některý kroužek ležící pod kroužkem A, musí se vyjmout a nazpět navléknout všechny ostatní kroužky. Vyjmutí všech kroužků vyžaduje celkem (2ⁿ⁺¹-1)/3 tahů, pokud je n liché, nebo (2ⁿ⁺¹-2)/3, pokud je n sudé. Tento problém se podobá známému problému Hanojských věží, který objevil Lucas. Lucas také nalezl řešení problému Cardanových kroužků pomocí binární aritmetiky.

Dalším autorem zajímavých matematických her byl Tartaglia. Objevil řadu aritmetických problémů. Jedním z jeho problémů je určení váhy neznámého závaží vážením pomocí známých závaží s co nejmenším počtem kroků a problémy, které lze řešit použitím teorie grafů.

Bachet byl známým básníkem, překladatelem a také matematikem Francouzské akademie. V roce 1621 přeložil Diophantovo dílo "Arithmetica". Tuto knihu studoval Pierre de Fermat, když na její okraje popsal svoji Poslední větu. Bachet byl také známým sběratelem matematických hlavolamů, které v roce 1612 publikoval pod názvem "Problémes plaisans et délectables qui font par les nombres". Tato kniha obsahuje řadu problémů zmíněných výše, dále problém mostů přes řeku, problém vážení, matematické triky, magické čtverce a další.

Leonhard Euler je jedním z mála matematiků, kterého hlavolamy přivedly k velmi hlubokým matematickým oborům. Kromě problémů magických čtverců a početních problémů se Euler zabýval problémem tahů koněm na šachovnici, problémem 36 důstojníků a problémem sedmi mostů v Královci (Königsberg).

Euler nebyl prvním matematikem, který se zabýval problémem tahů koněm. Problémem se zabýval také Abraham de Moivre a Montmort a počátkem 18. století nalezli jeho řešení. Ozanam a Montucla pak De Moivreovo a Montmortovo řešení opatřili komentářem. V roce 1759 Euler se začal na výzvu L. Bertranda z Ženevy problémem tahů koněm také zabývat a jako první provedl jeho hlubokou analýzu, která vedla k důležitým konceptům v teorii grafů. K problému tahů koněm dále přispěli Joseph Louis Lagrange a Vandermonde.

Problém sedmi mostů v Königsbergu předznamenal teorii grafů a topologii. Problém 36 důstojníků vypracoval v roce 1779 Leonhard Euler. Euler si položil otázku, zda lze umístit 6 vojenských jednotek se 6 důstojníky různých hodností do čtverce 6x6 tak, aby se žádná hodnost ani žádná jednotka neopakovala v žádném sloupci nebo řádku. Problém je neřešitelný, ale vedl k důležitým pracím v kombinatorice.

Dalším známým šachovým problémem je problém osmi královen, zda lze na šachovnici rozmístit osm královen tak, aby se žádné dvě neohrožovaly. Zobecněný problém, kolika různými způsoby lze n královen umístit na šachovnici nxn tak, aby se neohrožovaly, stanovil v roce 1850 Franz Nauck. V roce 1874 Günther a Glaisher popsali metody řešení těchto problémů pomocí determinantů.

V roce 1857 sir William Rowan Hamilton popsal na zasedání Britské asociace v Dublinu svoji hru, kterou prodal firmě J. Jacques a synové za 25 liber a nechal ji patentovat v roce 1859 Londýně. Hra vycházela z Eulerova problému tahů koněm. Problém souvisel s teorií grafů. Prodalo se ale jen několik kopií této hry.

Dalším zajímavým problém byl Kirkmanův problém školaček, který vypracoval v roce 1850. Kirkman se ptá, zda lze sestavit 15 školaček do pěti řad po třech tak, aby se během sedmi dnů nesetkaly žádné dvě dívky v určité trojici více než jednou. Problém lze zobecnit na n dělitelné 3, kdy n školaček chodí (n-1)/2 dní tak, aby se žádné dvě dívky nesetkaly v trojici více než jednou. V roce 1850 bylo řešení problému nalezeno pro n=9, 15 a 27. Problém se stal důležitou součástí kombinatoriky.

Dvěma profesionálními objeviteli matematických hlavolamů byli Sam Loyd a Henry Ernest Dudeney, kteří vymysleli řadu různých matematických hlavolamů.

Loyd se také zabýval šachovými hlavolamy. Vymyslel řadu hlavolamů, z nichž některé jsou velmi obtížné. Tyto hlavolamy byly publikovány v americkém časopise the American Chess Journal.

V roce 1883 Edouard Lucas vymyslel problém Hanojských věží.

