Na zasedání AMS (American Mathematical Society) řekl slavný fyzik Steve Weinberg toto:

"V roce 1970, v počátcích teorie strun, jsme spolu s Kersonem Huangem pustili do řešení problému, jak určit počet stavů, které se objeví v kmitající struně při dané hmotě. To je důležitý problém v termodynamice, chcete-li např. znát hustotu energie prázdného prostoru se strunovými fluktuacemi. Zjistili jsme, že počet stavů je ve velmi úzké souvislosti s počtem způsobů, kterými lze celé číslo napsat jako součet celých čísel. Např. 2 lze napsat jedním způsobem jako 1 + 1. 3 lze napsat dvěma způsoby, jako 1 + 1 + 1 nebo 2 + 1 atd. (Weinberg vynechal samotná čísla, která jsou též rozklady čísla). Tento počet se nazývá partitio numerorum a my jsme potřebovali znát, jak vypadá pro velmi velká čísla, což odpovídá velkým hmotám. Problém partitio numerorum byl vyřešen v roce 1918 G. H. Hardym a jeho kolegou Ramanujanem a mne udělalo velkou radost je citovat, neboť Hardy byl znám jako matematik, který byl pyšný na to, že jeho práce nebudou mít nikdy fyzikální aplikace."

Steve Weinberg se mýlil, když se považoval za pionýra použití partitia numerorum ve fyzice a protože jej nikdo neopravil, tak jeho chyba svědčí o tom, že prvé použití partitio numerorum ve fyzice bylo dokonale zapomenuto. Došlo k němu dokonce před rokem 1918 a tak o tom nevěděl ani Hardy, protože to by měl odmítnout se problémem zabývat, když genius Ramanujan přišel s tvrzením, že existuje analytická rovnice pro výpočet tohoto čísla (Hardy jej především kontroloval a učil techniku).

K zavedení partitio numerorum došlo dokonce před rokem 1905, kdy Planck rozluštil problém světelného záření černého tělesa pomocí kvantové teorie. Primát zavedení kvantové hypotézy má jiný fyzik Ludvík Boltzmann a to už v roce 1870 [2]. Ve snaze dokázat svou rovnici pro termodynamickou entropii, uvedl příklad rozdělení 7 kvant energie mezi 7 částic. Existuje 15 možných rozdělení, které napíšeme jako vektory s klesajícími čísly:

(7, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(6, 1, 0, 0, 0, 0, 0)
(5, 2, 0, 0, 0, 0, 0)
(4, 3, 0, 0, 0, 0, 0)
(5, 1, 1, 0, 0, 0, 0)
(4, 2, 1, 0, 0, 0, 0)
(3, 3, 1, 0, 0, 0, 0)
(3, 3, 1, 0, 0, 0, 0)
(4, 1, 1, 1, 0, 0, 0)
(3, 2, 1, 1, 0, 0, 0)
(2, 2, 2, 1, 0, 0, 0)
(3, 1, 1, 1, 1, 0, 0)
(2, 2, 1, 1, 1, 0, 0)
(2, 1, 1, 1, 1, 1, 0)
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).

Boltzmann říkal těmto rozdělením komplexiony. Toto slovo se neujalo a proto budeme mluvit o orbitách. Každá orbita odpovídá jednomu rozdělení. Orbity mají ve fázovém prostoru sférický tvar. Poloměr orbity je určen Euklidovou délkou vektoru. Objem orbity však na této délce nezávisí, protože je určen všemi možnými permutacemi vektorů (u prvé orbity je jich 7, u poslední jen 1). Tyto permutace odpovídají symetrii orbity. Jejich počet se určí poměrně snadno pomocí Newtonova polynomického koeficientu (o tom až někdy jindy).

Částice termodynamické soustavy si vyměňují energii při vzájemných srážkách. Výměna energie může být symetrická, třeba když částice A má před srážkou energii 4 a částice B má před srážkou energii 3 a po srážce má částice A energii 3 a částice B energii 4, nebo asymetrická, třeba když částice A má před srážkou energii 4 a částice B má před srážkou energii 3 a po srážce má částice A energii 5 a částice B energii 2. Taková srážka změní stav soustavy, a soustava se ocitne na jiné orbitě. příští srážka může soustavu vrátit na původní orbitu, nebo ji poslat na další orbitu. V termodynamických soustavách je velmi mnoho molekul, ke srážkám dochází téměř současně, takže řada simultánních srážek může termodynamickou soustavu udržovat v prakticky stejném stavu. Boltzmann předpokládal, že termodynamická soustava bude nejdéle na orbitě s největším objemem (nikoliv nejdelší, tam bude prakticky jen na počátku. Pokud bychom uvažovali o celém vesmíru, pak se stavu, kdy jediná částice soustředí celou energii soustavy říká "big bang").

Logaritmickou míru objemu jednotlivých orbit Boltzmann považoval za ekvivalentní s termodynamickou entropii.

Je pravda, že Boltzmanna nezajímal počet možných stavů termodynamických soustav, takže partitio numerorum přímo nepotřeboval, také nemluvil o symetrii, jen o pravděpodobnosti, ale nesporně se problémem zabýval a je nespravedlivé, že se na to zapomnělo. K jeho rovnici se vrátíme jindy.

Partitio numerorum zasluhuje pozornost samo o sobě.

V odborné části (buď ve formátu ESO [E1] bez obrázků, nebo ve formátu TEX [T1], DVI [D1] s obrázky (pokud nemáte editor ESO ani TEX, formát TEX je ASCII a rovnice se dají vyluštit a obrázky musíte oželet) nenajdete rovnici Ramanujan - Hardyho, ale jen jednoduché rekurzivní vzorce. Proti všeobecně přijatým konvencím se jako části rozkladu připouští nuly (a dokonce záporná celá čísla). To vychází z Boltzmannova příkladu a vede k některým zajímavým vztahům. Boltzmannův příklad jsem rozvinul do dvojrozměrných tabulek, které ukazují vztahy orbit v mnohorozměrných prostorech. Tyto tabulky jsou velmi užitečné při výpočtech téměř všech kombinatorických identit. Vzhledem k tomu, že jsem je nenašel v encyklopedii [3], jsou asi neznámé, nebo je matematici považují za tak triviální, že se je ani nenamáhají vysvětlovat.

Literatura:

[1] Matematika - jednotící prvek vědy, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 34 (1989) č. 4, str. 202.

[2] L. Boltzmann, Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanishen Wärmetheorie und die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wiener Berichte 1877, 76, 373.

[3] G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Addison-Wesley Publ. Comp., Reading, MA, 1976, rusky: Teoria razbijenij, Nauka, Moskva, 1982.

časopis o přírodě, vědě a civilizaci