Zatím jsme se zabývali v našich statích o kombinatorice posloupnostmi symbolů, třeba baba [1]. Protože jsme si symboly ztotožnili s jednotkovými vektory, mohli jsme si posloupnost symbolů představit jako dráhu v n-rozměrném prostoru (naše představivost ovšem velmi rychle narazila na fyzikální bariéru našich tří rozměrů).

Když jsme použili formální zápis posloupnosti symbolů jako matice, formalizovali jsme změny posloupností symbolů jako permutace sloupců a řádků takové matice.

S maticemi lze provádět i další operace. Jednou z nich je transpozice. Transpozice otočí matici podél hlavní diagonály, zamění se při tom indexy řádků a sloupců.

Tedy pro náš jednoduchý příklad baba: Matice s dvěma sloupci a čtyřmi řádky

0 1
1 0
0 1
1 0

se přemění na matici s dvěma řádky a čtyřmi sloupci

0 1 0 1
1 0 1 0.

Takto transformované matice už nejsou naivní, protože mají v řádcích různý počet jednotkových symbolů. Tím se dostává naše naivní interpretace matice jako posloupnosti jednoduchých základních vektorů do těžkostí a musíme si najít nějaké jiné jednoduché vysvětlení, co transponovaná matice znamená.

Systematicky bychom se mohli zabývat případy, kdy řádky obsahují vždy dva jednotkové symboly, to však uděláme až později. Teď si najdeme alternativní, obrácené vysvětlení významu transponovaná matice.

Sloupce původně znamenaly symboly tedy vektory. Tak jim tento význam ponechejme. Řádky matice odpovídaly pořadí symbolu v posloupnosti což je vzdálenost symbolu od počátku posloupnosti: prvý, druhý až n-tý. To by také vyhovovalo, jen musíme změnit začátek počítání a počítat index od středu souřadnic, tedy od nuly. Tento posun bude mít za následek, že se nám ve vzorcích objeví u čísla m hodnota -1.

Jednotkové symboly budeme považovat za konec příslušného vektoru a jejich poloha nám bude označovat délku tohoto vektoru.

Tedy matice

0 1 0 1
1 0 1 0

odpovídá polohovému vektoru (1, 0, 1, 0)

Posloupnosti symbolů jsme vytvořili (generovali) jako součiny:

(a + b)(a + b)(a + b) =
= aaa + aab + aba + baa + bba + bab + abb + bbb.

Pro transponované posloupnosti použijeme obměněnou funkci. Počet symbolů jednotlivých členů součinu budou odpovídat délce jednotlivých os m (původně to byl rozměr prostoru n), počet členů součinu n bude totožný s rozměrem prostoru n).

Vzhledem k nulovému indexu si také upravíme význam čísel na osách n. Normální pravítko

0 1 2 3

nám bude představovat logaritmickou stupnici o základu 1. To je nutné, aby zůstala zachována původní interpretace posloupností

1 a aa aaa

jednotka odpovídá nulté mocnině daného symbolu x0 = 1 (nultá mocnina všech čísel se rovná jedné, tedy také 00 = 1).

Logaritmická transformace zmenšuje transformované hodnoty a to tím více, čím větší je základ logaritmů. Při základu 10 transformovaná hodnota 3 odpovídá základu 1000, základu 2 transformovaná hodnota 3 odpovídá základu 8 a 1000 odpovídá asi 10. Čím bude základ logaritmů menší, tím větší bude logaritmus jakéhokoliv čísla.

Logaritmická stupnice, která je stejně dlouhá jako stupnice základní, má základ 1. Jsou s tím spojeny velké problémy, ale ty nás teď nemusí zajímat.

Teď si prostě napíšeme vytvořující funkci trojrozměrné krychle s jednotkovou hranou. Dostaneme 2 na třetí, osm členů součinu:

(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 0 + a + b + c + ab + ac + bc + abc,

ve kterých jednotky prostě vynecháváme 0 = (111).

Tyto členy se snadno identifikují se souřadnicemi vrcholů krychle. Pokud se Vám nelíbí názvy body a krychle, použijte název prvky a množiny, 111 je prázdná množina, abc je množina s třemi prvky. Jedná se tedy o Booleovu algebru. Nás však bude zajímat kombinatorika krychlí a počty objektů v nich.

V plošném simplexu jsme počítali počty tří objektů: orbit, bodů na jednotlivých orbitách a posloupností vedoucích k jednotlivým bodům.

V krychlovém simplexu počet bodů odpovídá počtu posloupností a počet orbit odpovídá počtu bodů v plošném simplexu. Počty různých naivních matic se transponováním nemění, takže příslušné hodnoty známe.

To znamená, že je nutné vypočítat pouze počty posloupností vedoucích k jednotlivým bodům jako hodnoty nové kombinatorické funkce.

V n-rozměrné krychli s jednotkovou hranou existuje vždy (n + 1) orbit. K tomuto jednoduchému výsledku se dostaneme složitým výpočtem přes polynomický koeficient (viz přílohy [E1]).