Hra pentamino vznikla až později. Problém spočívá ve vydláždění čtverce 8x8 se čtvercovou dírou uprostřed a poprvé byl vyřešen v roce 1935. Problém byl v roce 1958 zcela vyřešen pomocí počítače a bylo nalezeno přesně 65 řešení. V roce 1953 vznikl obecnější problém polyomina. Dosud nevyřešeným problémem je, kolik různých polyomin každého řádu existuje. Zatím je známo 12 pentamin, 35 hexamin a 108 heptamin (včetně jednoho podezřelého s dírou uprostřed). Tyto hlavolamy vymyslel matematik a elektrický inženýr Solomon W. Golomb z Jižní Kalifornské univerzity.

Existuje trojrozměrná verze pentamin, kde místo čtverců se používají krychle. Z trojrozměrných pentamin lze sestavit pravoúhelný hranol 3x4x5. S touto úlohou těsně souvisí krychle "Soma" od Pieta Heina. Tato krychle se skládá ze 7 částí, přičemž 6 částí obsahuje 4 malé krychle a jedna 3 malé krychle. Cílem je sestavit krychli 3x3x3. Existuje celkem 230 různých způsobů.

Velmi podobnou starší hrou z roku 1921 byl hlavolam P. A. MacMahona. Hra obsahovala 30 kostek. Každá kostka měla své stěny obarvené jednou z permutací šesti barev, přičemž žádné dvě kostky nebyly vybarveny stejně. Náhodně se vybere jedna z kostek a hledá se dalších 8 kostek tak, aby vytvořily kostku 2x2x2 se stejným uspořádáním barev, jako měla první náhodně vybraná kostka. Každá stěna kostky 2x2x2 má jedinou barvu a vnitřní stěny si musí v barvách odpovídat.

Matematický logik Raymond Smullyan vytvořil řadu šachových problémů zcela jiného typu než jsme doposud popisovali. Jde o problém retrográdní (zpětné) analýzy, kdy na základě současného stavu objektu se snažíme určit jeho minulé stavy. Problémy retrográdní analýzy studuje matematická logika.

Jedním z nejvýznamnějších objevitelů moderních matematických hlavolamů a jejich sběratelem je Martin Gardner, který vydával 30 let velmi úspěšný sloupek v časopise Scientific American. V roce 1973 publikoval některé šachové problémy retrográdní analýzy. Nedávný rozvoj osobních počítačů zásadním způsobem rozšířil možnosti tvorby matematických počítačových her.

Snad vůbec nejznámějším matematickým hlavolamem je Rubikova kostka, kterou v roce 1974 vymyslel a v roce 1975 patentoval maďarský matematik Ernö Rubik. Její úspěch byl fenomenální. Od roku 1977 zaplavila maďarský trh. V roce 1982 se prodalo jen v Maďarsku 10 miliónů Rubikových kostek, což je více, než mělo Maďarsko obyvatel. Na celém světě se prodalo asi 100 miliónů Rubikových kostek.

Rubikova kostka je hlavolamem z teorie grup, ačkoliv naprostá většina lidí o tom neměla nejmenší tušení. Skládala se z 3x3x3 menších kostek a na počátku každá stěna Rubikovy kostky má jednu barvu. Střední vrstvu stěn kostky tvoří orientaci kostky. Krajní vrstvy stěn lze otáčet o násobky 90 stupňů. Existuje celkem 43,252,003,274,489,856 různých uspořádání Rubikovy kostky, ale pouze jediné odpovídá počáteční pozici. Řešení problému Rubikovy kostky ukázalo důležitost konjugací a komutátorů grup.
 

Základní věta algebry tvrdí:

Každá polynomiální rovnice stupně n s komplexními koeficienty

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0

má právě n komplexních kořenů. Tuto větu lze vyjádřit řadou různých ekvivalentních forem. Např. lze tvrdit, že každou reálnou polynomiální rovnici lze vyjádřit jako součin reálných lineárních a kvadratických členů. Této skutečnosti se využívá při integraci funkcí rozkladem funkce na součet parciálních zlomků.

První doložený doklad studia rovnic pochází od al'Khwarizmiho (asi 800), který hledal pouze kladné kořeny, se kterými základní věta algebry bezprostředně nesouvisí. Teprve Cardan se začal zabývat obecnějšími veličinami než jsou reálná čísla, když studoval kořeny kubické rovnice. Řešil rovnici

x³ = 15x + 4

a nalezl kořeny x = 4 a x = \sqrt(-121). Cardan již uměl pracovat se svými "komplexními čísly", přestože ještě nevybudoval žádnou jejich teorii.

V roce 1572 Bombelli v práci "Algebra" popsal řadu pravidel pro práci s těmito "komplexními čísly". V roce 1637 René Descartes vyslovil myšlenku, že každá polynomiální rovnice stupně n má n kořenů, ale některé z nich neodpovídají žádné reálné hodnotě.

