Musím se přiznat, že si sám nevím rady s výsledky, které jsem dostal. Všechno se zdálo být jednoduché a elementární, ale pak se to jaksi zvrtlo. Výsledky, které jsem dostal, odporují běžné zkušenosti. Na druhé straně pomáhají pochopit některé fyzikální zákonitosti. Ostatně posuďte sami.

V teorii grafů byla definována vzdálenost mezi vrcholy jako počet hran na cestě mezi nimi. Pokud graf byl nespojitý, vzdálenost se považovala za nekonečnou. Tyto vzdálenosti se vynášely do matic, což zjednodušovalo zápis. Součty vzdáleností jsou známy v chemii jako Wienerovo číslo. Toto číslo koreluje velmi dobře s body varů alkanů (methan, ethan, atd.) i s některými dalšími fyzikálními vlastnostmi těchto uhlovodíků.

Pak však Chorvat Trinajstic se svými spolupracovníky [1] přišel s ideou, místo topologických vzdáleností dosadit do matic skutečné vzdálenosti mezi atomy (počítají se jen atomy uhlíku, vodíky se zanedbávají) a korelovat s fyzikálními vlastnostmi součty těchto geometrických vzdáleností. Poslal mi jednu z mnoha prací týkající se tohoto problému k recenzi. Já jsem trochu nevděčně - měl jsem od nich spoustu reprintů - začal šťourat do problému a aplikoval jsem na matice vzdáleností základní trigonometrický vzorec pro stanovení úhlů mezi stranami trojúhelníku, který by jste měli znát ze střední školy, a překvapeně jsem zjistil, že geometrickým analogem topologických vzdáleností jsou matice, ve kterých se vzdálenosti udávají ve čtvercích [2]. To zdánlivě odporuje naší zkušenosti, jak jsem poznamenal už v úvodu, na druhé ústraně však některé fyzikální veličiny, třeba gravitační nebo elektromagnetické pole, se mění lineárně se čtvercem vzdáleností.. Začněme však od začátku, což budou koordináty čtyř bodů, uspořádané jednou na přímce, pak na vrcholech třírozměrné krychle a konečně ve čtyřrozměrném prostoru (viz také přílohu TEX [T1]).

V dalším kroku příslušné matice nejprve násobíme z obou stran, zleva incidenční maticí úplného orientovaného grafu S (dvě jednotko v každém řádku, se záporným znaménkem pro výchozí vrchol, a kladným znaménkem pro konec hrany) a transponovanou incidenční maticí úplného orientovaného grafu S^T zprava. Dostaneme matici, na jejíž diagonále jsou vzdálenosti jednotlivých vrcholů, přesněji řečeno čtverce rozdílů původních koordinát.

Budou to postupně následující seřazené hodnoty

1, 1, 1, 4, 4, 9

1, 1, 1, 2, 2, 3

1, 1, 1, 1, 1, 1.

Tuto diagonální matici opět sbalíme násobením z obou stran incidenční maticí úplného orientovaného grafu S a transponovanou maticí v opačném pořadí. Dostaneme celkem tři různé matice. V jedné budou mimodiagonální prvky samé jednotky, to v případě umístění bodů na vrcholech pravidelného čtyřstěnu, v další matici se objeví vzdálenosti 1, 2, 3, to u bodů v krychli, a konečně se objeví vzdálenosti 1, 4, 9, pro přímku.

Mimodiagonální prvky ve velké matici ukazují prvky společné dané dvojici vzdáleností, což ukazuje kosinus úhlu mezi dvojicí prvků. Při trigonometrickém ověřování úhlů konfigurace souhlasí [3]. V prvém případě jsou úhly nulové, v druhém pravé a v třetím 60 stupňové a případně pravé u trojice protilehlých hran.

To však není vše co svědčí o správnosti interpretace konfigurace.

Ukázalo se, že matice čtvercových vzdáleností mají tolik nenulových vlastních hodnot, jako je rozměr prostoru, ve kterém je těleso uspořádáno, v případě přímky dvě [4], u rovinných obrazců tři (viz mou webovou stránku [X1]). Matice topologických vzdáleností mají všechny vlastní hodnoty nenulové. To znamená, že tyto vzdálenosti jsou definovány v n- rozměrném prostoru.

Problematika mocnin vzdáleností vede k zobecnění problému, studiu vlastností matic různých mocnin vzdáleností, větších než dva, tedy jejich momentů, a nejen mocnin kladných, ale i záporných. Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1, nekonečná záporná mocnina je nula. Představte si čtvercový rám, jehož hrany jsou spojeny klouby, takže se čtverec dá v rovině libovolně deformovat na kosočtverec a z roviny na čtyřstěn. Deformace v ideálním případě mohou skončit přímkou, buď délky 2 při deformacích v rovině, či délky 1 při úplném sklopení čtyřstěnu. Delší vzdálenosti protilehlých rohů si musíme představit jako mocniny geometrických vzdáleností, nebo jako vzdálenosti v zakřiveném prostoru.

Takto lze považovat matice sousedství A za konečný výsledek takových transformací. Je zajímavé sledovat proměny vlastních hodnot při těchto transformacích [5].

U stromů mají matice topologických vzdáleností další zajímavou vlastnost, jsou součástí pravé inverzní matice incidenční matice S spolu s transponovanou maticí. Jinak řečeno rámování matice topologických vzdáleností incidenční maticí S spolu s transponovanou maticí matici topologických vzdáleností diagonalizuje. To se využívá při studiu vlastností krystalů (Rutherford [6]).

Vzdálenosti mohou mít i jinou formu. Když si vezmeme lineární řetězec a obarvíme jeho vrcholy (místo barev můžeme použít symboly abecedy), potom se můžeme zajímat o rozdělení vzdáleností mezi stejně obarvenými vrcholy. To by byl model třeba pro rozdělení písmen v textech, nukleových kyselin a kodonů v RNA, či jakýchkoliv událostí v denním životě.

V matematice se takové rozdělení považuje za negativní. Lepší výraz by byl obrácené nebo inverzní. Jenomže když házíme minci, tak řada výsledků hodů orel - hlava, nebo při jiném zápisu 0 - 1, je známa jako binomické rozdělení a rozdělení vzdáleností mezi stejnými výsledky je známé jako negativně binomické rozdělení. Ještě před takovými dvaceti léty bylo toto rozdělení kuriozitou, protože potřebné výpočty jsou značně zdlouhavé. Počítače tuto překážku odstranily a tak je možné provádět analýzu velmi rychle. A výsledky jsou velmi zajímavé .

Literatura:

[1] N. Bogdanov, S. Nikolic, N. Trinajstic, On the three dimensional Wiener index, J. Math. Chem., 3 (1989) 299- 309.

[2] M. Kunz: On topological and geometrical distance matrices, J. Math. Chem., 13 (1993) 145- 151.

[3] M. Kunz: An equivalence relation between distances and coordinate matrices, MATCH, 32 (1995) 193-203.

[4] M. Kunz: Distance matrices yielding angles between arcs of the graphs, J. Chem. Inform. Comput. Sci., 34, (1994) 957-959.

[5] M. Kunz: Transformations of distances into adjacencies. J. Serb. Chem. Soc. 62 (3) 277-287 )1997).

[6] J.S. Rutherford, Theoretical prediction of bond- valence networks, Acta. Cryst., B46 (1990) 289-292.