K počátku koordinát se dostaneme jediným způsobem, k bodům ležícím na koordinátách také jediným způsobem, k bodům se dvěma koordinátami vždy dvěma způsoby (ab či ba) a k bodům s třemi koordinátami šesti způsoby. Počet způsobů odpovídá faktoriálu n!.

Celkový počet posloupností pro n = 3 bude tvořit řadu: 1, 3, 6, 6. To je funkce rostoucího faktoriálu, kterou snadno získáme jako podíl dvou faktoriálů m!/(m - i)! tedy

1 = 6/6
3 = 6/2
6 = 6/1
6 = 6/1

V posledním případě jedna v čitateli je ve skutečnosti faktoriál nuly: 1 = 0!. Funkci rostoucího faktoriálu lze sečíst a součty tvoří řadu:

1, 2, 5, 16, 65,

jejíž členy Pn se dostanou podle jednoduchého receptu:

Pn = nPn-1 +1.

Krychle s jednotkovou hranou můžeme použít k registraci nehod. Každou nehodu poznamenáme čárkou. Když počítáme s maximálně m nehodami pro jednotlivce, pak může být v našem registru pouze jeden takový smolař. Nešiků s (m-1) nehodami může být m, osob s (m-2) nehodami m(m-1) a šťastlivců s 1 nebo žádnou nehodou vždy m!.

Toto rozdělení objevil už dávno pan Poisson, když se zabýval statistikou pádů z koně u francouzského královského jezdectva. Náš registr je určen pro průměrný počet nehod 1, zpravidla je tento průměr mnohem menší a naše počítadlo by bylo příliš velké, takže by se muselo upravit. To lze udělat poměrně snadno násobením nehod koeficientem.

Einstein prohlásil, že nevěří v Boha hrajícího v kostky. Mínil tím interpretaci kvantové teorie. Jenomže Poissonovo rozdělení je jakási kostka. A jestli považujeme třeba pády z koně za náhodné, tak švarní husaři a kyrysníci vlastně rajtovali v jakési kostce.

U krychlí s delší hranou jsou příslušné výpočty složitější. Známe jen celkový počet prvků, avšak jejich rozdělení uvnitř krychlí je třeba určovat odlišně.

Tak například trojrozměrná krychle s hranou (0, 2) má hladiny (součet hodnot koordinát):

0 1 2 3 4 5 6

Odpovídající orbity:

0 (0,0,0),
1 (1,0,0),
2 (1,1,0), (2,0,0),
3 (1,1,1), (2,1,0),
4 (2,1,1), (2,2,0),
5 (2,2,1),
6 (2,2,2)
Celkem: 10.
Vektory: 1 3 6 7 6 3 1 Celkem: 27.

Počet posloupností je třeba počítat podobně jako pro rostoucí faktoriál. Na jednotlivých hladinách jsou to tato čísla:

0 1
1 3
2 (3+6)
3 (18+6)
4 (18+36)
5 90
6 90.

Tady se dostáváme k zajímavým, ale nudným výpočtům. Raději se vrátíme k celkovému počtu posloupností v jednotkových krychlích, součtu funkce m!/(m - i)! v případě, že m se blíží nekonečnu. Poslední členy by měly být faktoriály nekonečně velkých čísel, což znamená, že by byly mnohem větší, než nekonečno.

Úlohu musíme obrátit. Budeme hledat součet nekonečné řady funkce (m -k)!/m! a začneme od konce. Tím se dostaneme k součtu inversního faktoriálu 1/k!, který označíme symbolem e:

e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... = 2,71828...

Tento symbol e je znám jako číslo e, což je základ přirozených logaritmů a zároveň jakýsi klíč k vyšší matematice.
 

Tady někde končí klasická kombinatorika.

S číslem e jsme se přesunuli do pruského Královce, kde měli přes řeku a kanál sedm mostů. Někdo si položil otázku, zda je možné si vyjít v neděli na procházku a přejít po všech mostech jen jednou. Odpověď na tento hlavolam našel Euler, s jehož jménem jsme se už setkali. Založil tak nový obor matematiky, teorii grafů.

My si najdeme ještě další matematické problémy spojené s naivními maticemi, přesněji řečeno s jejích součty a rozdíly, které budeme interpretovat jako incidenční matice grafů.

A tak se dostaneme k problémům zdánlivě velmi jednoduchým, za které však byla udělena Nobelova cena.

Jestliže se nenajde někdo, kdo by našel v mém přístupu ke klasické kombinatorice zásadní chybu, bude to znamenat velký třesk.

Existence dvou polynomických koeficientů a jejich součinu a jejich spojení se symetrií orbit má dalekosáhlé důsledky pro interpretaci fyziky.

Kdo nemá dost trpělivosti, aby čekal na další články v Natuře, může přejít na mou webovou stránku [X1], kde najde počáteční i následující kapitoly mé knihy.

Literatura:

[1] M. Kunz, Kniha přírody. Natura, 2000, číslo 2. [N1]

časopis o přírodě, vědě a civilizaci