Viéte popsal polynomiální rovnice stupně n, která má n kořenů. Domněnku, že tato rovnice musí mít n kořenů vyslovil Albert Girard v roce 1629 v práci "L'invention en algébre". Věřil, že polynomiální rovnice stupně n musí mít n kořenů, ale nebyl schopen ukázat, že tato řešení jsou tvaru a + bi.

Harriot objevil, že polynom, který je pro hodnotu t roven nule, má kořen x - t. Tento fakt se ale stal známý teprve díky Descartesově práci "La géométrie".

Gottfried Wilhelm von Leibniz v roce 1702 "dokázal", že základní věta algebry neplatí. Tvrdil, že rovnici x⁴ + t⁴ nelze vyjádřit jako součin dvou reálných kvadratických členů. Dopustil se chyby v tom, že imaginární jednotku i = \sqrt(-1) nepoužil ve výrazu a + bi.

V roce 1742 Leonhard Euler v korespondenci s Nicolausem Bernoullim a Goldbachem ukázal, že se Leibniz mýlil.

V roce 1746 Jean le Rond d'Alembert se jako první pokusil základní větu algebry dokázat. Pro polynom f nalezl čísla b, c taková, že f(b) = c a pak ukázal, že existují komplexní čísla z₁ a w₁ taková, že platí:

|z₁| < |c|, |w₁| < c .

Pak iteračním procesem postupoval k řešení f = 0. Jeho důkaz měl několik nedostatků. Použil lemma bez důkazu, které v roce 1851 dokázal Puiseau pomocí základní věty algebry. Dále nedokázal, že jeho iterační proces musí nutně konvergovat. Přesto jeho důkaz byl důležitý.

Leonhard Euler brzy dokázal, že každý reálný polynom stupně n <= 6 má přesně n komplexních kořenů. V roce 1749 se pokusil dokázat větu, že každý polynom n-tého stupně s reálnými koeficienty má přesně n komplexních kořenů.

Jeho důkaz v "Recherches sur les racines imaginaires des équations" vycházel z dekompozice jednoduchého polynomu stupně 2ⁿ, který je součinem dvou jednoduchých polynomů stupně 2^n-1. Euler předpokládal na základě Cardanovy práce, že platí:

x^2m + A.x^2m-2 + B.x^2m-3 + ... =

= (x^m + tx^m-1 + gx^m-2 + ...).

.(x^m - tx^m-1 + hx^m-2 + ...)

a pak vynásobil a porovnal koeficienty na obou stranách rovnosti. Euler tvrdil, že členy g, h, ... jsou racionálními funkcemi členů A, B, ..., t. Tento fakt dokázal až pro n = 4, ale obecný důkaz nepodal.

V roce 1772 Joseph Louis Lagrange kritizoval Eulerův důkaz. Kritizoval, že Eulerovy racionální funkce mohou obsahovat členy tvaru 0/0. Lagrange využil permutací kořenů, aby odstranil všechny mezery v Eulerově důkazu. Stále však vycházel z dosud nedokázaného předpokladu, že polynomiální rovnice stupně n musí mít n kořenů určitého druhu. Odvodil však navíc, že tyto kořeny musí mít tvar a + bi.

V roce 1795 se Pierre Simon Laplace pokusil dokázat základní větu algebry zcela jiným způsobem, použitím diskriminantu polynomu. Jeho důkaz byl velice elegantní, ale stále ještě nedokázal existenci kořenů.

Johan Carl Friedrich Gauss je obvykle považován za prvního matematika, který podal důkaz základní věty algebry. Ve své doktorské práci v roce 1799 kromě svého důkazu popsal problémy důkazů ostatních autorů.

Gauss netvrdil, že jeho důkaz je zcela správný. Dnes víme, že obsahoval některé závažné mezery a nesplňoval dnešní standardy kladené na přesné důkazy.

V roce 1814 Švýcar Jean Robert Argand publikoval důkaz základní věty algebry, který byl jednodušší než všechny dosud publikované důkazy. Jeho důkaz vycházel z d'Alembertovy myšlenky z roku 1746. Argand načrtnul myšlenku důkazu o dva roky dříve ve své práci "Essai sur une maniére de représenter les quantitiés imaginaires dans les constructions géometriques". V této práci interpretoval imaginární jednotku i jako otočení roviny o 90 stupňů. V práci "Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyse" Argand zjednodušil d'Alembertovu myšlenku použitím obecné věty o existenci maxima a minima funkce.

V roce 1820 Augustin Louis Cauchy věnoval celou kapitolu své práce "Cours d'analyse" Argandovu důkazu. Argandův důkaz nebyl ještě úplný, protože obecný koncept minima funkce se teprve vyvíjel. Chrystal ve své učebnici "Algebra" z roku 1886 Argandův důkaz podrobil kritice.

Dva roky po Argandově důkazu v roce 1816 publikoval Johan Carl Friedrich Gauss druhý důkaz základní věty algebry. Gauss použil Eulerovy návrhy, ale již nevycházel z předpokladu existence kořenů. Tento Gaussův důkaz je již kompletní a správný.

Třetí důkaz publikoval Gauss také v roce 1816, podobně jako první na topologickém základě. V roce 1831 Gauss zavedl termín "komplexní čísla" a v roce 1821 zavedl Cauchy termín "konjugace".

Gaussova kritika Lagrangeova a Laplaceova důkazu se ve Francii nesetkala s kladnou odezvou. Druhé vydání Lagrangeova pojednání o rovnicích z roku 1828 stále ještě obsahuje pouze Lagrangeův a Laplaceův důkaz základní věty algebry a není v něm žádná zmínka o Gaussově kritice.

V roce 1849, padesát let po prvním důkazu, Gauss dokázal obecné tvrzení, že každá polynomiální rovnice n-tého stupně s komplexními koeficienty má n komplexních kořenů.

Je třeba však poznamenat, že Gauss, podobně jako všichni v jeho době, věřil, že existuje úplná hierarchie imaginárních veličin, z nichž komplexní čísla jsou nejjednodušší. Gauss je označoval jako stíny stínů.

Kolem roku 1843 sir William RowanHamilton zobecnil komplexní čísla na kvaterniony. Kvaterniony ale netvoří komutativní algebru. První důkaz, že pouze komutativní algebraické pole obsahuje reálná čísla, podal v roce 1863 ve svých přednáškách Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Tento důkaz byl publikován v Hankelově knize "Theorie der complexen Zahlensysteme".

Argandův důkaz byl pouze existenčním důkazem a neumožňoval konstrukci kořenů. Weierstrass v roce 1859 začal hledat první konstruktivní důkaz, ale teprve v roce 1940 konstruktivní obdobu Argandova důkazu podal Hellmuth Knesser. V roce 1981 tento důkaz zjednodušil jeho syn Martin Knesser.
 
21. Eliptické funkce a integrály

Terminologie eliptických integrálů a funkcí se během jejich studia měnila. To, co se původně nazývalo eliptické funkce, se dnes nazývá eliptické integrály a termín eliptické funkce je vyhrazen pro jinou oblast matematické analýzy. Proto zde budeme používat moderní terminologii, abychom předešli nedorozumění.

V průběhu historie se přístup matematiků k řešení problémů postupně měnil. První algebraikové používali pro důkazy tvrzení nástroje geometrie. Podobně první integrály souvisely s problémy geometrických objektů.

Řada integrálů má svůj původ ve snaze řešit problémy klasické mechaniky. Například perioda kyvadla souvisí s integrálem, který vyjadřuje délku oblouku, ale tento integrál nelze vyjádřit pomocí "jednoduchých" funkcí. Podobným problémem je ohyb tenké membrány.

Studium eliptických integrálů začalo v roce 1655, kdy Wallis se zabýval délkou oblouku elipsy. Wallis dále studoval délky oblouků různých cykloid. Jak Wallis, tak Isaac Newton publikovali pro délku oblouku elipsy nekonečný rozvoj v řadu.

Eliptický integrál lze definovat jako integrál tvaru

\int_{a}^{b} r(x,\sqrt{p(x)} dx

kde r(x,y) je racionální funkce dvou proměnných a p(x) je polynom stupně 3 nebo stupně 4, který má všechny kořeny navzájem různé.

V roce 1679 se Jacob Bernoulli pokusil určit délku oblouku spirály a dospěl k eliptickému integrálu.

Jacob Bernoulli v roce 1694 učinil důležitý krok v teorii eliptických integrálů. Studoval tvar pružné tyče, která je na koncích stlačována. Ukázal, že vzniklá křivka splňuje vztah

\frac{ds}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - t⁴}

a definoval lemniskátu

(x² + y²)² = (x² - y²)

jejíž délka je dána integrálem

\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 - t⁴}

Tento integrál, který splňuje definici eliptického integrálu, je tzv. integrál lemniskáty. V podstatě jde o jednoduchý případ eliptického integrálu. Má podobný tvar jako substituce pro funkci \frac{1}{sin x}, která je dána integrálem

\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 - t²}

Integrál lemniskáty má několik dobrých vlastností a pro řadu případů lze zobecnit na obecnější eliptické integrály.

V roce 1694 Jacob Bernoulli studoval jiný eliptický integrál tvaru

\int_{a}^{b} \frac{dt}{\sqrt{1 - t²}

a vyslovil domněnku, že tento integrál lze vyjádřit pomocí funkce sin x, funkce exp x a pomocí funkce 1/(sin x).

- pokračování -